biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; biết \(AB = AD = 2a\), \(CD = a\). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. \(V=\frac{{3\sqrt 5 {a^3}}}{8}\)
B. \(V=\frac{{3\sqrt {15} {a^3}}}{5}\)
C. \(V=\frac{{3\sqrt {15} {a^3}}}{8}\)
D. \(V=\frac{{3\sqrt 5 {a^3}}}{5}\)

(SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD) nên \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\) nên SI là đường cao của S.ABCD.
Kẻ \(IK \bot BC\) tại K.
Suy ra: \(\widehat {SKI} = \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = {60^0}\).
Gọi \(M = AD \cap BC\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} DC//AB\\ DC = \frac{1}{2}AB \end{array} \right.\)

Suy ra CD là đường trung bình của tam giác ABM. Khi đó:
\(AM = 4a;\,BM = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} = 2a\sqrt 5 ;\,IM = 3a\)
Ta có:\(\Delta KMI \ \sim \Delta AMB\)
\(\Rightarrow \frac{{IM}}{{BM}} = \frac{{IK}}{{AB}} \Rightarrow IK = \frac{{3a}}{{2a\sqrt 5 }}.2a = \frac{{3a}}{{\sqrt 5 }}\)
Khi đó: \(SI = IK.\tan {60^0} = \frac{{3a}}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 3 = \frac{{3a\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}\)
\(V = \frac{1}{3}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}.\frac{1}{2}\left( {a + 2a} \right).2a = \frac{{3{a^3}\sqrt {15} }}{5}\)