Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng \(60^0\) . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng \(60^0\) . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\)
B. \(V=\sqrt 3 {a^3}\)
C. \(V=\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\)
D. \(V=\frac{{\sqrt 6 {a^3}}}{3}\)

Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2\)
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC\) nên ta có \(\left( {SC,\left( {ABC{\rm{D}}} \right)} \right) = SCA = {60^0}\).
Ta lại có \(\frac{{SA}}{{AC}} = \tan {60^0} \Rightarrow SA = AC\tan {60^0} = \sqrt 6 a\)
Thể tích khối chóp cần tính là
\(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}a\sqrt 6 {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)