Xin giới thiệu: Bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của Hàm Số trích đề thi thử trường chuyên (phần 9)
Câu 1:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m{x^3} + m{x^2} + (m - 1)x - 3 đồng biến trên R.
A. \(m \in \left( {0;\frac{3}{2}} \right]\)
B. \(m \in \left[ {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left[ {0;\frac{3}{2}} \right]\)
D. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\)
Câu 2:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^3} - {x^2} + 3x + m - 2\) đồng biến trên \(( - 3;0).\)
A. m=0
B. \(m \ge \frac{1}{9}\)
C. \(m \ge- \frac{1}{3}\)
D. \(m \ge0\)
Câu 3:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm \(f'(x) = {x^2}(x + 2).\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên \(( - 2; + \infty ).\)
B. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\)
C. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\)
D. Hàm số nghịch biến trên \(( - 2; 0).\)
Câu 4:
Hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\ln x}}\) đồng biến trong khoảng nào sau đây?
A. \((0;1)\)
B. \((1;e)\)
C. \((0;e)\)
D. \((e; + \infty )\)
Câu 5:
Cho hàm số \(y = \frac{{(m - 1)\sin x - 2}}{{\sin x - m}}.\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)
A. \(m \in \left( { - 1;2} \right)\)
B. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
D. \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
Câu 6:
Hàm số \(y = \sqrt {2x - {x^2}}\) đồng biến trên khoảng nào?
A. (0;2)
B. (1;2)
C. (0;1)
D. \(\left( { - \infty ;\,1} \right)\)
Câu 7:
Hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} + x + 1\) nghịch biến trên khoảng nào?
A. \(\left ( 3;+\infty\right )\)
B. \(\left( { - \infty ;\, - 1} \right)\)
C. \(\left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\)
D. \(\left( { - 1;\, - \frac{1}{3}} \right)\)
Câu 8:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - mx + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\).
A. \(m \le 0\)
B. \(m \geq -3\)
C. \(m < -3\)
D. \(m \le -3\)
Câu 9:
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = \frac{{ - \cos x + m}}{{\cos x + m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right).\)
A. \(m > 0\) hoặc \(m \leq -1\)
B. \(m \geq 1\)
C. \(m > 0\)
D. \(m \leq -1\)
Câu 10:
Cho hàm số y = \frac{{ - x + 1}}{{3x + 1}}. Hàm số không nghịch biến trong khoảng nào sau đây?
A. \(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\)
B. \((5;7)\)
C. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\)
D. \(( - 1;2)\)
Câu 1:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m{x^3} + m{x^2} + (m - 1)x - 3 đồng biến trên R.
A. \(m \in \left( {0;\frac{3}{2}} \right]\)
B. \(m \in \left[ {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left[ {0;\frac{3}{2}} \right]\)
D. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
Hàm số đã cho có \(y' = 3m{x^2} + 2mx + m - 1\)
Xét trường hợp 1: \(m = 0 \Rightarrow y' = - 1\) (không thỏa mãn)
Xét trường hợp 2: \(m\ne0\)
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y'\geq 0\) với \(x\in\mathbb{R}\).
Điều này xảy ra khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3m > 0}\\ {\Delta ' = {m^2} - 3m\left( {m - 1} \right) \le 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \le 0}\\ {m \ge \frac{3}{2}} \end{array}} \right.} \end{array} \Leftrightarrow m \ge \frac{3}{2}} \right.} \right.\)
Hàm số đã cho có \(y' = 3m{x^2} + 2mx + m - 1\)
Xét trường hợp 1: \(m = 0 \Rightarrow y' = - 1\) (không thỏa mãn)
Xét trường hợp 2: \(m\ne0\)
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y'\geq 0\) với \(x\in\mathbb{R}\).
Điều này xảy ra khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3m > 0}\\ {\Delta ' = {m^2} - 3m\left( {m - 1} \right) \le 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \le 0}\\ {m \ge \frac{3}{2}} \end{array}} \right.} \end{array} \Leftrightarrow m \ge \frac{3}{2}} \right.} \right.\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^3} - {x^2} + 3x + m - 2\) đồng biến trên \(( - 3;0).\)
A. m=0
B. \(m \ge \frac{1}{9}\)
C. \(m \ge- \frac{1}{3}\)
D. \(m \ge0\)
Hàm số đã cho có \(y' = 3m{x^2} - 2x + 3\)
Trường hợp m=0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta xét trường hợp \(m\ne0\)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-3;0) khi và chỉ khi \(y'\geq 0\) với \(\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\)
\(\Leftrightarrow 3m{x^2} - 2x + 3 \ge 0,\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\)
Xét hàm số\(f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{3{x^2}}},\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\) ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 6x}}{{9{x^4}}} < 0,\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\)
Từ bảng biến thiên suy ra với \(m \ge - \frac{1}{3}\) thì hàm số đồng biến trên khoảng (0;3)
Trường hợp m=0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta xét trường hợp \(m\ne0\)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-3;0) khi và chỉ khi \(y'\geq 0\) với \(\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\)
\(\Leftrightarrow 3m{x^2} - 2x + 3 \ge 0,\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\)
Xét hàm số\(f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{3{x^2}}},\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\) ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 6x}}{{9{x^4}}} < 0,\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\)
Từ bảng biến thiên suy ra với \(m \ge - \frac{1}{3}\) thì hàm số đồng biến trên khoảng (0;3)
Cho hàm số f(x) có đạo hàm \(f'(x) = {x^2}(x + 2).\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên \(( - 2; + \infty ).\)
B. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\)
C. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\)
D. Hàm số nghịch biến trên \(( - 2; 0).\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = {x^2}(x + 2)\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Tại x=0 là nghiệm kép nên đạo hàm không đổi dấu, taị x=-2 đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2; + \infty } \right)\)
Tại x=0 là nghiệm kép nên đạo hàm không đổi dấu, taị x=-2 đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2; + \infty } \right)\)
Hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\ln x}}\) đồng biến trong khoảng nào sau đây?
A. \((0;1)\)
B. \((1;e)\)
C. \((0;e)\)
D. \((e; + \infty )\)
TXĐ: \(D = \left( {0;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
Đạo hàm: \(y' = \frac{{\ln x - 1}}{{{{\ln }^2}x}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \ln x = 1 \Leftrightarrow x = e\)
Vậy hàm số đồng biến trên \((e; + \infty ).\)
Đạo hàm: \(y' = \frac{{\ln x - 1}}{{{{\ln }^2}x}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \ln x = 1 \Leftrightarrow x = e\)
Vậy hàm số đồng biến trên \((e; + \infty ).\)
Cho hàm số \(y = \frac{{(m - 1)\sin x - 2}}{{\sin x - m}}.\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)
A. \(m \in \left( { - 1;2} \right)\)
B. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
D. \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
Ta có: \(y' = \frac{{(m - 1)(\sin x - m) - \left[ {(m - 1)\sin x - 2} \right]}}{{{{(\sin x - m)}^2}}}\cos x = \frac{{m - {m^2} + 2}}{{(\sin x - m)}}\cos x\)
Với \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có: \(cosx>0\)
Do vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)khoảng khi và chỉ khi:
\(y' < 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + m + 2 < 0\\ \sin x - m \ne 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 2}\\ {m < - 1} \end{array}} \right.\)
Chú ý: Khi \(m = - 1;m = 2 \Rightarrow y' = 0\left( {\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)} \right)\) và hàm số suy biến thành hàm hằng nên C sai.
Với \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có: \(cosx>0\)
Do vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)khoảng khi và chỉ khi:
\(y' < 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + m + 2 < 0\\ \sin x - m \ne 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 2}\\ {m < - 1} \end{array}} \right.\)
Chú ý: Khi \(m = - 1;m = 2 \Rightarrow y' = 0\left( {\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)} \right)\) và hàm số suy biến thành hàm hằng nên C sai.
Hàm số \(y = \sqrt {2x - {x^2}}\) đồng biến trên khoảng nào?
A. (0;2)
B. (1;2)
C. (0;1)
D. \(\left( { - \infty ;\,1} \right)\)
TXĐ: \(D = \left[ {0;2} \right]\)
\(\begin{array}{l} y' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - x = 0\\ 0 < x < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\\ y' > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1 \end{array}\)
Vậy hàm số đồng biến trên (0;1).
\(\begin{array}{l} y' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - x = 0\\ 0 < x < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\\ y' > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1 \end{array}\)
Vậy hàm số đồng biến trên (0;1).
Hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} + x + 1\) nghịch biến trên khoảng nào?
A. \(\left ( 3;+\infty\right )\)
B. \(\left( { - \infty ;\, - 1} \right)\)
C. \(\left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\)
D. \(\left( { - 1;\, - \frac{1}{3}} \right)\)
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} + 6x + 1\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{3}\\ x = \frac{{ - 3 - \sqrt 6 }}{3} \end{array} \right. \end{array}\)
\(y' < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3 - \sqrt 6 }}{3} < x < \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{3}\)
Hàm số nghịch biến trên \(\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt 6 }}{3};\frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{3}} \right)\) nên nghịch biến trên \(\left( { - 1;\, - \frac{1}{3}} \right).\)
\(y' < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3 - \sqrt 6 }}{3} < x < \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{3}\)
Hàm số nghịch biến trên \(\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt 6 }}{3};\frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{3}} \right)\) nên nghịch biến trên \(\left( { - 1;\, - \frac{1}{3}} \right).\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - mx + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\).
A. \(m \le 0\)
B. \(m \geq -3\)
C. \(m < -3\)
D. \(m \le -3\)
\(y' = 3{x^2} + 6x - m\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\) khi phương trình \(y' \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right).\)
Hay: \(3{x^2} + 6x - m \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le 3{x^2} + 6x,\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right)\)
Xét hàm số \(g(x) = 3{x^2} + 6x,x \in \left( { - \infty ;0} \right)\)
\(\begin{array}{l} g'(x) = 6x + 6\\ g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \end{array}\)
Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\) khi \(m\leq 3\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\) khi phương trình \(y' \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right).\)
Hay: \(3{x^2} + 6x - m \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le 3{x^2} + 6x,\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right)\)
Xét hàm số \(g(x) = 3{x^2} + 6x,x \in \left( { - \infty ;0} \right)\)
\(\begin{array}{l} g'(x) = 6x + 6\\ g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \end{array}\)
Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\) khi \(m\leq 3\).
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = \frac{{ - \cos x + m}}{{\cos x + m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right).\)
A. \(m > 0\) hoặc \(m \leq -1\)
B. \(m \geq 1\)
C. \(m > 0\)
D. \(m \leq -1\)
Đặt \(t = \cos x,0 < t < 1\)
Bài toán trở thành tìm m để hàm số \(y = \frac{{ - t + m}}{{t + m}}\) nghịch biến trên (0;1)
Xét hàm số \(y = \frac{{ - t + m}}{{t + m}},t \in \left( {0;1} \right)\) có \(y' = \frac{{ - 2m}}{{{{(t + m)}^2}}}\)
Hàm số ngịch biến trên (0;1) khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{ - 2m}}{{{{(t + m)}^2}}} < 0\\ m \notin ( - 1;0) \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)
Bài toán trở thành tìm m để hàm số \(y = \frac{{ - t + m}}{{t + m}}\) nghịch biến trên (0;1)
Xét hàm số \(y = \frac{{ - t + m}}{{t + m}},t \in \left( {0;1} \right)\) có \(y' = \frac{{ - 2m}}{{{{(t + m)}^2}}}\)
Hàm số ngịch biến trên (0;1) khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{ - 2m}}{{{{(t + m)}^2}}} < 0\\ m \notin ( - 1;0) \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)
Cho hàm số y = \frac{{ - x + 1}}{{3x + 1}}. Hàm số không nghịch biến trong khoảng nào sau đây?
A. \(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\)
B. \((5;7)\)
C. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\)
D. \(( - 1;2)\)
Ta có:\(y' = \frac{{ - 4}}{{{{(3x + 1)}^2}}} < 0\) do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{ - 1}}{3}} \right)\) và \(\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right).\)
Hàm số không liên tục trên \(( - 1;2)\) nên không nghịch biến trên \(( - 1;2).\)
Hàm số không liên tục trên \(( - 1;2)\) nên không nghịch biến trên \(( - 1;2).\)