Xin giới thiệu: Bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của Hàm Số trích đề thi thử trường chuyên (phần 8)
Câu 1:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{{mx - 4}}{{x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định?
A. \(\left( { - 2;2} \right)\)
B. \(\left( { - \infty ;2} \right]\)
C. \(\left[ { - 2; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { - \infty ;2} \right)\)
Câu 2:
Tìm tập hợp tất cả các tham số m để hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}--{\rm{ }}m{x^2} + {\rm{ }}\left( {m{\rm{ }}--{\rm{ }}1} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\) đồng biến trên khoảng (1;2).
A. \(m \le \frac{{11}}{3}\)
B. \(m < \frac{{11}}{3}\)
C. \(m \le 2\)
D. \(m < 2\)
Câu 3:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{2\cos x + 3}}{{2\cos x - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{3}} \right)\).
A. \(m \in \left( { - 3; + \infty } \right)\)
B. \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right)\)
D. \(m \in \left( { - 3;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
Câu 4:
. Hàm số nào sau đây là hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?
A. \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\)
B. \(y = - 2{x^3} + {x^2} - x + 2\)
C. \(y = - {x^4} + 2{x^2} - 2\)
D. \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\)
Câu 5:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + 2017\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
A. m=-2
B. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
C. \(m \ge - 2\)
D. \(m \in\mathbb{R}\)
Câu 6:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(f(x) = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {4;16} \right)\).
A. \(m \in \left[ {4; + \infty } \right)\)
B. \(m \in \left( {3;4} \right] \cup \left[ {16; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( {3; + \infty } \right)\)
D. \(m = \frac{{33}}{{16}}\)
Câu 7:
Tìm các giá trị thực của tham số m đề hàm số \(y = \frac{{m - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{{{\cos }^2}x}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{6}} \right)\).
A. \(m \ge \frac{5}{2}\)
B. \(m \le \frac{5}{2}\)
C. \(m \le \frac{5}{4}\)
D. \(m \ge \frac{5}{4}\)
Câu 8:
Cho hàm số \(y = - {x^3} - 6{x^2} + 10\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;-4} \right)\)
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - 4;0} \right)\)
Câu 9:
Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K và có đạo hàm là f’(x) trên K. Biết hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số f’(x) trên K. Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị trên K?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 10:
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và khoảng \(\left( {0;1} \right)\)
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và khoảng \(\left( {0;1} \right)\)
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left ( -1;0 \right )\)
Câu 1:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{{mx - 4}}{{x - m}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định?
A. \(\left( { - 2;2} \right)\)
B. \(\left( { - \infty ;2} \right]\)
C. \(\left[ { - 2; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { - \infty ;2} \right)\)
Ta có: \(y' = {\left( {\frac{{mx - 4}}{{x - m}}} \right)^\prime } = \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)
Với \(m = \pm 2\) thì \(y' = 0\) hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi:
\(y' > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow 4 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2 \Leftrightarrow m \in \left( { - 2;2} \right)\)
Với \(m = \pm 2\) thì \(y' = 0\) hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi:
\(y' > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow 4 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2 \Leftrightarrow m \in \left( { - 2;2} \right)\)
Tìm tập hợp tất cả các tham số m để hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}--{\rm{ }}m{x^2} + {\rm{ }}\left( {m{\rm{ }}--{\rm{ }}1} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\) đồng biến trên khoảng (1;2).
A. \(m \le \frac{{11}}{3}\)
B. \(m < \frac{{11}}{3}\)
C. \(m \le 2\)
D. \(m < 2\)
Ta có \(y' = 3{{\rm{x}}^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1\)
Với \(x \in \left( {1;2} \right)\) thì \(y' > 0 \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1 > 0 \Leftrightarrow m\left( {1 - 2m} \right) > 1 - 3{{\rm{x}}^2} \Leftrightarrow m < \frac{{1 - 3{x^2}}}{{1 - 2x}}\,\left( * \right)\)
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\) khi và chỉ khi bất phương trình (*) nghiệm đúng \(\forall x \in \left( {1;2} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{1 - 3{x^2}}}{{1 - 2x}}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) có:
\(f'\left( x \right) = \frac{{ - 6x\left( {1 - 2x} \right) + 2\left( {1 - 3{x^2}} \right)}}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}} = \frac{{6{x^2} - 6x + 2}}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 1 \right) = 2,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)
Vậy giá trị của m thỏa mãn là \(m \le 2.\)
Với \(x \in \left( {1;2} \right)\) thì \(y' > 0 \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1 > 0 \Leftrightarrow m\left( {1 - 2m} \right) > 1 - 3{{\rm{x}}^2} \Leftrightarrow m < \frac{{1 - 3{x^2}}}{{1 - 2x}}\,\left( * \right)\)
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\) khi và chỉ khi bất phương trình (*) nghiệm đúng \(\forall x \in \left( {1;2} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{1 - 3{x^2}}}{{1 - 2x}}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) có:
\(f'\left( x \right) = \frac{{ - 6x\left( {1 - 2x} \right) + 2\left( {1 - 3{x^2}} \right)}}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}} = \frac{{6{x^2} - 6x + 2}}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 1 \right) = 2,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)
Vậy giá trị của m thỏa mãn là \(m \le 2.\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{2\cos x + 3}}{{2\cos x - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{3}} \right)\).
A. \(m \in \left( { - 3; + \infty } \right)\)
B. \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right)\)
D. \(m \in \left( { - 3;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
Đặt \(t = \cos x\) với \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{3}} \right)\) thì \(t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\) .
Hàm số \(y = \frac{{2\cos x + 3}}{{2\cos x - m}}\) đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{3}} \right)\) thì hàm số \(y = f\left( t \right) = \frac{{2t + 3}}{{2t - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2};1} \right)\).
Xét \(y' = \frac{{2.\left( { - m} \right) - 3.2}}{{{{\left( {2t - m} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2m - 6}}{{{{\left( {2t - m} \right)}^2}}}\).
Vậy để thỏa mãn yêu cầu của đề bài thì \(y'>0\) với mọi \(t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\).
Hay \(\frac{{ - 2m - 6}}{{{{\left( {2t - m} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\) \(\Leftrightarrow - 2m - 6 > 0 \Leftrightarrow m < - 3\)
Hàm số \(y = \frac{{2\cos x + 3}}{{2\cos x - m}}\) đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{3}} \right)\) thì hàm số \(y = f\left( t \right) = \frac{{2t + 3}}{{2t - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2};1} \right)\).
Xét \(y' = \frac{{2.\left( { - m} \right) - 3.2}}{{{{\left( {2t - m} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2m - 6}}{{{{\left( {2t - m} \right)}^2}}}\).
Vậy để thỏa mãn yêu cầu của đề bài thì \(y'>0\) với mọi \(t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\).
Hay \(\frac{{ - 2m - 6}}{{{{\left( {2t - m} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\) \(\Leftrightarrow - 2m - 6 > 0 \Leftrightarrow m < - 3\)
. Hàm số nào sau đây là hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?
A. \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\)
B. \(y = - 2{x^3} + {x^2} - x + 2\)
C. \(y = - {x^4} + 2{x^2} - 2\)
D. \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\)
Các hàm số bậc bốn và hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất không thể nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
Loại C, D
Hàm số bậc 3 ở ý A có hệ số x3 dương nên không thể nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
Loại A
Hàm số ở ý B có y’ = -6x2 + 2x - 1 < 0, \(\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Loại C, D
Hàm số bậc 3 ở ý A có hệ số x3 dương nên không thể nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
Loại A
Hàm số ở ý B có y’ = -6x2 + 2x - 1 < 0, \(\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + 2017\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
A. m=-2
B. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
C. \(m \ge - 2\)
D. \(m \in\mathbb{R}\)
Hàm số đã cho đồng biến trên khi và chỉ khi:
\(y' = {x^2} - 2(m + 1)x - (2m + 3) \ge 0{\rm{ }},\forall x \in \mathbb{R}\)
Điều này xảy ra khi:
\(\Delta ' = {(m + 1)^2} + (2m + 3) \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 \le 0 \Leftrightarrow m = - 2\)
\(y' = {x^2} - 2(m + 1)x - (2m + 3) \ge 0{\rm{ }},\forall x \in \mathbb{R}\)
Điều này xảy ra khi:
\(\Delta ' = {(m + 1)^2} + (2m + 3) \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 \le 0 \Leftrightarrow m = - 2\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(f(x) = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {4;16} \right)\).
A. \(m \in \left[ {4; + \infty } \right)\)
B. \(m \in \left( {3;4} \right] \cup \left[ {16; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( {3; + \infty } \right)\)
D. \(m = \frac{{33}}{{16}}\)
Đặt \(\sqrt x = t \Leftrightarrow 2 < t < 4\).
Bài toán trở thành tìm m để hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{t - 3}}{{t - m}}\) nghịch biến trên (2;4).
\(g\left( t \right) = \frac{{t - 3}}{{t - m}}\), TXĐ: \(D = \backslash \left\{ m \right\}\)
\(g'(t) = \frac{{3 - m}}{{{{(t - m)}^2}}}\)
Với m=3 thì \(f'(t) = 0,\forall t \ne 3\).
Với \(m \ne 3\) thì \(f'(t) \ne 0,\forall t \ne 3\).
Vậy hàm số f(x) nghịch biến trên (4;16) khi và chỉ khi g(t) nghịch biến trên (2;4).
Điiều này xảy ra khi: \(g'(t) = \frac{{3 - m}}{{{{(t - m)}^2}}} < 0,\forall t \in (2;4) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \notin (2;4)\\ 3 - m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 4\).
Bài toán trở thành tìm m để hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{t - 3}}{{t - m}}\) nghịch biến trên (2;4).
\(g\left( t \right) = \frac{{t - 3}}{{t - m}}\), TXĐ: \(D = \backslash \left\{ m \right\}\)
\(g'(t) = \frac{{3 - m}}{{{{(t - m)}^2}}}\)
Với m=3 thì \(f'(t) = 0,\forall t \ne 3\).
Với \(m \ne 3\) thì \(f'(t) \ne 0,\forall t \ne 3\).
Vậy hàm số f(x) nghịch biến trên (4;16) khi và chỉ khi g(t) nghịch biến trên (2;4).
Điiều này xảy ra khi: \(g'(t) = \frac{{3 - m}}{{{{(t - m)}^2}}} < 0,\forall t \in (2;4) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \notin (2;4)\\ 3 - m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 4\).
Tìm các giá trị thực của tham số m đề hàm số \(y = \frac{{m - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{{{\cos }^2}x}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{6}} \right)\).
A. \(m \ge \frac{5}{2}\)
B. \(m \le \frac{5}{2}\)
C. \(m \le \frac{5}{4}\)
D. \(m \ge \frac{5}{4}\)
Đặt \(t = \sin x,\,\,0 < x < \frac{\pi }{6} \Rightarrow 0 < t < \frac{1}{2}\)
Khi đó hàm số đã cho trở thành \(y = \frac{{m - t}}{{1 - {t^2}}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 1 + 2mt - {t^2}}}{{{{(1 - {t^2})}^2}}} \le 0\)
Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) khi:
\(\begin{array}{l} - 1 + 2mt - {t^2} \le 0,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow t + \frac{1}{t} \ge 2m,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \end{array}\)
Xét hàm số:
\(\begin{array}{l} f(t) = t + \frac{1}{t} \Rightarrow f'(t) = 1 - \frac{1}{{{t^2}}} < 0,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\\ \Rightarrow \min \,f(t) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{5}{2} \end{array}\)
Vậy \(m \le \frac{5}{4}\).
Khi đó hàm số đã cho trở thành \(y = \frac{{m - t}}{{1 - {t^2}}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 1 + 2mt - {t^2}}}{{{{(1 - {t^2})}^2}}} \le 0\)
Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) khi:
\(\begin{array}{l} - 1 + 2mt - {t^2} \le 0,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow t + \frac{1}{t} \ge 2m,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \end{array}\)
Xét hàm số:
\(\begin{array}{l} f(t) = t + \frac{1}{t} \Rightarrow f'(t) = 1 - \frac{1}{{{t^2}}} < 0,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\\ \Rightarrow \min \,f(t) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{5}{2} \end{array}\)
Vậy \(m \le \frac{5}{4}\).
Cho hàm số \(y = - {x^3} - 6{x^2} + 10\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;-4} \right)\)
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - 4;0} \right)\)
Hàm số \(y = - {x^3} - 6{x^2} + 10\) có \(y' = - 3{x^2} - 12x\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} y' > 0 \Leftrightarrow - 4 < x < 0\\ y' < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 4\\ x > 0 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-4;0), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 4} \right)\) và \($\left( {0; + \infty } \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} y' > 0 \Leftrightarrow - 4 < x < 0\\ y' < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 4\\ x > 0 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-4;0), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 4} \right)\) và \($\left( {0; + \infty } \right)\)
Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K và có đạo hàm là f’(x) trên K. Biết hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số f’(x) trên K. Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị trên K?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Đồ thị của đạo hàm cho thấy đạo hàm có duy nhất một lần đổi dấu từ (-) sang (+) tại điểm có hoành độ x=-1 nên hàm số đạt cực đại tại x=-1, là điểm cực trị duy nhất.
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và khoảng \(\left( {0;1} \right)\)
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và khoảng \(\left( {0;1} \right)\)
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left ( -1;0 \right )\)
Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\)
\(y' = 4{x^3} - 4x\)
\(y' < 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x < 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 1}\\ {0 < x < 1} \end{array}} \right.\)
\(y' > 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\ x > 1 \end{array} \right.\)
Nên hàm số đã cho nghịch biến trong các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\); \(\left( {0;1} \right)\) và đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right);\) \(\left( {1; + \infty } \right)\)
\(y' = 4{x^3} - 4x\)
\(y' < 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x < 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 1}\\ {0 < x < 1} \end{array}} \right.\)
\(y' > 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\ x > 1 \end{array} \right.\)
Nên hàm số đã cho nghịch biến trong các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\); \(\left( {0;1} \right)\) và đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right);\) \(\left( {1; + \infty } \right)\)