Xin giới thiệu: Bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của Hàm Số trích đề thi thử trường chuyên (phần 7)
Câu 1:
Hỏi hàm số \(y = 2{x^4} + 1\) đồng biến trên khoảng nào?
A. \(\left( {0; + \infty } \right)\)
B. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\)
C. \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
D. \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
Câu 2:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + \frac{3}{4}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2; + \infty } \right)\)
B. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)
C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 2;3} \right)\)
D. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2;3} \right)\)
Câu 3:
Cho hàm số \(y = - \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} - x - 3\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left ( -\- \infty;\frac{1}{2} \right )\)
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left ( -\frac{1}{2};+\infty \right )\)
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left ( -\- \infty;\frac{1}{2} \right )\) và \(\left ( -\frac{1}{2};+\infty \right )\)
Câu 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - \sqrt {x + 1} .\sqrt {3 - x}\).
A. \(m = \frac{9}{{10}}\)
B. \(m = 2\sqrt 2 - 1\)
C. \(m = \frac{8}{{10}}\)
D. \(m = 2\sqrt 2 - 2\)
Câu 5:
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. \(y = \frac{{x + 5}}{{ - x - 1}}\)
B. \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)
C. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\)
D. \(y = \frac{{x - 2}}{{2x - 1}}\)
Câu 6:
Hàm số y = - {x^3} + 3{x^2} + 9x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. \(\left( { - 2;3} \right)\)
B. \(\left( { - 2;-1} \right)\)
C. \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { 2;3} \right)\)
Câu 7:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{{mx + 2}}{{2x + m}}\) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
A. \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
B. \(m =2\)
C. \(m \in \left( { - 2 ; 2} \right)\)
D. \(m =-2\)
Câu 8:
Cho hàm số y = - {x^4} + 2{x^2} + 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty ).\)
B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0).\)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng \((1; + \infty ).\)
D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1).\)
Câu 9:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + x + 1\) đồng biến trên R.
A. \(- 1 < m < 1\)
B. \(- 1 \le m \le 1\)
C. \(- 2 < m < 2\)
D. \(- 2 \le m \le 2\)
Câu 10:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 – mx2 + (m - 1)x + 1 đồng biến trên khoảng (1; 2).
A. \(m \le \frac{{11}}{3}\)
B. \(m < \frac{{11}}{3}\)
C. \(m \le 2\)
D. \(m < 2\)
Câu 1:
Hỏi hàm số \(y = 2{x^4} + 1\) đồng biến trên khoảng nào?
A. \(\left( {0; + \infty } \right)\)
B. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\)
C. \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
D. \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
\(\begin{array}{l} y' = 8{x^3}\\ y' > 0 \Leftrightarrow 8{x^3} > 0 \Leftrightarrow x > 0 \end{array}\)
Nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + \frac{3}{4}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2; + \infty } \right)\)
B. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)
C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 2;3} \right)\)
D. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2;3} \right)\)
y' = {x^2} - x - 6\\
\(y' < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 3\)
Nên hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( { - 2;3} \right)\)
\(y' < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 3\)
Nên hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( { - 2;3} \right)\)
Cho hàm số \(y = - \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} - x - 3\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left ( -\- \infty;\frac{1}{2} \right )\)
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left ( -\frac{1}{2};+\infty \right )\)
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left ( -\- \infty;\frac{1}{2} \right )\) và \(\left ( -\frac{1}{2};+\infty \right )\)
Ta có: \(y' = - 4{x^2} - 4x - 1 = - {(2x + 1)^2} \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\)
Do đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\)
Do đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - \sqrt {x + 1} .\sqrt {3 - x}\).
A. \(m = \frac{9}{{10}}\)
B. \(m = 2\sqrt 2 - 1\)
C. \(m = \frac{8}{{10}}\)
D. \(m = 2\sqrt 2 - 2\)
Đặt
\(t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} \,(t \ge 0) \Rightarrow {t^2} = 4 + 2\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} \ge 4 \Rightarrow t \ge 2\)
Mặt khác:
\(2\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} \le \left( {1 + x} \right) + \left( {3 - x} \right) = 4 \Rightarrow {t^2} \le 8 \Rightarrow t \le 2\sqrt 2\)
\(\Rightarrow t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)
Ta có: \(\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} = \frac{{{t^2} - 4}}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - \sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} = t - \frac{{{t^2} - 4}}{2} = - \frac{{{t^2}}}{2} + t + 2\)
Xét hàm số \(f(t) = - \frac{{{t^2}}}{2} + t + 2\) trên \(\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)
Ta có: \(f'(t) = - t + 1 \Leftrightarrow t = 1 \notin \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)
\(f(2) = 2\)
\(f(2\sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 - 2\)
\(\Rightarrow \mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} = \mathop {\min f(t)}\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} = f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 - 2\)
\(t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} \,(t \ge 0) \Rightarrow {t^2} = 4 + 2\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} \ge 4 \Rightarrow t \ge 2\)
Mặt khác:
\(2\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} \le \left( {1 + x} \right) + \left( {3 - x} \right) = 4 \Rightarrow {t^2} \le 8 \Rightarrow t \le 2\sqrt 2\)
\(\Rightarrow t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)
Ta có: \(\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} = \frac{{{t^2} - 4}}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - \sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} = t - \frac{{{t^2} - 4}}{2} = - \frac{{{t^2}}}{2} + t + 2\)
Xét hàm số \(f(t) = - \frac{{{t^2}}}{2} + t + 2\) trên \(\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)
Ta có: \(f'(t) = - t + 1 \Leftrightarrow t = 1 \notin \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)
\(f(2) = 2\)
\(f(2\sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 - 2\)
\(\Rightarrow \mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} = \mathop {\min f(t)}\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} = f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 - 2\)
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. \(y = \frac{{x + 5}}{{ - x - 1}}\)
B. \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)
C. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\)
D. \(y = \frac{{x - 2}}{{2x - 1}}\)
\(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\)
\(y' = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} < 0\)
Nên hàm số luôn nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Kiểm tra tương tự với các hàm số ở các phương án khác.
\(y' = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} < 0\)
Nên hàm số luôn nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Kiểm tra tương tự với các hàm số ở các phương án khác.
Hàm số y = - {x^3} + 3{x^2} + 9x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. \(\left( { - 2;3} \right)\)
B. \(\left( { - 2;-1} \right)\)
C. \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { 2;3} \right)\)
\(y = - {x^3} + 3{x^2} + 9x\)
\(\begin{array}{l} y' = - 3{x^2} + 6x + 9\\ y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\\ y' > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 3 \end{array}\)
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên \(\left ( -1;3 \right )\) nên đồng biến trên \(\left ( 2;3 \right )\).
\(\begin{array}{l} y' = - 3{x^2} + 6x + 9\\ y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\\ y' > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 3 \end{array}\)
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên \(\left ( -1;3 \right )\) nên đồng biến trên \(\left ( 2;3 \right )\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{{mx + 2}}{{2x + m}}\) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
A. \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
B. \(m =2\)
C. \(m \in \left( { - 2 ; 2} \right)\)
D. \(m =-2\)
\(y = \frac{{mx + 2}}{{2x + m}}\)
\(y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{(2x + m)}}\)
\(y'=0\) khi m=-2 và m=2.
Với m=-2 và m=2 ta thấy hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi:
\(y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{(2x + m)}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < - 2\\ m > 2 \end{array} \right.\)
\(y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{(2x + m)}}\)
\(y'=0\) khi m=-2 và m=2.
Với m=-2 và m=2 ta thấy hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi:
\(y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{(2x + m)}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < - 2\\ m > 2 \end{array} \right.\)
Cho hàm số y = - {x^4} + 2{x^2} + 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty ).\)
B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0).\)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng \((1; + \infty ).\)
D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1).\)
\({\rm{y' = - 4}}{{\rm{x}}^3} + 4x\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đáp án D đúng.
\(y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đáp án D đúng.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + x + 1\) đồng biến trên R.
A. \(- 1 < m < 1\)
B. \(- 1 \le m \le 1\)
C. \(- 2 < m < 2\)
D. \(- 2 \le m \le 2\)
Ta có: \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + x + 1\)
\(\Rightarrow y' = {x^2} + 2mx + 1\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l} y' \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 1 \ge 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 > 0\\ \Delta ' = {m^2} - 1 \le 0 \end{array} \right. \Rightarrow - 1 \le m \le 1 \end{array}\)
\(\Rightarrow y' = {x^2} + 2mx + 1\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l} y' \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 1 \ge 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 > 0\\ \Delta ' = {m^2} - 1 \le 0 \end{array} \right. \Rightarrow - 1 \le m \le 1 \end{array}\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 – mx2 + (m - 1)x + 1 đồng biến trên khoảng (1; 2).
A. \(m \le \frac{{11}}{3}\)
B. \(m < \frac{{11}}{3}\)
C. \(m \le 2\)
D. \(m < 2\)
Ta có: \(y' = 3{x^2}-2mx + m-1\)
Với x ∈ (1;2) thì \(y' > 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx + m - 1 > 0 \Leftrightarrow m(1 - 2x) > 1 - 3{x^2} \Leftrightarrow m < \frac{{1 - 3{x^2}}}{{1 - 2x}}(*)\)
Hàm số đã cho đồng biến trên (1;2) khi và chỉ khi bất phương trình (*) nghiệm đúng ∀x ∈ (1;2)
Xét hàm số \(f(x) = \frac{{1 - 3{x^2}}}{{1 - 2x}}\) trên [1;2], có
\(f'(x) = \frac{{ - 6x(1 - 2x) + 2(1 - 3{x^2})}}{{{{(1 - 2x)}^2}}} = \frac{{6{x^2} - 6x + 2}}{{{{(1 - 2x)}^2}}} > 0,\forall x \in (1;2)\)
\(\Rightarrow f(x) > f(1) = 2,\forall x \in (1;2)\)
Vậy giá trị của m thỏa mãn là m ≤ 2
Với x ∈ (1;2) thì \(y' > 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx + m - 1 > 0 \Leftrightarrow m(1 - 2x) > 1 - 3{x^2} \Leftrightarrow m < \frac{{1 - 3{x^2}}}{{1 - 2x}}(*)\)
Hàm số đã cho đồng biến trên (1;2) khi và chỉ khi bất phương trình (*) nghiệm đúng ∀x ∈ (1;2)
Xét hàm số \(f(x) = \frac{{1 - 3{x^2}}}{{1 - 2x}}\) trên [1;2], có
\(f'(x) = \frac{{ - 6x(1 - 2x) + 2(1 - 3{x^2})}}{{{{(1 - 2x)}^2}}} = \frac{{6{x^2} - 6x + 2}}{{{{(1 - 2x)}^2}}} > 0,\forall x \in (1;2)\)
\(\Rightarrow f(x) > f(1) = 2,\forall x \in (1;2)\)
Vậy giá trị của m thỏa mãn là m ≤ 2