Xin giới thiệu: Bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của Hàm Số trích đề thi thử trường chuyên (phần 4)
Câu 1:
Hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) đồng biến trên khoảng nào?
A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)
B. \(\left( {1; + \infty } \right)\)
C. \(\left( { - 1;1} \right)\)
D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Câu 2:
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x + m}}\) nghịch biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
A. \(m < 1\)
B. \(m >2\)
C. \(m < 1 \vee m > 2\)
D. \(1 \le m < 2\)
Câu 3:
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x - 3}}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
B. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right);\left( {3; + \infty } \right)\).
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right);\left( {3; + \infty } \right)\)
Câu 4:
Hàm số \(y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 4\) nghịch biến trên khoảng nào?
A. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)
B. \(\left( {1;2} \right)\)
C. \(\left( {2;3} \right)\)
D. \(\left( {2; + \infty } \right)\)
Câu 5:
Tìm giá trị lớn nhất của m để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + x\) đồng biến trên R.
A. 1
B. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
C. \(-\frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
D. 2
Câu 6:
Tìm khoảng đồng biến của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}}\).
A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) hoặc \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
B. \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\)
C. \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { - 1;1} \right)\)
Câu 7:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) đồng biến trong khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
A. \(m \le 0\)
B. \(m \le 1\)
C. \(m \le - 1\)
D. \(m \le 2\)
Câu 8:
Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
\(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) (I); \(y = - {x^4} + {x^2} - 2\)(II); \(y = {x^3} - 3x - 5\) (III)
A. I và II
B. Chỉ I
C. I và III
D. II và III
Câu 9:
Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. \(y= \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\)
B. \(y = \frac{{x - 1}}{{2 - x}}\)
C. \(y = \sqrt {2 - x} - x\)
D. \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - 3x + 2\)
Câu 10:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - mx - 10\) đồng biến trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\)
A. \(m \ge 0\)
B. \(m \le 0\)
C. Không có m
D. Đáp số khác
Câu 1:
Hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) đồng biến trên khoảng nào?
A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)
B. \(\left( {1; + \infty } \right)\)
C. \(\left( { - 1;1} \right)\)
D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
TXĐ: D = R.
\(y' = \frac{{{x^2} + 1 - x.2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\). Ta thấy với \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) thì \(y' > 0\). Vậy đáp án đúng là C.
\(y' = \frac{{{x^2} + 1 - x.2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\). Ta thấy với \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) thì \(y' > 0\). Vậy đáp án đúng là C.
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x + m}}\) nghịch biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
A. \(m < 1\)
B. \(m >2\)
C. \(m < 1 \vee m > 2\)
D. \(1 \le m < 2\)
TXĐ: \(x \in R\backslash \left\{ { - m} \right\}\)
\(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x + m}} \Rightarrow y' = \frac{{\left( {m + 1} \right)m - 2m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} = \frac{{{m^2} - m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\)
Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\)
Điều này xảy ra khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} - m \le - 1\\ {m^2} - m - 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ge 1\\ - 1 < m < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le m < 2\)
\(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x + m}} \Rightarrow y' = \frac{{\left( {m + 1} \right)m - 2m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} = \frac{{{m^2} - m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\)
Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\)
Điều này xảy ra khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} - m \le - 1\\ {m^2} - m - 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ge 1\\ - 1 < m < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le m < 2\)
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x - 3}}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
B. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right);\left( {3; + \infty } \right)\).
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right);\left( {3; + \infty } \right)\)
\(y = \frac{{x - 1}}{{x - 3}}\), TXĐ: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 3 \right\}\)
\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 3)}^2}}} < 0\)
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Lưu ý: Hàm số không nghichi biến trên \(\mathbb{R} \backslash \left\{ 3 \right\}\)
Ví dụ:
\(\begin{array}{l} {x_1} = - 2\\ {x_2} = 5 \end{array}\)
Ta có: \(x_1<x_2\)
Nhưng: \(f({x_1}) = \frac{3}{5} < f({x_2}) = 5\)
Nên hàm số không nghịch biến trên \(\mathbb{R} \backslash \left\{ 3 \right\}\).
\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 3)}^2}}} < 0\)
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Lưu ý: Hàm số không nghichi biến trên \(\mathbb{R} \backslash \left\{ 3 \right\}\)
Ví dụ:
\(\begin{array}{l} {x_1} = - 2\\ {x_2} = 5 \end{array}\)
Ta có: \(x_1<x_2\)
Nhưng: \(f({x_1}) = \frac{3}{5} < f({x_2}) = 5\)
Nên hàm số không nghịch biến trên \(\mathbb{R} \backslash \left\{ 3 \right\}\).
Hàm số \(y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 4\) nghịch biến trên khoảng nào?
A. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)
B. \(\left( {1;2} \right)\)
C. \(\left( {2;3} \right)\)
D. \(\left( {2; + \infty } \right)\)
\(y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 4\)
\(y' = 6{x^2} - 8x + 12 = 0\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 18x + 12 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 2 \end{array} \right.\)
\(y' < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2\)
Vậy B là đáp án đúng.
\(y' = 6{x^2} - 8x + 12 = 0\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 18x + 12 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 2 \end{array} \right.\)
\(y' < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2\)
Vậy B là đáp án đúng.
Tìm giá trị lớn nhất của m để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + x\) đồng biến trên R.
A. 1
B. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
C. \(-\frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
D. 2
Tập xác định: D = R
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6mx + 1\)
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi \(y' \ge 0\) với \(\forall x \in R\)
\(\Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx + 1 \ge 0,\,\forall x \in R\)
Vậy \(m \in \left[ { - \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right]\) thì hàm số đồng biến trên R.
Vậy giá trị lớn nhất của m là \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6mx + 1\)
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi \(y' \ge 0\) với \(\forall x \in R\)
\(\Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx + 1 \ge 0,\,\forall x \in R\)
Vậy \(m \in \left[ { - \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right]\) thì hàm số đồng biến trên R.
Vậy giá trị lớn nhất của m là \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Tìm khoảng đồng biến của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}}\).
A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) hoặc \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
B. \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\)
C. \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { - 1;1} \right)\)
Điều kiện:\(x \ne 1\), \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\)
Khi đó \(y' = 1 + \frac{{2.1 - 1.1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0{\rm{ }}\forall x \ne - 1\).
Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
Khi đó \(y' = 1 + \frac{{2.1 - 1.1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0{\rm{ }}\forall x \ne - 1\).
Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) đồng biến trong khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
A. \(m \le 0\)
B. \(m \le 1\)
C. \(m \le - 1\)
D. \(m \le 2\)
TXĐ: D=R
\(y' = \frac{{ - mx + 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Hàm số ĐB trong \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\)
\(\Leftrightarrow - mx + 1 \ge 0\) mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\,\,\left( 1 \right)\)
. m = 0 (1) đúng
. \(m > 0: - mx + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \le 1/m\). Vậy (1) không thỏa mãn.
.\(m < 0: - mx + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1/m\) . Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{m} \le 0\) (t/m)
Giá trị cần tìm là \(m \le 0\)
Chọn đáp án A.
\(y' = \frac{{ - mx + 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Hàm số ĐB trong \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\)
\(\Leftrightarrow - mx + 1 \ge 0\) mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\,\,\left( 1 \right)\)
. m = 0 (1) đúng
. \(m > 0: - mx + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \le 1/m\). Vậy (1) không thỏa mãn.
.\(m < 0: - mx + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1/m\) . Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{m} \le 0\) (t/m)
Giá trị cần tìm là \(m \le 0\)
Chọn đáp án A.
Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
\(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) (I); \(y = - {x^4} + {x^2} - 2\)(II); \(y = {x^3} - 3x - 5\) (III)
A. I và II
B. Chỉ I
C. I và III
D. II và III
Xét (I): Ta có: \(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0 \Rightarrow\) thỏa mãn
Xét (II): Hàm số bậc bốn trùng phương luôn có khoảng đồng biến và nghịch biến, nên (II) không thỏa yêu cầu bài toán.
Xét (III): \(y' = 3{x^2} - 3\) có 2 nghiệm phân biệt, nên có các khoảng đồng biến và nghịch biến, do đó (III) không thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy đáp án đúng là B.
Xét (II): Hàm số bậc bốn trùng phương luôn có khoảng đồng biến và nghịch biến, nên (II) không thỏa yêu cầu bài toán.
Xét (III): \(y' = 3{x^2} - 3\) có 2 nghiệm phân biệt, nên có các khoảng đồng biến và nghịch biến, do đó (III) không thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy đáp án đúng là B.
Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. \(y= \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\)
B. \(y = \frac{{x - 1}}{{2 - x}}\)
C. \(y = \sqrt {2 - x} - x\)
D. \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - 3x + 2\)
Lần lượt tính đạo hàm để kiểm tra tính đơn điệu của từng hàm số.
Ta thấy ở phương án B:
\(y = \frac{{x - 1}}{{2 - x}} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{{(2 - x)}^2}}} > 0{\rm{ }},\forall x \ne 2\)
Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Ta thấy ở phương án B:
\(y = \frac{{x - 1}}{{2 - x}} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{{(2 - x)}^2}}} > 0{\rm{ }},\forall x \ne 2\)
Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - mx - 10\) đồng biến trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\)
A. \(m \ge 0\)
B. \(m \le 0\)
C. Không có m
D. Đáp số khác
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
\({y^/} = {x^2} + 4x - m\)
Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\) khi \({y^/} \ge 0{\rm{ }},\forall x \in \left[ {0;\, + \infty } \right)\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + 4x - m \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0;\, + \infty } \right) \Leftrightarrow {x^2} + 4x \ge m\,\,\,\,\forall x \in \left[ {0;\, + \infty } \right)\)
Xét hàm số \(f(x) = {x^2} + 4x\) trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\)
Ta có: \({f^/}(x) = 2x + 4 > 0{\rm{ }},\forall x \in [0, + \infty )\)
\(\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{[0, + \infty )} f(x) = f(0) = 0\)
Vậy \(m\leq 0\) hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\).
\({y^/} = {x^2} + 4x - m\)
Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\) khi \({y^/} \ge 0{\rm{ }},\forall x \in \left[ {0;\, + \infty } \right)\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + 4x - m \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0;\, + \infty } \right) \Leftrightarrow {x^2} + 4x \ge m\,\,\,\,\forall x \in \left[ {0;\, + \infty } \right)\)
Xét hàm số \(f(x) = {x^2} + 4x\) trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\)
Ta có: \({f^/}(x) = 2x + 4 > 0{\rm{ }},\forall x \in [0, + \infty )\)
\(\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{[0, + \infty )} f(x) = f(0) = 0\)
Vậy \(m\leq 0\) hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\).