Xin giới thiệu: Bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của Hàm Số trích đề thi thử trường chuyên (phần 4)
Câu 1:
Tìm tập hợp m để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 3\left( {m + 1} \right)x + 1\) đồng biến trên R.
A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\)
B. \(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {0; + \infty } \right)\)
C. \(\left[ { - 1;0} \right]\)
D. \(\left( { - 1;0} \right)\)
Câu 2:
Tìm tập hợp m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + (m + 1){x^2} - (m + 1)x + 1\) nghịch biến trên R?
A. \(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ { - 1; + \infty } \right)\)
B. \(\left[ { - 2; - 1} \right]\)
C. R
D. \(\emptyset\)
Câu 3:
Tập hợp m để hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} - 3m + 1\) đồng biến trên khoảng (1; 2) là?
A. \(\left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(\left( {0;1} \right)\)
C. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0;1} \right)\)
D. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)
Câu 4:
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = 2{x^3} - 2{x^2} + mx - 1\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)?
A. \(m \ge - 2\)
B. \(m \le - 3\)
C. \(m \ge \frac{2}{3}\)
D. \(m \ge - \frac{2}{3}\)
Câu 5:
Tím số các giá trị nguyên của m để hàm số \(f(x) = \frac{{2x - m}}{{x + 1}}\) nghịch biến trên các khoảng xác định và hàm số \(g(x) = \frac{{2x - m}}{{x + 2}}\) đồng biến trên các khoảng xác định.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 6:
Cho hàm số: \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m.\) Tìm m để hàm số nghịch biến trên đúng một khoảng có độ dài bằng \(\sqrt 3\).
A. \(m = \frac{3}{4}\)
B. \(m = - \frac{3}{4}\)
C. \(m < 3\)
D. \(m > 3\)
Câu 7:
Cho hàm số y = f(x). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. \(f'\left( x \right) > 0\) với \(\forall x \in \left( {a,b} \right) \Rightarrow f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng (a,b).
B. \(f'\left( x \right) > 0\) với \(\forall x \in \left( {a,b} \right)\) khi và chỉ khi f(x) đồng biến trên khoảng (a,b).
C. f(x) đồng biến trên khoảng (a,b) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a,b} \right)\).
D. f(x) nghịch biến trên khoảng \(\left( {a,b} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a,b} \right)\).
Câu 8:
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R.
A. Hàm số \(y = - {x^3} + 3x - 4\)
B. Hàm số \(y = - {x^3} + {x^2} - 2x + 1\)
C. Hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 3x - 1\)
D. Đáp án B và C.
Câu 9:
Tìm m để hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
A. \({\rm{[}} - 1; + \infty )\)
B. \(\left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)
Câu 10:
Hàm số \(y = - {x^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x + 4}}\) đồng biến trên khoảng nào?
A. \(\left( { - 1;3} \right)\)
B. \(\left( { - 3;1} \right)\)
C. \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\)
D. \(\left( {3; + \infty } \right)\)
Câu 1:
Tìm tập hợp m để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 3\left( {m + 1} \right)x + 1\) đồng biến trên R.
A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\)
B. \(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {0; + \infty } \right)\)
C. \(\left[ { - 1;0} \right]\)
D. \(\left( { - 1;0} \right)\)
TXĐ: D = R
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6(m + 1)x + 3(m + 1)\\ \Delta ' = 9{(m + 1)^2} - 9(m + 1) = 9{m^2} + 9m \end{array}\)
Để hàm số đồng biến trên thì:
\(\begin{array}{l} \Delta ' \le 0,\forall m\\ \Leftrightarrow 9{m^2} + 9m \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 0 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6(m + 1)x + 3(m + 1)\\ \Delta ' = 9{(m + 1)^2} - 9(m + 1) = 9{m^2} + 9m \end{array}\)
Để hàm số đồng biến trên thì:
\(\begin{array}{l} \Delta ' \le 0,\forall m\\ \Leftrightarrow 9{m^2} + 9m \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 0 \end{array}\)
Tìm tập hợp m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + (m + 1){x^2} - (m + 1)x + 1\) nghịch biến trên R?
A. \(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ { - 1; + \infty } \right)\)
B. \(\left[ { - 2; - 1} \right]\)
C. R
D. \(\emptyset\)
TXĐ: D = R
\(y' = {x^2} + 2(m + 1)x - (m + 1)\)
Ta thấy hệ số của x2 là 1>0 nên không thể xảy ra trường hợp \(y' \le 0,\forall x \in R\).
Do đó hàm số không thể nghịch biến trên R.
Vậy không tồn tại giá trị m thỏa m yêu cầu bài toán.
\(y' = {x^2} + 2(m + 1)x - (m + 1)\)
Ta thấy hệ số của x2 là 1>0 nên không thể xảy ra trường hợp \(y' \le 0,\forall x \in R\).
Do đó hàm số không thể nghịch biến trên R.
Vậy không tồn tại giá trị m thỏa m yêu cầu bài toán.
Tập hợp m để hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} - 3m + 1\) đồng biến trên khoảng (1; 2) là?
A. \(\left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(\left( {0;1} \right)\)
C. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0;1} \right)\)
D. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)
TXĐ: D = R
\(y' = 4{x^3} - 4mx = 4x({x^2} - m)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} - m = 0(*) \end{array} \right.\)
TH1: \(m \le 0\) thì phương trình có một nghiệm duy nhất x = 0.
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên đồng biến trên khoảng (1;2).
TH2: \(m > 0\)
Khi đó: \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \sqrt m \\ x = \sqrt m \end{array} \right.\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng: \(( - \sqrt m ,0);\,\left( {\sqrt m ; + \infty } \right)\)
Vậy để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) thì \(\sqrt m < 1 \Leftrightarrow m < 1\).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0;1} \right)\).
\(y' = 4{x^3} - 4mx = 4x({x^2} - m)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} - m = 0(*) \end{array} \right.\)
TH1: \(m \le 0\) thì phương trình có một nghiệm duy nhất x = 0.
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên đồng biến trên khoảng (1;2).
TH2: \(m > 0\)
Khi đó: \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \sqrt m \\ x = \sqrt m \end{array} \right.\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng: \(( - \sqrt m ,0);\,\left( {\sqrt m ; + \infty } \right)\)
Vậy để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) thì \(\sqrt m < 1 \Leftrightarrow m < 1\).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0;1} \right)\).
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = 2{x^3} - 2{x^2} + mx - 1\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)?
A. \(m \ge - 2\)
B. \(m \le - 3\)
C. \(m \ge \frac{2}{3}\)
D. \(m \ge - \frac{2}{3}\)
TXĐ: D = R
\(y' = 6{x^2} - 4x + m\)
Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì:
\(\begin{array}{l} y' \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ \Rightarrow 6{x^2} - 4x + m \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \end{array}\)
\(\Leftrightarrow m \ge - 6{x^2} + 4x,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
Xét hàm số \(g(x) = - 6{x^2} + 4x,x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
\(\begin{array}{l} g'(x) = - 12x + 4\\ g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \end{array}\)
Bảng biến thiên:
Vậy để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì: \(m \ge \frac{2}{3}\)\(f(x) = \frac{{2x - m}}{{x + 1}}\)
\(y' = 6{x^2} - 4x + m\)
Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì:
\(\begin{array}{l} y' \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ \Rightarrow 6{x^2} - 4x + m \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \end{array}\)
\(\Leftrightarrow m \ge - 6{x^2} + 4x,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
Xét hàm số \(g(x) = - 6{x^2} + 4x,x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
\(\begin{array}{l} g'(x) = - 12x + 4\\ g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \end{array}\)
Bảng biến thiên:
Vậy để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì: \(m \ge \frac{2}{3}\)\(f(x) = \frac{{2x - m}}{{x + 1}}\)
Tím số các giá trị nguyên của m để hàm số \(f(x) = \frac{{2x - m}}{{x + 1}}\) nghịch biến trên các khoảng xác định và hàm số \(g(x) = \frac{{2x - m}}{{x + 2}}\) đồng biến trên các khoảng xác định.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Xét \(f(x)\) , TXĐ: D = R\{-1}
\(f'(x) = \frac{{2 + m}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)
\(f'(x) = 0 \Rightarrow m = - 2\)
Với m = -2 ta có \(f(x) = 2\) là hàm hằng.
\(f'(x) < 0 \Rightarrow m < - 2\)
Khi đó hàm số f(x) nghịch biến trên từng khoảng xác định (*).
Xét \(g(x)\) , TXĐ: D = R\{-2}
\(g'(x) = \frac{{4 + m}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
\(g'(x) = 0 \Rightarrow m = - 4\)
Với m = -4 thì g(x) = 2 là hàm hằng.
\(g'(x) > 0 \Leftrightarrow m > - 4\)
Khi đó hàm số g(x) đồng biến trên từng khoảng xác định(**)
Từ (*) và (**) suy ra có 1 giá trị nguyên là -3 thỏa yêu cầu bài toán
\(f'(x) = \frac{{2 + m}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)
\(f'(x) = 0 \Rightarrow m = - 2\)
Với m = -2 ta có \(f(x) = 2\) là hàm hằng.
\(f'(x) < 0 \Rightarrow m < - 2\)
Khi đó hàm số f(x) nghịch biến trên từng khoảng xác định (*).
Xét \(g(x)\) , TXĐ: D = R\{-2}
\(g'(x) = \frac{{4 + m}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
\(g'(x) = 0 \Rightarrow m = - 4\)
Với m = -4 thì g(x) = 2 là hàm hằng.
\(g'(x) > 0 \Leftrightarrow m > - 4\)
Khi đó hàm số g(x) đồng biến trên từng khoảng xác định(**)
Từ (*) và (**) suy ra có 1 giá trị nguyên là -3 thỏa yêu cầu bài toán
Cho hàm số: \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m.\) Tìm m để hàm số nghịch biến trên đúng một khoảng có độ dài bằng \(\sqrt 3\).
A. \(m = \frac{3}{4}\)
B. \(m = - \frac{3}{4}\)
C. \(m < 3\)
D. \(m > 3\)
TXĐ: D = R
\(y' = 3{x^2} + 6x + m\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài \(\sqrt{3}\) khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\,(*)\)
Với ( \({x_1},{x_2}$\) là 2 nghiệm của phương trình y’=0)
\((*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9 - 3m > 0\\ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = 3 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ 4 - \frac{{4m}}{3} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m = \frac{3}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{3}{4}\)
\(y' = 3{x^2} + 6x + m\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài \(\sqrt{3}\) khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\,(*)\)
Với ( \({x_1},{x_2}$\) là 2 nghiệm của phương trình y’=0)
\((*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9 - 3m > 0\\ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = 3 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ 4 - \frac{{4m}}{3} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m = \frac{3}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{3}{4}\)
Cho hàm số y = f(x). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. \(f'\left( x \right) > 0\) với \(\forall x \in \left( {a,b} \right) \Rightarrow f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng (a,b).
B. \(f'\left( x \right) > 0\) với \(\forall x \in \left( {a,b} \right)\) khi và chỉ khi f(x) đồng biến trên khoảng (a,b).
C. f(x) đồng biến trên khoảng (a,b) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a,b} \right)\).
D. f(x) nghịch biến trên khoảng \(\left( {a,b} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a,b} \right)\).
“Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f'(x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'(x)<0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.”
Chúng ta nhận thấy rõ ở đây, chỉ có chiều suy ra và không có chiều ngược lại, vậy chúng ta có thể loại được ý B, C. Với ý A và D, soi vào định lý chúng ta có thể thấy được ý A đúng. Vì sao ý D lại sai. Chúng ta cùng nhớ lại định lý mở rộng ở trang 7 SGK, và nhận thấy mệnh đề này còn thiếu rằng f(x)=0 tại hữu hạn điểm.
a) Nếu f'(x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'(x)<0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.”
Chúng ta nhận thấy rõ ở đây, chỉ có chiều suy ra và không có chiều ngược lại, vậy chúng ta có thể loại được ý B, C. Với ý A và D, soi vào định lý chúng ta có thể thấy được ý A đúng. Vì sao ý D lại sai. Chúng ta cùng nhớ lại định lý mở rộng ở trang 7 SGK, và nhận thấy mệnh đề này còn thiếu rằng f(x)=0 tại hữu hạn điểm.
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R.
A. Hàm số \(y = - {x^3} + 3x - 4\)
B. Hàm số \(y = - {x^3} + {x^2} - 2x + 1\)
C. Hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 3x - 1\)
D. Đáp án B và C.
Hàm đa thức \(y = f\left( x \right)\) là hàm nghịch biến trên R khi và chỉ khi đạo hàm \(f'\left( x \right) \le 0;\,\forall x \in R\)
A) \(y = - {x^3} + 3x - 4 \Rightarrow y' = - 3{x^2} + 3\)
\(= 3\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\)
Loại đáp án A.
B) \(y = - {x^3} + {x^2} - 2x + 1\)
\(\Rightarrow y' = - 3{x^2} + 2x - 2 = - 3{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} - \frac{5}{3} < 0;\,\forall x \in R\)
C) \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 3x - 1\)
\(\Rightarrow y' = - 3{x^2} + 6x - 3 = - 3{\left( {x - 1} \right)^2} \le 0;\,\,\forall x \in R\)
Vậy đáp án đúng ở đây là đáp án D.
A) \(y = - {x^3} + 3x - 4 \Rightarrow y' = - 3{x^2} + 3\)
\(= 3\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\)
Loại đáp án A.
B) \(y = - {x^3} + {x^2} - 2x + 1\)
\(\Rightarrow y' = - 3{x^2} + 2x - 2 = - 3{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} - \frac{5}{3} < 0;\,\forall x \in R\)
C) \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 3x - 1\)
\(\Rightarrow y' = - 3{x^2} + 6x - 3 = - 3{\left( {x - 1} \right)^2} \le 0;\,\,\forall x \in R\)
Vậy đáp án đúng ở đây là đáp án D.
Tìm m để hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
A. \({\rm{[}} - 1; + \infty )\)
B. \(\left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)
\(y = \frac{{x - 1}}{{x + m}} \Rightarrow y' = \frac{{m + 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\)
Với m=-1, ta có y=1 là hàm hằng.
Vậy điều kiện cần tìm là:
\(\left\{ \begin{array}{l} m + 1 > 0\\ - m \notin \left( {2; + \infty } \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 1\)
Như vậy đáp án cần tìm là: C.
Với m=-1, ta có y=1 là hàm hằng.
Vậy điều kiện cần tìm là:
\(\left\{ \begin{array}{l} m + 1 > 0\\ - m \notin \left( {2; + \infty } \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 1\)
Như vậy đáp án cần tìm là: C.
Hàm số \(y = - {x^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x + 4}}\) đồng biến trên khoảng nào?
A. \(\left( { - 1;3} \right)\)
B. \(\left( { - 3;1} \right)\)
C. \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\)
D. \(\left( {3; + \infty } \right)\)
\(y = - {x^3} + 3{x^2} + 9x + 4,\,\,TX{\rm{D}}:\,D = R\)
\(\Rightarrow y' = - 3{x^2} + 6x + 9\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow y' > 0,\forall x \in \left( { - 1;3} \right)\)=> Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;3} \right)\).
\(\Rightarrow y' = - 3{x^2} + 6x + 9\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow y' > 0,\forall x \in \left( { - 1;3} \right)\)=> Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;3} \right)\).