Xin giới thiệu: Bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của Hàm Số trích đề thi thử trường chuyên (phần 14)
Câu 1:
Hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).
B. \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\)
C. \(\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\)
D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)
Câu 2:
Hàm số \(y = {x^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 1\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. \(\left( { - 4; - 3} \right).\)
B. \(\left( { - 1;0} \right).\)
C. \(\left( {0;1} \right).\)
D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right).\)
Câu 3:
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{{{3^{ - x}} - 3}}{{{3^{ - x}} - m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right).\)
A. \(m < \frac{1}{3}.\)
B. \(\frac{1}{3} < m < 3.\)
C. \(m \le \frac{1}{3}.\)
D. \(m > 3.\)
Câu 3:
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right).\)
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3)
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right).\)
Câu 4:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^4} - 2m{x^2}\) đồng biến trên khoảng \((1;+\infty ).\)
A. \(m \le - 1\)
B. \(m =-1\) hoặc \(m > \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)
C. \(m \le - 1\) hoặc \(m \ge \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)
D. \(m \le - 1\) hoặc \(m>1\)
Câu 5:
Hàm số nào sau đây đồng biến trên \mathbb{R}?
A. \(y = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}\left( {{x^2} + 1} \right)\)
B. \(y = \frac{1}{{{3^x}}}\)
C. \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\)
D. \(y =3^x\)
Câu 6:
Hàm số \(y = {x^4} - 1\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \((-1;1)\)
B. \((-\infty ;0)\)
C. \((0;+\infty)\)
D. \((-1;+\infty)\)
[/SPOILER] Câu 7:
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}\left( {m + 1} \right){x^2} + m{\rm{x}} + 5.\) Tìm m để hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right).\)
A. \(1 \le m \le 2.\)
B. \(m \le 1.\)
C. \(m \le 2.\)
D. \(m \ge 2.\)
Câu 9:
Cho hàm số \(y = {\left( {\frac{4}{{2017}}} \right)^{{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x} + 1}}.\) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2).
A. \(3{e^3} + 1 \le m \le 3{e^4} + 1\)
B. \(m \ge 3{e^4} + 1\)
C. \(3{e^2} + 1 \le m \le 3{e^3} + 1\)
D. \(m < 3{e^2} + 1\)
Câu 10:
Tìm giá trị lớn nhất M của \(P = {2^{{{\sin }^2}x}} + {2^{{{\cos }^2}x}}.\)
A. M=3
B. M=2
C. M=4
D. M=5
Câu 1:
Hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).
B. \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\)
C. \(\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\)
D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)
Tập xác định \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
Ta có \(y' = \frac{{3x - 2}}{{\sqrt {{{({x^2} - 1)}^3}} }}\). Phương trình y’=0 vô nghiệm.
\(y' < 0 \Leftrightarrow x < - 1.\)
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
Ta có \(y' = \frac{{3x - 2}}{{\sqrt {{{({x^2} - 1)}^3}} }}\). Phương trình y’=0 vô nghiệm.
\(y' < 0 \Leftrightarrow x < - 1.\)
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
Hàm số \(y = {x^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 1\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. \(\left( { - 4; - 3} \right).\)
B. \(\left( { - 1;0} \right).\)
C. \(\left( {0;1} \right).\)
D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right).\)
Xét hàm số \(y = {x^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 1\)
Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4x;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right),\,\,\left( {1; + \infty } \right).\)
Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4x;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right),\,\,\left( {1; + \infty } \right).\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{{{3^{ - x}} - 3}}{{{3^{ - x}} - m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right).\)
A. \(m < \frac{1}{3}.\)
B. \(\frac{1}{3} < m < 3.\)
C. \(m \le \frac{1}{3}.\)
D. \(m > 3.\)
Ta có: \(y' = \frac{{{3^{ - x}}\left( {m - 3} \right).\ln 3}}{{{{\left( {{3^{ - x}} - m} \right)}^2}}}\)
Với m=3, ta có \(y' = 0\) hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Vậy hàm số nghịch biến trên (-1;1) khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}y' < 0,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\{3^{ - x}} - m \ne 0\\x \in \left( { - 1;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne {3^{ - x}}\\x \in \left( { - 1;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \notin \left( {\frac{1}{3};3} \right)\\m < 3\end{array} \right. \Rightarrow m \le \frac{1}{3}.\)
Với m=3, ta có \(y' = 0\) hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Vậy hàm số nghịch biến trên (-1;1) khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}y' < 0,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\{3^{ - x}} - m \ne 0\\x \in \left( { - 1;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne {3^{ - x}}\\x \in \left( { - 1;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \notin \left( {\frac{1}{3};3} \right)\\m < 3\end{array} \right. \Rightarrow m \le \frac{1}{3}.\)
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right).\)
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3)
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right).\)
Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), nghịch biến trên (1;2).
Do đó mệnh đề C sai.
Do đó mệnh đề C sai.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^4} - 2m{x^2}\) đồng biến trên khoảng \((1;+\infty ).\)
A. \(m \le - 1\)
B. \(m =-1\) hoặc \(m > \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)
C. \(m \le - 1\) hoặc \(m \ge \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)
D. \(m \le - 1\) hoặc \(m>1\)
Ta có \(y' = 4\left( {{m^2} - 1} \right){x^3} - 4mx\)
Với \(m = - 1 \Rightarrow y' = 4x > 0 \Leftrightarrow x > 0\) nên hàm số đồng biến trên \((1;+\infty ).\)
Với \(m = 1 \Rightarrow y' = - 4x > 0 \Leftrightarrow x < 0\) nên hàm số không đồng biến trên \((1;+\infty ).\)
Với \(m \ne \pm 1\) để hàm số đồng biến trên \((1;+\infty )\) thì \(\left[ {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} - m} \right]x \ge 0,\left( {\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)} \right).\)
\(\Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} \ge m\left( {\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} - 1 > 0}\\ {\left( {{m^2} - 1} \right).{{\left( 1 \right)}^2} \ge m} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ge \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}\\ {m < - 1} \end{array}} \right.} \right.\)
(do \(y = {m^2} - 1,y = m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}, y=x^2\) đồng biến trên \((1;+\infty )\))
Kết hợp ta có \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ge \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}\\ {m \le - 1} \end{array}} \right.\) là giá trị m cần tìm.
Với \(m = - 1 \Rightarrow y' = 4x > 0 \Leftrightarrow x > 0\) nên hàm số đồng biến trên \((1;+\infty ).\)
Với \(m = 1 \Rightarrow y' = - 4x > 0 \Leftrightarrow x < 0\) nên hàm số không đồng biến trên \((1;+\infty ).\)
Với \(m \ne \pm 1\) để hàm số đồng biến trên \((1;+\infty )\) thì \(\left[ {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} - m} \right]x \ge 0,\left( {\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)} \right).\)
\(\Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} \ge m\left( {\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} - 1 > 0}\\ {\left( {{m^2} - 1} \right).{{\left( 1 \right)}^2} \ge m} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ge \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}\\ {m < - 1} \end{array}} \right.} \right.\)
(do \(y = {m^2} - 1,y = m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}, y=x^2\) đồng biến trên \((1;+\infty )\))
Kết hợp ta có \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ge \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}\\ {m \le - 1} \end{array}} \right.\) là giá trị m cần tìm.
Hàm số nào sau đây đồng biến trên \mathbb{R}?
A. \(y = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}\left( {{x^2} + 1} \right)\)
B. \(y = \frac{1}{{{3^x}}}\)
C. \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\)
D. \(y =3^x\)
Xét các hàm số ta có: \(\left[ {{{\log }_{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]' = \frac{{ - 4x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}} \ge 0 \Leftrightarrow x \le 0 \Rightarrow\) Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}\left( {{x^2} + 1} \right)\) không đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
\(\left( {\frac{1}{{{3^x}}}} \right)' = - \frac{{\ln 3}}{{{3^x}}} < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow\) Hàm số \(y = \frac{1}{{{3^x}}}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
\(\left[ {{{\log }_2}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0 \Rightarrow\) Hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\) không đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
\(\left( {{3^x}} \right)' = {3^x}\ln 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow\) Hàm số \(y =3^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
\(\left( {\frac{1}{{{3^x}}}} \right)' = - \frac{{\ln 3}}{{{3^x}}} < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow\) Hàm số \(y = \frac{1}{{{3^x}}}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
\(\left[ {{{\log }_2}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0 \Rightarrow\) Hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\) không đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
\(\left( {{3^x}} \right)' = {3^x}\ln 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow\) Hàm số \(y =3^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = {x^4} - 1\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \((-1;1)\)
B. \((-\infty ;0)\)
C. \((0;+\infty)\)
D. \((-1;+\infty)\)
Ta có: \(y = 4{x^3} > 0 \Leftrightarrow x > 0\) do đó hàm số đồng biến trên \((0;+\infty)\)
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}\left( {m + 1} \right){x^2} + m{\rm{x}} + 5.\) Tìm m để hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right).\)
A. \(1 \le m \le 2.\)
B. \(m \le 1.\)
C. \(m \le 2.\)
D. \(m \ge 2.\)
Ta có: \(y' = {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m\)
Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)khi: \(y' = \underbrace {{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m}_{f\left( x \right)} \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).\)
Điều này tương đương với hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)
Trường hợp 2: \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2} \le 2.\)
Từ 2 trường hợp trên ta có:
\(YCBT \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S - 4 < 0\\f\left( 2 \right) \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\m + 1 - 4 < 0\\4 - 2m - 2 + m \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 3\\m \le 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2.\)
Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)khi: \(y' = \underbrace {{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m}_{f\left( x \right)} \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).\)
Điều này tương đương với hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)
Trường hợp 2: \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2} \le 2.\)
Từ 2 trường hợp trên ta có:
\(YCBT \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S - 4 < 0\\f\left( 2 \right) \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\m + 1 - 4 < 0\\4 - 2m - 2 + m \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 3\\m \le 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2.\)
Cho hàm số \(y = {\left( {\frac{4}{{2017}}} \right)^{{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x} + 1}}.\) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2).
A. \(3{e^3} + 1 \le m \le 3{e^4} + 1\)
B. \(m \ge 3{e^4} + 1\)
C. \(3{e^2} + 1 \le m \le 3{e^3} + 1\)
D. \(m < 3{e^2} + 1\)
Ta có \(y'=\left [ \left ( \frac{4}{2017} \right ) ^{3x-(m-1)e^x+1}\right ]'= \ln \frac{4}{{2017}}.{\left( {\frac{4}{{2017}}} \right)^{{e^{3x - (m - 1){e^x} + 1}}}}.\left[ {3{e^{3x}} - (m - 1){e^x}} \right]\)
Hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) khi:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y' > 0}\\ {\forall x \in (1;2)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3{e^{3x}} - (m - 1){e^x} < 0}\\ {\forall x \in (1;2)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 3{e^{2x}} + 1 = f(x)}\\ {\forall x \in (1;2)} \end{array}} \right.\)
Xét hàm số \(f(x) = 3{e^{2x}} + 1\)
Có \(f'(x) = 6{e^{2x}} > 0,\forall x \in (1;2)\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) khi \(m \ge 3{e^4} + 1.\)
Hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) khi:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y' > 0}\\ {\forall x \in (1;2)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3{e^{3x}} - (m - 1){e^x} < 0}\\ {\forall x \in (1;2)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 3{e^{2x}} + 1 = f(x)}\\ {\forall x \in (1;2)} \end{array}} \right.\)
Xét hàm số \(f(x) = 3{e^{2x}} + 1\)
Có \(f'(x) = 6{e^{2x}} > 0,\forall x \in (1;2)\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) khi \(m \ge 3{e^4} + 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất M của \(P = {2^{{{\sin }^2}x}} + {2^{{{\cos }^2}x}}.\)
A. M=3
B. M=2
C. M=4
D. M=5
Ta có: \(P = {2^{{{\sin }^2}x}} + {2^{1 - {{\sin }^2}x}} = {2^{{{\sin }^2}x}} + \frac{2}{{{2^{{{\sin }^2}x}}}}\)
Đặt: \(t = {2^{{{\sin }^2}x}} \Rightarrow t \in \left[ {1;2} \right] \Rightarrow P = t + \frac{2}{t}\)
\(\Rightarrow P'(t) = 1 - \frac{2}{{{t^2}}} \Rightarrow P'(t) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{2}{{{t^2}}} = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = \sqrt 2 }\\ {t = - \sqrt 2 \;(loai)} \end{array}} \right.\)
Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P(1) = 3}\\ {P(2) = 3}\\ {P(\sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 } \end{array}} \right. \Rightarrow MaxP = 3 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1 \Leftrightarrow \sin x = 0}\\ {t = 2 \Leftrightarrow \cos x = 0} \end{array}} \right.\)
Đặt: \(t = {2^{{{\sin }^2}x}} \Rightarrow t \in \left[ {1;2} \right] \Rightarrow P = t + \frac{2}{t}\)
\(\Rightarrow P'(t) = 1 - \frac{2}{{{t^2}}} \Rightarrow P'(t) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{2}{{{t^2}}} = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = \sqrt 2 }\\ {t = - \sqrt 2 \;(loai)} \end{array}} \right.\)
Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P(1) = 3}\\ {P(2) = 3}\\ {P(\sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 } \end{array}} \right. \Rightarrow MaxP = 3 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1 \Leftrightarrow \sin x = 0}\\ {t = 2 \Leftrightarrow \cos x = 0} \end{array}} \right.\)