Xin giới thiệu: Bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của Hàm Số trích đề thi thử trường chuyên (phần 12)
Câu 1:
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập \(\mathbb{R}\)?
A. \(y = {x^2} + 1\)
B. \(y = - 2x + 1\)
C. \(y = 2x + 1\)
D. \(y = {x^2} + 1\)
Câu 2:
Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số y'=f(x) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng (1;2)
B. Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng (0;2)
C. Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng (-2;1)
D. Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng (-1;1)
Câu 3:
Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 1} .\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\)
B. Hàm số đồng biến trên \((-\infty ;+\infty )\)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng \((1 ;+\infty )\)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ;0)\)
Câu 4:
Cho hàm số \(y = \frac{x}{{x - 1}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)
B. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\)
C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Câu 5:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 2x + 2} + \sqrt {{x^3} - 2x + 2}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(f\left( {\sqrt[3]{4}} \right) > f\left( {\sqrt[4]{5}} \right)\)
B. \(f\left( {\sqrt[3]{4}} \right) < f\left( {\sqrt[4]{5}} \right)\)
C. \(f\left( {\sqrt[4]{5}} \right) = 2f\left( {\sqrt[3]{4}} \right)\)
D. \(f\left( {\sqrt[3]{4}} \right) = f\left( {\sqrt[4]{5}} \right)\)
Câu 6:
Cho hàm số \(y = \ln \frac{1}{{{x^2} + 1}}.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty ;+\infty )\)
B. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ;+\infty )\)
D. Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;0 )\)
Câu 7:
Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - mx - 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\)
A. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)
B. \(\left[ {1; + \infty } \right)\)
C. \(\left[ { - 1;1} \right]\)
D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\)
Câu 8:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \left( {2m - 1} \right)x - \left( {3m + 2} \right)\cos x\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
A. \(- 3 \le m \le - \frac{1}{5}.\)
B. \(- 3 < m < - \frac{1}{5}.\)
C. \(m<-3.\)
D. \(m\geq -\frac{1}{5}.\)
Câu 9:
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right)\sin x - 2}}{{\sin x - m}}.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)
A. \(m \in \left( { - 1;2} \right)\)
B. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
D. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
Câu 10:
Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 5.\)
A. \(( - \infty ;1) \cup (3; + \infty )\)
B. \(( - 3; + \infty )\)
C. \(( - \infty ;1);(3; + \infty )\)
D. \(( - \infty ;4)\)
Câu 1:
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập \(\mathbb{R}\)?
A. \(y = {x^2} + 1\)
B. \(y = - 2x + 1\)
C. \(y = 2x + 1\)
D. \(y = {x^2} + 1\)
Bốn hàm số ở các phương án đề có tập xác định là \(\mathbb{R}\)
Lần lượt khảo sát tính đơn điệu các hàm số ta thấy hàm số \(y = 2x + 1\) có đạo hàm \(y' = 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Lần lượt khảo sát tính đơn điệu các hàm số ta thấy hàm số \(y = 2x + 1\) có đạo hàm \(y' = 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số y'=f(x) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng (1;2)
B. Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng (0;2)
C. Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng (-2;1)
D. Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng (-1;1)
Với: \(x \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) < 0 \Rightarrow f\left( x \right)\) nghịch biến nên A sai.
Với: \(x \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) < 0 \Rightarrow f\left( x \right)\) nghịch biến nên B đúng.
Với: \(x \in \left( { - 2;1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'\left( x \right) > 0,x \in \left( { - 2;0} \right)\\ f'\left( x \right) < 0,x \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right.\) nên C sai.
Với: \(x \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'\left( x \right) > 0,x \in \left( { - 1;0} \right)\\ f'\left( x \right) < 0,x \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right.\) nên D sai.
Với: \(x \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) < 0 \Rightarrow f\left( x \right)\) nghịch biến nên B đúng.
Với: \(x \in \left( { - 2;1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'\left( x \right) > 0,x \in \left( { - 2;0} \right)\\ f'\left( x \right) < 0,x \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right.\) nên C sai.
Với: \(x \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'\left( x \right) > 0,x \in \left( { - 1;0} \right)\\ f'\left( x \right) < 0,x \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right.\) nên D sai.
Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 1} .\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\)
B. Hàm số đồng biến trên \((-\infty ;+\infty )\)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng \((1 ;+\infty )\)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ;0)\)
Hàm số có tập xác định \(\dpi{100} D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right).\)
Khi đó \(y' = {\left( {\sqrt {{x^2} - 1} } \right)} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y' > 0,x > 1\\ y' < 0,x < - 1 \end{array} \right.\)
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)
Khi đó \(y' = {\left( {\sqrt {{x^2} - 1} } \right)} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y' > 0,x > 1\\ y' < 0,x < - 1 \end{array} \right.\)
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)
Cho hàm số \(y = \frac{x}{{x - 1}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)
B. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\)
C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
\(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,{\rm{ }}\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Lưu ý: Hàm số không nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) ta có thể chứng minh bằng cách chỉ ra sự tồn tại của \({x_1} \in \left( { - \infty ;1} \right)\) và \({x_2} \in \left( {1; + \infty } \right).\) Với \(x_1<x_2\) mà \(f(x_1)<f(x_2)\) thì hàm số không nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
Nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Lưu ý: Hàm số không nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) ta có thể chứng minh bằng cách chỉ ra sự tồn tại của \({x_1} \in \left( { - \infty ;1} \right)\) và \({x_2} \in \left( {1; + \infty } \right).\) Với \(x_1<x_2\) mà \(f(x_1)<f(x_2)\) thì hàm số không nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 2x + 2} + \sqrt {{x^3} - 2x + 2}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(f\left( {\sqrt[3]{4}} \right) > f\left( {\sqrt[4]{5}} \right)\)
B. \(f\left( {\sqrt[3]{4}} \right) < f\left( {\sqrt[4]{5}} \right)\)
C. \(f\left( {\sqrt[4]{5}} \right) = 2f\left( {\sqrt[3]{4}} \right)\)
D. \(f\left( {\sqrt[3]{4}} \right) = f\left( {\sqrt[4]{5}} \right)\)
Cách 1: Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 2x + 2} + \sqrt {{x^3} - 2x + 2}\)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
\(f'(x) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} + 1} }} + \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{{(x - 1)}^2} + 1} }}\)
Xét hàm số \(g(t) = \frac{t}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) đồng biến với mọi t.
Mặc khác \(f'(x) > 0,\forall x > 1\) suy ra hàm số đồng biến với mọi x>1.
Mà \(\sqrt[3]{4} > \sqrt[4]{5} > 1\) nên \(f\left( {\sqrt[3]{4}} \right) > f\left( {\sqrt[4]{5}} \right).\)
Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi.
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
\(f'(x) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} + 1} }} + \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{{(x - 1)}^2} + 1} }}\)
Xét hàm số \(g(t) = \frac{t}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) đồng biến với mọi t.
Mặc khác \(f'(x) > 0,\forall x > 1\) suy ra hàm số đồng biến với mọi x>1.
Mà \(\sqrt[3]{4} > \sqrt[4]{5} > 1\) nên \(f\left( {\sqrt[3]{4}} \right) > f\left( {\sqrt[4]{5}} \right).\)
Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi.
Cho hàm số \(y = \ln \frac{1}{{{x^2} + 1}}.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty ;+\infty )\)
B. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ;+\infty )\)
D. Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;0 )\)
Ta có: \(y' = \frac{{\left( {\frac{1}{{{x^2} + 1}}} \right)'}}{{\frac{1}{{{x^2} + 1}}}} = - \frac{{2x}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}.({x^2} + 1) = - \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}.\)
Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty;0 )\) và nghịch biến trên \((0;+\infty )\)
Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty;0 )\) và nghịch biến trên \((0;+\infty )\)
Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - mx - 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\)
A. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)
B. \(\left[ {1; + \infty } \right)\)
C. \(\left[ { - 1;1} \right]\)
D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\)
Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - mx - 1\)
\(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - m\)
Hàm số luôn đồng biến khi và chi khi \(m \le \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
Xét hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }};\,\,f'(x) = \frac{1}{{\sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}} }} > 0,\forall x\)
Suy ra f(x) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = - 1\)
Vậy để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(m \le - 1.\)
\(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - m\)
Hàm số luôn đồng biến khi và chi khi \(m \le \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
Xét hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }};\,\,f'(x) = \frac{1}{{\sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}} }} > 0,\forall x\)
Suy ra f(x) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = - 1\)
Vậy để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(m \le - 1.\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \left( {2m - 1} \right)x - \left( {3m + 2} \right)\cos x\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
A. \(- 3 \le m \le - \frac{1}{5}.\)
B. \(- 3 < m < - \frac{1}{5}.\)
C. \(m<-3.\)
D. \(m\geq -\frac{1}{5}.\)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Ta có: \(y' = (2m - 1) + (3m + 2)\sin x.\)
Để hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) thì tức là: \((2m - 1) + (3m + 2)\sin x \le 0{\rm{ }}(1){\rm{ }},\forall x.\)
+) \(m=-\frac{2}{3}\) thì (1) trở thành \(- \frac{7}{3} \le 0,\forall x.\)
+) \(m > - \frac{2}{3}\) thì (1) trở thành:
\(\sin x \le \frac{{1 - 2m}}{{3m + 2}} \Rightarrow \frac{{1 - 2m}}{{3m + 2}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{5m + 1}}{{3m + 2}} \le 0 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} < m \le \frac{{ - 1}}{5}.\)
+ \(m < - \frac{2}{3}\) thì (1) trở thành:
\(\sin x \ge \frac{{1 - 2m}}{{3m + 2}} \Rightarrow \frac{{1 - 2m}}{{3m + 2}} \le - 1 \Leftrightarrow \frac{{m + 3}}{{3m + 2}} \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le m < - \frac{2}{3}.\)Kết hợp ta được: \(- 3 \le m \le - \frac{1}{5}.\)
Ta có: \(y' = (2m - 1) + (3m + 2)\sin x.\)
Để hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) thì tức là: \((2m - 1) + (3m + 2)\sin x \le 0{\rm{ }}(1){\rm{ }},\forall x.\)
+) \(m=-\frac{2}{3}\) thì (1) trở thành \(- \frac{7}{3} \le 0,\forall x.\)
+) \(m > - \frac{2}{3}\) thì (1) trở thành:
\(\sin x \le \frac{{1 - 2m}}{{3m + 2}} \Rightarrow \frac{{1 - 2m}}{{3m + 2}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{5m + 1}}{{3m + 2}} \le 0 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} < m \le \frac{{ - 1}}{5}.\)
+ \(m < - \frac{2}{3}\) thì (1) trở thành:
\(\sin x \ge \frac{{1 - 2m}}{{3m + 2}} \Rightarrow \frac{{1 - 2m}}{{3m + 2}} \le - 1 \Leftrightarrow \frac{{m + 3}}{{3m + 2}} \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le m < - \frac{2}{3}.\)Kết hợp ta được: \(- 3 \le m \le - \frac{1}{5}.\)
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right)\sin x - 2}}{{\sin x - m}}.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)
A. \(m \in \left( { - 1;2} \right)\)
B. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
D. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
Đặt \(t = \sin x,\) Do \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(0<t<1\). Khi đó hàm số trở thành:
\(y = \frac{{(m - 1)t - 2}}{{t - m}}\)
\(y' = \frac{{ - m(m - 1) + 2}}{{{{(t - m)}^2}}} = \frac{{ - {m^2} + m + 2}}{{{{(t - m)}^2}}}\)
Với m=-1 và m=2 thì y'=0 hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Với \(m\neq -1\) và \(m\neq 2\) để hàm số đồng biến trên (0;1) thì:
\(\left\{ \begin{array}{l} y' > 0,\forall t \in \left( {0;1} \right)\\ m \notin \left( {0;1} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m < - 1\\ m > 2 \end{array} \right.\\ m \notin \left( {0;1} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < - 1\\ m > 2 \end{array} \right.\)
\(y = \frac{{(m - 1)t - 2}}{{t - m}}\)
\(y' = \frac{{ - m(m - 1) + 2}}{{{{(t - m)}^2}}} = \frac{{ - {m^2} + m + 2}}{{{{(t - m)}^2}}}\)
Với m=-1 và m=2 thì y'=0 hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Với \(m\neq -1\) và \(m\neq 2\) để hàm số đồng biến trên (0;1) thì:
\(\left\{ \begin{array}{l} y' > 0,\forall t \in \left( {0;1} \right)\\ m \notin \left( {0;1} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m < - 1\\ m > 2 \end{array} \right.\\ m \notin \left( {0;1} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < - 1\\ m > 2 \end{array} \right.\)
Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 5.\)
A. \(( - \infty ;1) \cup (3; + \infty )\)
B. \(( - 3; + \infty )\)
C. \(( - \infty ;1);(3; + \infty )\)
D. \(( - \infty ;4)\)
Xét hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 5\) với \(x\in \mathbb{R}\) ta có \(y' = {x^2} - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 3\\ x < 1 \end{array} \right.\)
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(( 3; + \infty )\) và \(( - \infty ;1).\)
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(( 3; + \infty )\) và \(( - \infty ;1).\)