I. KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Phương pháp đồ thị tìm số nghiệm của phương trình: Cho phương trình f(x)= g(x) (1), số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x)và đồ thị hàm số y= g(x)
Chú ý: Số nghiệm của phương trình f(x=0) là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và trục hoành
2. Câu toán tìm nghiệm của phương trình chứa tham số: Ta tiến hành cô lập m và đưa phương trình ban đầu về dạng f(x)= m (2) khi đó số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và đường thẳng y= m .
Chú ý: Đường thẳng y= m có tính chất song song với trục hoành và đi qua điểm có tọa độ (0,m)
3. Lệnh Casio: Để tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao diểm ta dùng lệnh SHIFT SOLVE
1. Phương pháp đồ thị tìm số nghiệm của phương trình: Cho phương trình f(x)= g(x) (1), số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x)và đồ thị hàm số y= g(x)
Chú ý: Số nghiệm của phương trình f(x=0) là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và trục hoành
2. Câu toán tìm nghiệm của phương trình chứa tham số: Ta tiến hành cô lập m và đưa phương trình ban đầu về dạng f(x)= m (2) khi đó số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và đường thẳng y= m .
Chú ý: Đường thẳng y= m có tính chất song song với trục hoành và đi qua điểm có tọa độ (0,m)
3. Lệnh Casio: Để tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao diểm ta dùng lệnh SHIFT SOLVE
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Thi thử chuyên KHTN lần 2]
Tìm tập hợp tất các các giá trị của m để phương trình ${\log _2}x - {\log _2}\left( {x - 2} \right) = m$ có nghiệm :
A. $1 \le m < + \propto $
B. $1 < m < + \propto $
C. $0 \le m < + \propto $
D. $0 < m < + \propto $
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOĐặt ${\log _2}x - {\log _2}\left( {x - 2} \right) = f\left( x \right)$ khi đó m= f(x) (1). Để phương trình (1) có nghiệm thì m thuộc miền giá trị của f(x) hay $f\left( {\min } \right) \le m \le f\left( {\max } \right)$
Tới đây bài toán tìm tham số m được quy về bài toán tìm min, max của một hàm số. Ta sử dụng chức năng Mode với miền giá trị của x là Start 2 End 10 Step0.5
- Quan sát bảng giá trị F(X) ta thấy $f\left( {10} \right) \approx 0.3219$ vậy đáp số A và B sai. Đồng thời khi x càng tăng vậy thì F(X) càng giảm. Vậy câu hỏi đặt ra là F(X) có giảm được về 0 hay không.
- Ta tư duy nếu F(X) giảm được về 0 có nghĩa là phương trình f(x)=0 có nghiệm. Để kiểm tra dự đoán này ta sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE
Máy tính Casio báo phương trình này không có nghiệm. Vậy dấu = không xảy ra
Tóm lại f(x) $ \Leftrightarrow m > 0$ và D là đáp án chính xác
Cách tham khảo: Tự luận
Điều kiện: x > 2
Phương trình $ \Leftrightarrow m = {\log _2}\left( {\frac{x}{{x - 2}}} \right)$ $ \Leftrightarrow m = {\log _2}\left( {1 + \frac{2}{{x - 2}}} \right)$
Vì x > 2 nên $x - 2 > 0 \Rightarrow 1 + \frac{2}{{x - 2}} > 1$ $ \Rightarrow {\log _2}\left( {1 + \frac{2}{{x - 2}}} \right) > {\log _2}1 = 0$
Vậy $m = \log \left( {1 + \frac{2}{{x - 2}}} \right) > 0$
Bình luận :
- Một bài toán mẫu mực của dạng tìm tham số m ta giải bằng cách kết hợp chức năng lập bảng giá trị MODE 7 và chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE một cách khéo léo
- Chú ý: m= f(x) mà f(x) > 0 vậy m > 0 một tính chất bắc cầu hay và thường xuyên gặp
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${x^3} - 3{x^2} + m = 0$ có 3 nghiệm phân biệt
A. $ - 4 < m < 0$
B. $ - 4 \le m \le 0$
C. $0 \le m \le 4$
D. $0 < m < 1$
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOCô lập m, đưa phương trình ban đầu về dạng $m = - {x^3} + 3{x^2}$ . Đặt ${x^3} - 3{x^2} = f\left( x \right)$ khi đó $m = f\left( x \right)$ (1) , số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị y= f(x) và y=m
Để khảo sát hàm số y= f(x) ta sử dụng chức năng MODE 7 Start -2 End 5 Step 0.5
Quan sát bảng giá trị F(X) ta thấy giá trị cực tiểu là 0 và giá trị cực đại là 4 vậy ta có sơ đồ đường đi của f(x) như sau:
Rõ ràng hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nếu 0< m< 4
Câu 3-[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa]
Cho hàm số $y = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}}$ có đồ thị (C) . Đường thẳng $\left( d \right):y = x + 1$ cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt M, N thì tung độ điểm I của đoạn thẳng MN bằng :
A. -3
B. -2
C. 1
D. 2
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOPhương trình hoành độ giao điẻm $\frac{{2x + 2}}{{x - 1}} = x + 1$ . Nhập phương trình này vào máy tính Casio và dò nghiệm :
Ta có ngay 2 nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 3 \Rightarrow {y_1} = {x_1} + 1 = 4\\
{x_2} = - 1 \Rightarrow {y_2} = {x_2} + 1 = 0
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow {y_I} = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = 2$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D
Câu 4-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y = {x^3} + mx + 16$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
A. $m > 12$
B. $m < - 12$
C. $m < 0$
D. Không có m thỏa
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOĐể đồ thị hàm số $y = {x^3} + mx + 16$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình ${x^3} + mx + 16 = 0$ (1) có 3 nghiệm phân biệt
Với m = 14 sử dụng lệnh giải phương trình bậc 3 MODE 5
Ta thấy nghiệm m = 14 là nghiệm ảo $ \Rightarrow $ không đủ 3 nghiệm thực $ \Rightarrow m = 14$ không thỏa $ \Rightarrow $ A sai
Với m = - 14 sử dụng lệnh giải phương trình bậc 3 MODE 5
Ta thấy ra 3 nghiệm thực $ \Rightarrow $ Đáp án đúng có thể là B hoặc C
Thử thêm một giá trị $m = - 1$ nữa thì thấy $m = - 1$ không thỏa
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B
Câu 5-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1]
Cho hàm số $y = \frac{1}{2}{x^4} - 3{x^2} + \frac{3}{2}$ có đồ thị là (C). Biết đường thẳng y= - 4x+3 tiếp xúc với (C) tại điểm A và cắt (C) tại điểm B. Tìm tung độ của điểm B
A. 1
B. 15
C. -3
D. -1
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOThiết lập phương trình hoành độ giao điểm $\frac{1}{2}{x^4} - 3{x^2} + \frac{3}{2} = - 4x + 3$. Sử dụng SHIFT SOLVE để dò 2 nghiệm phương trình trên
Nếu A là tiếp điểm thì $y'\left( {{x_A}} \right) = 0$ , B là giao điểm $ \Rightarrow y'\left( {{x_B}} \right) \ne 0$ .
$ \Rightarrow $ ${x_B} = 1 \Rightarrow {y_B} = - 4{x_B} + 3 = - 1$
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D
Câu 6-[Thi HK1 THPT HN-Amsterdam]
Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + {m^2} - 4$ có đồ thị (C). Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị (C) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm có hoành độ lớn hơn -1 ?
A. -3< m < -1
B. -2< m < 2
C. 2< m < 3
D. $\left[ \begin{array}{l}
m < - 1\\
m > 3
\end{array} \right.$
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : T. CASIOSố nghiệm của đồ thị (C) và trục hoành là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. ${x^4} - 2m{x^2} + {m^2} - 4 = 0$ (1) . Đặt ${x^2} = t$ thì $\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 2mt + {m^2} - 4 = 0$ (2)
Ta hiểu 1 nghiệm t> 0 sẽ sinh ra 2 nghiệm $x = \pm \sqrt t $ . Khi phương trình (2) có 2 nghiệm ${t_1} > {t_2} > 0$ thì phương trình (1) có 4 nghiệm $ - \sqrt {{t_1}} < - \sqrt {{t_2}} < \sqrt {{t_2}} < \sqrt {{t_1}} $ . Vậy để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm có hoành độ lớn hơn -1 (tức là 1 điểm có hoành độ nhỏ hơn -1 thì $0 < {t_2} \le 1 < {t_1}$ (*)
Thử với m= -2.5
Xét phương trình ${t^2} - 2mt + {m^2} - 4 = 0$
Thỏa mãn (*)$ \Rightarrow m = 2.5$ thỏa $ \Rightarrow $ C là đáp số chính xác
Câu 7-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $2{x^3} + 3{x^2} - 12x = m$ có đúng 1 nghiệm dương
A. $\left[ \begin{array}{l}
m < - 7\\
m > 0
\end{array} \right.$
B. $\left[ \begin{array}{l}
m = - 7\\
m > 0
\end{array} \right.$
C. $\left[ \begin{array}{l}
m < - 7\\
m > 20
\end{array} \right.$
D. Không có m thỏa
Học Lớp hướng dẫn giải
Đặt $f\left( x \right) = {4^{{x^2}}} - {2^{{x^2} + 2}} + 6$. Khi đó phương trình ban đầu $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = m$ (1) . Để (1) có đúng 1 nghiệm dương thì đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y= f(x) tại đúng 1 điểm có hoành độ dương.Khảo sát hàm số y= f(x) với chức năng MODE 7
Ta thấy đồ thị có giá trị cực đại là 20 và giá trị cực tiểu là -7 và ta sẽ mô tả được đường đi của f(x) như sau :
Rõ ràng $\left[ \begin{array}{l}
y = m > 0\\
y = - 7
\end{array} \right.$ thì hai đồ thị cắt nhau tại đúng 1 điểm có hoành độ dương. Đáp án B chính xác
Câu 8-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1]
Tìm tất cả giá trị m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn $ - \frac{1}{2}$
A. 0< m< 2
B. -2< m< 2
C. $\frac{9}{8} < m < 2$
D. $ - 2 \le m \le 2$
Học Lớp hướng dẫn giải
Số giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số trên là số giao điểm của phương trình ${x^3} - 3{x^2} + 2 = m \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2 - m = 0$Thử với m= -2 . Giải phương trình bậc 3 với tính năng MODE 5 4
Ta thấy chỉ có 2 nghiệm $ \Rightarrow $ 2 giao điểm $ \Rightarrow $ m= -2 không thỏa mãn $ \Rightarrow $ Đáp án D sai
Thử với m=-1 . Giải phương trình bậc 3 với tính năng MODE 5 4
Ta thấy có nghiệm $ < - \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow $ m= -1 không thỏa mãn $ \Rightarrow $ Đáp án B sai
Thử với m= 1 . Giải phương trình bậc 3 với tính năng MODE 5 4
Ta thấy có nghiệm $ < - \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow $ m=1 không thỏa mãn $ \Rightarrow $ Đáp án A sai
Đáp án C còn lại là đâp án chính xác
Câu 9-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể phương trình ${4^{{x^2}}} - {2^{{x^2} + 2}} + 6 = m$ có 3 nghiệm phân biệt ?
A. m=3 B. m>2 C. $2 \le m \le 3$ D. $2 < m < 3$
Học Lớp hướng dẫn giải
Đặt $f\left( x \right) = {4^{{x^2}}} - {2^{{x^2} + 2}} + 6$. Khi đó phương trình ban đầu $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = m$ Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ với thiết lập Start -4 End 5 Step 0.5
Quan sát bảng biến thiên ta vẽ đường đi của hàm số
Rõ ràng y=3 cắt đồ thị hàm số y= f(x) tại 3 điểm phân biệt vậy đáp án A là chính xác
Câu 10-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1]
Số nguyên dương lớn nhất để phương trình ${25^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} - \left( {m + 2} \right){5^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} + 2m + 1 = 0$ có nghiệm ?
A. 20
B. 35
C. 30
D. 25
Học Lớp hướng dẫn giải
Cô lập m ta được $m = \frac{{{{25}^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} - {{2.5}^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} + 1}}{{{5^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} - 2}}$Đặt $f\left( x \right) = \frac{{{{25}^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} - {{2.5}^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} + 1}}{{{5^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} - 2}}$. Khi đó phương trình ban đầu $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = m$
Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y=f(x) với thiết lập Start -1 End 1 Step 2
Quan sát bảng biến thiên ta thấy $f\left( x \right) \le f\left( 0 \right) = 25.043...$ hay $m \le f\left( 0 \right)$ vậy m nguyên dương lớn nhất là 25 $ \Rightarrow $ D là đáp án chính xác
Câu 11-[Thi HK1 chuyên Amsterdam -HN]
Tập giá trị của tham số m để phương trình ${5.16^x} - {2.81^x} = m{.36^x}$ có đúng 1 nghiệm ?
A. m>0
B. $\left[ \begin{array}{l}
m \le - \sqrt 2 \\
m \ge \sqrt 2
\end{array} \right.$
C. Với mọi m
D. Không tồn tại m
Học Lớp hướng dẫn giải
Cô lập m ta được $m = \frac{{{{5.16}^x} - {{2.81}^x}}}{{{{36}^x}}}$Đặt $f\left( x \right) = \frac{{{{5.16}^x} - {{2.81}^x}}}{{{{36}^x}}}$. Khi đó phương trình ban đầu $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = m$
Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y= f(x) với thiết lập Start -9 End 10 Step 1
Quan sát bảng biến thiên ta thấy f(x) luôn giảm hay hàm số y= f(x) luôn nghịch biến.
Điều này có nghĩa là đường thẳng y=m luôn cắt đồ thị hàm số y= f(x) tại 1 điểm $ \Rightarrow $ C chính xác
Câu 12-[Thi HK1 THPT Ngô Thì Nhậm - HN]
Phương trình ${\log _3}x - {\log _3}\left( {x - 2} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}m$ vô nghiệm khi :
A. m>1
B. m<0
C. $0 < m \le 1$
D. $m \le 1$
Học Lớp hướng dẫn giải
Điều kiện: x > 2. Phương trình ban đầu $ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {\frac{x}{{x - 2}}} \right) = 2{\log _3}m \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _3}\left( {\frac{x}{{x - 2}}} \right) = {\log _3}m$$ \Leftrightarrow lo{g_3}\sqrt {\frac{x}{{x - 2}}} = {\log _3}m \Leftrightarrow m = \sqrt {\frac{x}{{x - 2}}} $
Để phương trình ban đầu vô nghiệm thì đường thẳng y= m không cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = \sqrt {\frac{x}{{x - 2}}} $
Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y=f(x) với thiết lập Start 2 End 10 Step 0.5
Để khảo sát chính xác hơn ta tính giới hạn của hàm y=f(x) khi x tiến tới 2 cận là 2 và $ + \propto $
[ATTACH
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } = 1$
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = + \propto $
Quan sát bảng giá trị và 2 giới hạn ta vẽ đường đi cả đồ thị hàm số y= f(x) và sự tương giao
Ta thấy ngay $m \le 1$ thì 2 đồ thị không cắt nhau hay phương trình ban đầu vô nghiệm.
Sửa lần cuối: