I. KIẾN THỨC NỀN TẢNG
- Tiệm cận đứng: Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \propto \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \infty \) (chỉ cấn một trong hai thỏa mãn là đủ)
- Tiệm cận ngang: Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(y = {y_0}\) là tiệm cận ngang nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } f\left( x \right) = {y_0}\)
- Tiệm cận xiên: Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(y = ax + b\) là tiệm cận xiên nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\)
- Lệnh Casio: Ứng dụng kỹ thuật dùng CALC tính giới hạn
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3]
Có bao nhiêu đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 1} }}\)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOGiải phương trình : Mẫu số \( = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} + 2x + 1} = 0 \Leftrightarrow 4{x^2} + 2x + 1 = 0\) vô nghiệm
⇒ Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 1} }} = \frac{1}{2}\). Vậy đương thẳng\(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 1} }} = - \frac{1}{2}\). Vậy đương thẳng\(y = - \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
⇒ Tóm lại đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang và C là đáp án chính xác
Cách tham khảo : Tự luận
- Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {4 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{2}\) ⇒ đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang
- Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{{ - 1 - \frac{1}{x}}}{{\sqrt {4 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = - \frac{1}{2}\) ⇒ đường thẳng \(y = - \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang
Giới hạn của hàm số khi x tiến tới \( + \propto \) và khi x tiến tới \( - \propto \) là khác nhau. Ta cần hết sức chú ý tránh để sót tiệm cận ngang \(y = - \frac{1}{2}\)
Câu 2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình]
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}}\)\(\left( C \right)\) có bao nhiêu đường tiệm cận ?
A. 4
B. 2
C. 1
D. 3
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOTính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}} = - 1\)
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}} = - 1\)
- Vậy đương thẳng y = - 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
- Giải phương trình: Mẫu số \( = 0\) \( \Leftrightarrow 1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
- Đến đây nhiều học sinh đã ngộ nhận x = 1 và \(x = - 1\) là 2 tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\)
- Tuy nhiên \(x = \pm 1\) là nghiệm của phương trình Mẫu số \( = 0\) chỉ là điều kiện cần. Điều kiện đủ phải là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}} = \infty \)
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}} = - \infty \)
Vậy đương thẳng\(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị \(\left( C \right)\)
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}} = \frac{1}{2}\)
r1+0.0000000001=
Vậy đường thẳng x = 1 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị \(\left( C \right)\)
⇒ Tóm lại đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang y = - 1 và 1 tiệm cận đứng \(x = - 1\)
⇒ Đáp số chính xác là B
Cách tham khảo: Tự luận
- Rút gọn hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{ - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2 - x}}{{x + 1}}\)
- Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{2 - x}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{ - 1 + \frac{2}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = - 1\) ⇒ đường thẳng y = - 1 là tiệm cận ngang
- Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2 - x}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \left( { - 1 + \frac{3}{{x + 1}}} \right) = + \propto \) ⇒ đường thẳng y = - 1 là tiệm cận đứng
Câu 3-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2]
Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang ?
A. \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\)
B. \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\)
C. \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}\)
D. \(y = \frac{1}{{x + 1}}\)
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOTính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = + \propto \)
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = - \propto \)
Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}\) không có tiệm cận ngang
⇒ Tóm lại C là đáp án chính xác
Cách tham khảo: Tự luận
- Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{x + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = + \propto \)
- Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{{x + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = - \propto \) ⇒ Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang
Câu 4-[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa]
Tìm tất các các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x - 3}}{{{x^2} - 2mx + 1}}\) không có tiệm cận đứng
A. m = 1
B. m = - 1
C. \(\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.\)
D. \( - 1 < m < 1\)
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1 : CASIOĐể đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì phương trình mẫu số bằng 0 không có nghiệm hoặc có nghiệm nhưng giới hạn hàm số khi x tiến tới nghiệm không ra vô cùng.:
Với m = 1 . Hàm số \( \Leftrightarrow y = \frac{{5x - 3}}{{{x^2} - 2x + 1}}\) . Phương trình \({x^2} - 2x + 1 = 0\) có nghiệm x = 1 Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 3}}{{{x^2} - x + 1}} = + \propto \). ⇒ Đáp số A sai
Với m = 0 hàm số \( \Leftrightarrow y = \frac{{5x - 3}}{{{x^2} + 1}}\) . Phương trình \({x^2} + 1 = 0\) vô nghiệm ⇒ Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng \( \Rightarrow m = 0\)
⇒ D là đáp án chính xác
Cách tham khảo: Tự luận
- Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì phương trình mẫu số bằng 0 vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\)
- Trường hợp 2 phương trình mẫu số bằng 0 có nghiệm nhưng bị suy biến (rút gọn) với nghiệm ở tử số. ⇒ Không xảy ra vì bậc mẫu > bậc tử
Câu 5-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }}\) có hai tiệm cận ngang
A. m < 0
B. Không có m thỏa
C. m = 0
D. m > 0
Học Lớp hướng dẫn giải
Cách 1: CASIOThử đáp án A ta chọn 1 giá trị m < 0 , ta chọn \(m = - 2,15\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt { - 2.15{x^2} + 1} }}\)
- Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt { - 2.15{x^2} + 1} }}\)không tồn tại ⇒ hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt { - 2.15{x^2} + 1} }}\)không thể có 2 tiệm cận ngang
- Thử đáp án B ta chọn gán giá trị m = 0. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {0{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \left( {x + 1} \right)\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \left( {x + 1} \right) = + \propto \) ⇒ hàm số \(y = \left( {x + 1} \right)\) không thể có 2 tiệm cận ngang
Thử đáp án D ta chọn gán giá trị \(m = 2.15\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {2.15{x^2} + 1} }} = 0.6819...\)
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {2.15{x^2} + 1} }} = - 0.6819...\)
Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang \(y = \pm - 0.6819...\)
⇒ Đáp số D là đáp số chính xác
Bình luận:
Qua ví dụ 4 ta thấy sức mạnh của Casio so với cách làm tự luận. .
Câu 6-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2]
Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1 - \sqrt {{x^2} + x + 3} }}{{{x^2} - 5x + 6}}\)
A. \(\left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 2\end{array} \right.\)
B. \(x = - 3\)
C.\(\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 2\end{array} \right.\)
D. \(x = 3\)
Học Lớp hướng dẫn giải
Đường thẳng \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì điều kiện cần : \({x_0}\) là nghiệm của phương trình mẫu số bằng 0Nên ta chỉ quan tâm đến hai đường thẳng \(x = 3\) và \(x = 2\)
Với \(x = 3\) xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3 + } \frac{{2x - 1 - \sqrt {{x^2} + x + 3} }}{{{x^2} - 5x + 6}} = + \propto \)\( \Rightarrow x = 3\) là một tiệm cận đứng
Với \(x = 2\) xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } \frac{{2x - 1 - \sqrt {{x^2} + x + 3} }}{{{x^2} - 5x + 6}} = + \propto \) Kết quả không ra vô cùng\( \Rightarrow x = 2\) không là một tiệm cận đứng
⇒ Đáp số chính xác là B
Câu 7-[Thi thử chuyên Lương Văn Tụy lần 1]
Số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} - 1}}\) là :
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Học Lớp hướng dẫn giải
Phương trình mẫu số bằng 0 có 2 nghiệm \(x = \pm 1\)Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = + \propto \)\( \Rightarrow x = 1\) là tiệm cận đứng
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{x}{{{x^2} - 1}} = + \propto \)\( \Rightarrow x = - 1\) là tiệm cận đứng
⇒ Đáp số chính xác là B
Câu 8-[Thi thử THPT Vũ Văn Hiếu –Nam Định lần 1]
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) là :
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
Học Lớp hướng dẫn giải
Phương trình mẫu số bằng 0 có 2 nghiệm \(x = \pm 2\)Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = + \propto \)\( \Rightarrow x = 2\) là tiệm cận đứng
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = + \propto \)\( \Rightarrow x = - 1\) là tiệm cận đứng
⇒ Đáp số chính xác là C
Câu 9-[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1]
Tìm các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + m}}{{x - m}}\) không có tiệm cận đứng ?
A. m = 0
B. \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\)
C. \(m > - 1\)
D. \(m > 1\)
Học Lớp hướng dẫn giải
Với m = 0 hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x}}{x}\) , Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x}}{x} = - 3,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x}}{x} = - 3\) ⇒ Không có tiệm cận đứng ⇒ m = 0 thỏa.Tương tự m = 1 cũng thỏa ⇒ Đáp số chính xác là B
Chú ý: Nếu chúng ta chú ý một chút tự luận thì hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x}}{x}\) sẽ rút gọn tử mẫu và thành \(y = 2x - 3\) là đường thẳng nên không có tiệm cận đứng.
Câu 10-[Thi thử THPT Quảng Xương –Thanh Hóa lần 1]
Hàm số \(y = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{{x^3} + x}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Học Lớp hướng dẫn giải
Phương trình mẫu số bằng 0 có 1 nghiệm duy nhất \(x = 0\) . Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x + \sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{{x^3} + x}} = + \propto \)\( \Rightarrow x = 0\) là tiệm cận đứng
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{{x + \sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{{x^3} + x}} = 0\)\( \Rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{{x + \sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{{x^3} + x}} = 0\)\( \Rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang
Tóm lại đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang ⇒ B chính xác
Chú ý: Học sinh thường mặc định có 2 tiệm cận ngang ⇒ Chọn nhầm đáp án C
Câu 11-[Thi HK1 chuyên Nguyễn Du – Đắc Lắc]
Tìm tất cả các số thực m để đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} - m}}\) có 3 đường tiệm cận
A. \(m \ne 0\) B. m = 0 C. m > 0 D. m < 0
Học Lớp hướng dẫn giải
Thử với m = 9 Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \frac{x}{{{x^2} - 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \frac{x}{{{x^2} - 9}} = 0\) ⇒ Đồ thị hàm số chỉ có 1 tiệm cận ngangPhương trình mẫu số bằng 0 có hai nghiệm \(x = 3;x = - 3\) . Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{x}{{{x^2} - 9}} = + \propto ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{x}{{{x^2} - 9}} = + \propto \) ⇒ có 2 tiệm cận đứng
Vậy m = 9 thỏa ⇒ Đáp số chứa m = 9 là C chính xác.
Câu 12-[Thi thử chuyên Lương Văn Tụy lần 1]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = x + m\sqrt {{x^2} + x + 1} \) có đường tiệm cận ngang
A. m = - 1
B. m < 0
C. m > 0
D. \(m = \pm 1\)
Học Lớp hướng dẫn giải
Với m = - 1 . Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \propto } \left( {x - \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = - \frac{1}{2} \Rightarrow \)\(x = - 1\) thỏa ⇒ Đáp số đúng là A hoặc DVới m = 1 . Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \propto } \left( {x + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = - \frac{1}{2} \Rightarrow \)x = 1 thỏa ⇒ Đáp số chính xác là D