I. LỆNH TÍNH TÍCH PHÂN
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Câu 25 đề minh họa] Tính giá trị tính phân $I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x.\sin xdx} $
A. $I = - \frac{1}{4}{\pi ^4}$
B. $ - {\pi ^4}$
C. 0
D. $ - \frac{1}{4}$
Cách 1 : CASIO
Vì bài toán liên quan đến các đại lượng tính $\pi $ nên ta chuyển máy tính về chế độ Radian
Điền hàm $f\left( x \right) = {\cos ^3}x.\sin x$ và các cận 0và $\pi $ vào máy tính Casio
So sánh với các đáp án A, B, C, D thì ta thấy C là đáp án chính xác
Cách tham khảo : Tự luận
Đặt t=cosx khi đó ${\cos ^3}x = {t^3}$
Vi phân 2 vế phương trình ẩn phụ $\cos x = t \Leftrightarrow \left( {\cos x} \right)'dx = t'dt \Leftrightarrow - \sin xdx = dt$
Đổi cận dưới : x=0 khi đó $t = \cos 0 = 1$
Đổi cận trên: $x = \pi $ khi đó $t = \cos \pi = - 1$
Lúc này tích phân phức tạp ban đầu đã trở thành tích phân đơn giản $I = - \int\limits_1^{ - 1} {{t^3}dt} = - \frac{{{t^4}}}{4}\left| \begin{array}{l}
- 1\\
1
\end{array} \right. = - \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{4}} \right) = 0$
Bình luận :
Có 10 phép đặt ẩn phụ tính nguyên hàm tích phân. Bài toán trên có tính chết của phép số 2 : “nếu tích phân chứa cụm $\sin xdx$ thì đặt ẩn phụ $\cos x = t$”
Trong thực tế học tập, việc đổi vi phân (đổi đuôi) thường bị các bạn lãng quên , chúng ta chú ý điều này.
PHỤ LỤC : 10 PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ THƯỜNG GẶP
Phương pháp đặt ẩn phụ thường dùng để đưa 1 tích phân phức tạp, khó tính trở về một tích phân đơn giản, dễ tính hơn. Sau đây là 10 phép đặt ẩn phụ với 10 dấu hiệu khác nhau thường gặp.
- Phép 1 : Nếu xuất hiện căn thức thì đặt cả căn bằng t
- Phép 2 : Nếu xuất hiện cụm sinxdx thì đặt cosx=t
- Phép 3 : Nếu xuất hiện cụm $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx$ thì đặt tanx=t
- Phép 4 : Nếu xuất hiện cụm $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx$ thì đặt cotx=t
- Phép 5 : Nếu xuất hiện cụm $\frac{1}{x}dx$ thì đặt $\ln x = t$
- Phép 6 : Nếu xuất hiện ${e^x}dx$ thì đặt ${e^x} = t$
- Phép 7 : Nếu xuất hiện cụm $\frac{1}{{{x^2} + {a^2}}}dx$ thì đặt x=tant
- Phép 8 : Nếu xuất hiện cụm $\sqrt {{x^2} - {a^2}} $ thì đặt x=asint
- Phép 9 : Nếu xuất hiện cụm $\sqrt {{a^2} - {x^2}} $ thì đặt $x = \frac{a}{{\cos t}}$
- Phép 10 : Nếu xuất hiện biểu thức trong hàm ln, log, e… thì đặt cả biểu thức là t
- Bước 1 : Đặt ẩn phụ theo dấu hiệu
- Bước 2 : Vi phân 2 vế phương trình ẩn phụ để đổi đuôi
- Bước 3 : Đổi cân dưới và cận trên sau đó thế tất cả 3 đại lượng trên vào tích phan ban đầu để tạo thành một tích phân đơn giản hơn.
A. $\sqrt 3 - \sqrt {{e^2} - 1} $
B. $2\sqrt {\ln 2 - 1} $
C. $\sqrt {{{\ln }^2}2 - 1} $
D. Cả 3 đáp án trên đều sai
Cách 1 : CASIO
Điền hàm $f\left( x \right) = \frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^{2x}} - 1} }}$ và các cận 1 và ln2 vào máy tính Casio Rồi nhấn nút = ta nhận được ngay kết quả của tích phân là -0.7956
Giữ nguyên kết quả này ở máy tính Casio số 1 , dùng máy tính Casio thứ 2 để tính kết qua của các đáp án A, B, C, D ta thấy đáp số C
Đây là giá trị giống hệt tích phân, vậy C là đáp số chính xác
Cách tham khảo: Tự luận
Đặt $t = \sqrt {{e^{2x}} - 1} $
Vi phân 2 vế phương trình ẩn phụ
$t = \sqrt {{e^{2x}} - 1} \Leftrightarrow {t^2} = {e^{2x}} - 1 \Leftrightarrow \left( {{t^2}} \right)'dt = \left( {{e^{2x}} - 1} \right)'dx \Leftrightarrow 2tdt = 2{e^{2x}}dx \Leftrightarrow tdt = {e^{2x}}dx$
Đổi cận dưới: x=1 khi đó $t = \sqrt {{e^2} - 1} $
Đổi cận trên: x=ln2 khi đó $t = \sqrt {{e^{2\ln 2}} - 1} = \sqrt 3 $
Lúc này tích phân phức tạp ban đầu đã trở thành tích phân đơn giản $I = \int\limits_{\sqrt {{e^2} - 1} }^{\sqrt 3 } {\frac{1}{t}.tdt} = \int\limits_{\sqrt {{e^2} - 1} }^{\sqrt 3 } {dt} = t\left| \begin{array}{l}
\sqrt 3 \\
\sqrt {{e^2} - 1}
\end{array} \right. = \sqrt 3 - \sqrt {{e^2} - 1} $
Bình luận:
Bài toán trên chứa nội dung của phép đặt ẩn phụ số 1 “nếu tích phân chứa căn thì ta đặt cả căn là ẩn phụ t “
Việc vi phân luôn phương trình đặt ẩn phụ $t = \sqrt {{e^{2x}} - 1} $ thường khó khăn vì chứa căn, do đó ta thường khử căn ${t^2} = {e^{2x}} - 1$ bằng cách bình phương 2 vế. Sau đó ta mới vi phân
Câu 3-[THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Dương] Giá trị của a để tích phân $\int\limits_0^a {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}dx} $ có giá trị $\frac{{{a^2}}}{2} + a + \ln 3$ là :
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
Cách 1 : CASIO
Về mặt bản chất nếu tích phân $\int\limits_0^a {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}dx} $ có giá trị bằng biểu thức $\frac{{{a^2}}}{2} + a + \ln 3$ thì hiệu của chúng phải bằng nhau. Vây ta thiết lập hiệu $\int\limits_0^a {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}dx} - \left( {\frac{{{a^2}}}{2} + a + \ln 3} \right)$ và bài toán trở thành tìm a để hiệu trên bằng 0
Thử với giá trị a=5 Ta nhập hiệu trên vào máy tính Casio hiệu $\int\limits_0^5 {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}dx} - \left( {\frac{{{5^2}}}{2} + 5 + \ln 3} \right)$
Máy tính Casio báo một giá trị khác 0 vậy đáo số A là sai.
Sửa vị trí a thành số 4 và số 3 ta đều nhận được kết quả khác 0 vậy đáp án B và C đều sai
Thử với giá trị a=2 ta được :
Khi đó hiệu trên bằng 0 tức là A là đáp án chính xác
Cách tham khảo: Tự luận
Tách tích phân thành : $\int\limits_0^a {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^a {\left( {x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} $
Vì $\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)' = x + 1$ nên nguyên hàm của x+1 là $\frac{{{x^2}}}{2} + x$
Vì $\left( {\ln \left| {x + 1} \right|} \right)' = \frac{1}{{x + 1}}$ nên nguyên hàm của $\frac{1}{{x + 1}}$ là $\ln \left| {x + 1} \right|$
Tóm lại $\int\limits_0^a {\left( {x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)\left| \begin{array}{l}
a\\
0
\end{array} \right. = $ $\frac{{{a^2}}}{2} + a + \ln \left| {a + 1} \right|$
Thiết lập quan hệ $\frac{{{a^2}}}{2} + a + \ln \left| {a + 1} \right|$ $ = \frac{{{a^2}}}{2} + a + \ln 3$ $ \Leftrightarrow \ln \left| {a + 1} \right| = \ln 3 \Leftrightarrow a = 2$
Bình luận:
- Bài toán này còn có mẹo giải nhanh dành cho các bạn tinh ý, chúng ta quan sát hàm f(x) chứa thành phần $\frac{1}{{x + 1}}$ có mối liên hệ với nguyên hàm của nó là $\ln \left| {x + 1} \right|$ . Ta đặc câu hỏi vậy phải chăng $\ln \left| {x + 1} \right|$ khi thế cận sẽ là $\ln \left| {a + 1} \right|$ có mối liên hệ với $\ln 3 = \ln \left| {a + 1} \right|$ suy ra a=2
- Hầu hết bài toán chứa tham số tích phân tác giả xin khuyên các bạn nên dùng phương pháp Casio chứ phương pháp tự luận nhiều khi rất loằng ngoằng và dễ sai.
$I = \int\limits_1^4 {\sqrt x dx} ,J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}x\cos xdx} ,K = \int\limits_0^1 {x.{e^x}} $
Ta có kết quả nào sau đây
A. I>K>J B. I>J>K C. J>I>K D. K>I>J
Cách 1 : CASIO
Tính giá trị tích phân I ta được I= 4.6666… và ghi giá trị này ra nháp.
Tính giá trị tích phân J ta được J=0.3333… và lại ghi giá trị này ra nháp
Tính tiếp giá trị cuối cùng K= 1
Rõ ràng 4.6666>1>0.3333 hay I>K>J. Vậy đáp án chính xác là A
Bình luận: Qua bài toán trên ta thấy rõ hơn sức mạnh của Casio khi giải nhanh những bài tích phân xác định, phương pháp tự luận cũng có nhưng rất dài dòng, tác giả xin không đề cập tới dành thời gian cho các bài khác quan trọng hơn.
Câu 5-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ tháng 12] Tích phân $\int\limits_0^1 {\left( {\left| {3x - 1} \right| - 2\left| x \right|} \right)dx} $ bằng
A. $ - \frac{1}{6}$
B. $\frac{7}{6}$
C. $\frac{{ - 11}}{6}$
D. 0
Cách 1 : CASIO
Khi biết lệnh giá trị tuyệt đối rồi chúng ta nhập tích phân và tính giá trị một cách bình thường
Đây chính là giá trị xuất hiện ở đáp số A. Vậy A là đáp số chính xác của bài toán
Cách tham khảo : Tự luận
$\int\limits_0^1 {\left( {\left| {3x - 1} \right| - 2\left| x \right|} \right)dx} $ $ = \int\limits_0^{\frac{1}{3}} {\left( {\left| {3x - 1} \right| - 2\left| x \right|} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left( {\left| {3x - 1} \right| - 2\left| x \right|} \right)dx} $
Khi $0 \le x \le \frac{1}{3}$ thì $\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {\left( {\left| {3x - 1} \right| - 2\left| x \right|} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{3}} {\left( {1 - 3x - 2x} \right)dx = } \int\limits_0^{\frac{1}{3}} {\left( {1 - 5x} \right)dx} = \left( {x - \frac{{5{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l} \frac{1}{3}\\ 0 \end{array} \right.$ $ = \frac{1}{{18}}$
Khi $\frac{1}{3} \le x \le 1$ thì $\int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left( {\left| {3x - 1} \right| - 2\left| x \right|} \right)dx} $ $ = \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left( {3x - 1 - 2x} \right)dx = } \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left( {x - 1} \right)dx = } \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)\left| \begin{array}{l} 1\\ \frac{1}{3} \end{array} \right. = - \frac{2}{9}$
Vậy $I = \int\limits_0^{\frac{1}{3}} {\left( {\left| {3x - 1} \right| - 2\left| x \right|} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left( {\left| {3x - 1} \right| - 2\left| x \right|} \right)dx} = \frac{1}{{18}} - \frac{2}{9} = \frac{{ - 1}}{6}$
Bình luận :
Để giải các bài toán tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối ta phải sử dụng phương pháp chia khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối.
Ta biết $3x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{3}$ và $3x - 1 \le 0 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{3}$ vậy ta sẽ chia đoạn $\left[ {0;1} \right]$ thành 2 đoạn $\left[ {0;\frac{1}{3}} \right]$ và $\left[ {\frac{1}{3};1} \right]$
Để tách 1 tích phân thành 2 tích phân ta sử dụng công thức chèn cận : Với giá trị bất kì thuộc đoạn $\left[ {a;b} \right]$ thì $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} $
Câu 6-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm]
Cho biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} = a\pi + \frac{1}{4}\ln b$ $\left( {0 < a < 1.1 < b < 3} \right)$ . Tích ab bằng bao nhiêu ?
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{8}$
Cách 1 : CASIO
Tính $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} = 0.5659... = A$
Vậy ta có : $a\pi + \frac{1}{4}\ln b = 0.5659... = A \Rightarrow a = \frac{{A - \frac{1}{4}\ln b}}{\pi }$
Nếu đáp số A đúng thì $ab = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{A - \frac{1}{4}\ln b}}{\pi }.b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b\left( {A - \frac{1}{4}\ln b} \right) - \frac{\pi }{2} = 0$
Sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE để tìm b
Không tìm được b $ \Rightarrow $ Đáp án A sai
Với đáp án B ta có $b\left( {A - \frac{1}{4}\ln b} \right) - \frac{\pi }{4} = 0$
$ \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{8}$ thỏa điều kiện $0 < a < 1.1 < b < 3$
$ \Rightarrow $ Đáp số B chính xác của bài toán
Bình luận :
- Một bài toán rất hay kết hợp lệnh tính tích phân và lệnh dò nghiệm SHIFT SOLVE
- Cách Casio có thêm một ưu điểm là tránh được các bài tích phân khó như $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} $
Bài 7-[Chuyên Khoa học tự nhiên] Nếu $\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {{{\sin }^n}x\cos xdx} = \frac{1}{{64}}$ thì n bằng :
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
Với n=2 tính giá trị tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {{{\sin }^2}x\cos xdx} = \frac{1}{{24}} \ne \frac{1}{{64}}$ $ \Rightarrow $ Đáp án A sai
Với n=3 tính giá trị tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {{{\sin }^3}x\cos xdx} = \frac{1}{{64}} \Rightarrow $ Đáp án B chính xác
Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “xuất hiện cụm cosxdx” ta sẽ đặt t=sinx
Bài 8-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ tháng 12]
Tích phân $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {3x\sqrt {{x^2} + 1} } dx$ bằng :
A. 3 B. 7 C. -5 D. -3
Tính tích phân $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {3x\sqrt {{x^2} + 1} } = 7 \Rightarrow $Đáp số chính xác là B
Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “xuất hiện căn thức” ta sẽ đặt căn thức là ẩn phụ
Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 1$ Vi phân hai vế $ \Rightarrow 2xdx = 2tdt \Rightarrow xdx = tdt$ .
Đổi biến : $\left[ \begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow t = 1\\
x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 2
\end{array} \right.$ . Khi đó tích phân trở thành $\int\limits_1^2 {3t.tdt} = {t^3}\left| \begin{array}{l}
2\\
1
\end{array} \right. = 7$
Bài 9-[Group Nhóm Toán 2107]
Tích phân $\int\limits_{\ln 3}^{\ln 5} {\frac{{dx}}{{{e^x} + 2{e^{ - x}} - 3}}} $ bằng :
A. ln3
B. $\ln \frac{3}{4}$
C. $\ln \frac{3}{2}$
D. $\ln \frac{1}{2}$
Tính tích phân $\int\limits_{\ln 3}^{\ln 5} {\frac{{dx}}{{{e^x} + 2{e^{ - x}} - 3}}} = 0.4054... = \ln \left( {\frac{3}{2}} \right)$ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C
Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “xuất hiện ${e^x}$ ” ta sẽ đặt ${e^x}$ là ẩn phụ
Đặt $t = {e^x}$ Vi phân hai vế $ \Rightarrow {e^x}dx = dt$ .
Đổi biến : $\left[ \begin{array}{l}
x = \ln 3 \Rightarrow t = 3\\
x = \ln 5 \Rightarrow t = 5
\end{array} \right.$ . Khi đó tích phân trở thành $\int\limits_{\ln 3}^{\ln 5} {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^{2x}} - 3{e^x} + 2}}} = \int\limits_3^5 {\frac{{dt}}{{{t^2} - 3t + 2}}} = ... = \ln \left( {\frac{3}{2}} \right)$
Bài 10-[THPT Nho Quan – Ninh Bình]
Cho $\int\limits_0^{\frac{\pi }{a}} {\frac{{\cos 2x}}{{1 + 2\sin 2x}}dx} = \frac{1}{4}\ln 3$ . Tìm giá trị của a :
A. 3
B. 2
C. 4
D. 6
Thử với a=3 Tính tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos 2x}}{{1 + 2\sin 2x}}dx} = 0.2512... \ne \frac{1}{4}\ln 3$ $ \Rightarrow $ Đáp số A sai
Thử với a=4 Tính tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos 2x}}{{1 + 2\sin 2x}}dx} = 0.2746 = \frac{1}{4}\ln 3$ $ \Rightarrow $ Đáp số C sai
Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “xuất hiện cụm cos2xdx ” ta sẽ đặt sin2x=t là ẩn phụ
Bài 11-[Báo THTT tháng 11] Giá trị nào của a để $\int\limits_0^a {\left( {3{x^2} + 2} \right)dx} = {a^3} + 2$ ?:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Thiết lập phương trình $\int\limits_0^a {\left( {3{x^2} + 2} \right)dx} - \left( {{a^3} + 2} \right) = 0$. Vì đề bài cho sẵn các nghiệm nên ta sử dụng phép thử
Với a=1 vế trái phương trình là : $\int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 2} \right)dx} - \left( {{1^3} + 2} \right) = 0$ $ \Rightarrow $ Đáp án đúng là B
Bài 12-[THPT Thuận Thành 1 – Bắc Ninh]
Tính tích phân $I = \int\limits_1^e {\frac{{{x^2} + 2\ln x}}{x}dx} $ :
A. $I = {e^2} - \frac{1}{2}$
B. $I = \frac{{{e^2} + 1}}{2}$
C. $I = {e^2} + 1$
D. $I = \frac{{{e^2}}}{2}$
Tính tích phân $I = \int\limits_1^e {\frac{{{x^2} + 2\ln x}}{x}dx} = 4.1945... = \frac{{{e^2} + 1}}{2}$ $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là B
Chú ý: Tự luận ta nên tách tích phân thành 2 tích phân con để dễ xử lý : $I = \int\limits_1^e {xdx} + 2\int\limits_1^e {\ln x.\frac{1}{x}dx} $
Nếu tích phân “xuất hiện cụm $\frac{1}{x}dx$ “ thì Đặt $\ln x = t$ Vi phân hai vế $ \Rightarrow \frac{1}{x}dx = dt$ .
Đổi biến : $\left[ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow t = 0\\
x = e \Rightarrow t = 1
\end{array} \right.$ . Khi đó tích phân trở thành $\int\limits_1^e {xdx} + 2\int\limits_o^1 {tdt} = \frac{{{e^2} + 1}}{2}$.
Sửa lần cuối: