Câu 1:
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx} = 2.\) Mệnh đề nào sai?
A. \(\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = 2\)
B. \(\int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)dx} = 2\)
C. \(\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = 1\)
D. \(\int\limits_0^6 {\frac{1}{2}f(x - 2)dx} = 1\)
Câu 2:
Giả sử f(x) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và các số thực a < b < c. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \(\int\limits_a^b {cf(x)dx} = - c\int\limits_a^b {f(x)dx}\)
B. \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_b^a {f(x)dx} + \int\limits_a^c {f(x)dx}\)
C. \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} - \int\limits_b^c {f(x)dx}\)
D. \(\int\limits_a^c {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx}\)
Câu 3:
Cho \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx = 1,} \int\limits_{ - 2}^4 {f\left( t \right)dt = - 4} .\) Tính \(\int\limits_2^4 {f\left( y \right)dy} .\)
A. I=-5
B. I=-3
C. I=3
D. I=5
Câu 4:
Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là hai hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = } \int\limits_a^b {f\left( y \right)dy}\)
B. \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx = } \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + } \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}\)
C. \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\)
D. \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right)dx = } \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}\)
Câu 10:
Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = - 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} .\)
B. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} .\)
C. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx}\)
D. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx} .\)
Câu 6:
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\),\(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2016,}\) \(\int\limits_4^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2017.}\) Tính \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x.}\)
A. \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } 4023.\)
B. \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } 1\)
C. \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } -1.\)
D. \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } 0.\)
Câu 7:
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng K và a,b,c là ba số bất kì thuộc K. Khẳng định nào sau đây sai?
A. \(\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} ;{\rm{ }}\left( {c \in \left( {a;b} \right)} \right).\)
B. \(\int\limits_a^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 0.\)
C. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \ne \int\limits_a^b {f\left( t \right){\rm{d}}} t.\)
D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_b^a {f\left( t \right){\rm{d}}} t.\)
Câu 8:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [0;1] Biết \(f\left( 0 \right) = 1;\,f\left( 1 \right) = - 1.\) Tính \(I = \int_0^1 {f'\left( x \right)} dx.\)
A. \(I = 1\)
B. \(I = 2\)
C. \(I = -2\)
D. \(I = 0\)
Câu 9:
Tính đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = \int\limits_0^{{x^2}} {\cos \sqrt t dt} .\)
A. \(F'\left( x \right) = {x^2}\cos x\)
B. \(F'\left( x \right) = 2x\cos x\)
C. \(F'\left( x \right) = \cos x\)
D. \(F'\left( x \right) = \cos x - 1\)
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx} = 2.\) Mệnh đề nào sai?
A. \(\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = 2\)
B. \(\int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)dx} = 2\)
C. \(\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = 1\)
D. \(\int\limits_0^6 {\frac{1}{2}f(x - 2)dx} = 1\)
Chọn một hàm liên tục và xác định trên \(\mathbb{R}\) sao cho: \(\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx} = 2.\) Thường ta chọn f(x) là hàm hằng để dễ tính toán.
Chọn \(f(x) = a \Rightarrow \int\limits_{ - 2}^4 {adx} = \left. {ax} \right|_{ - 2}^4 = 6a = 2 \Rightarrow f(x) = \frac{1}{3}\)
Thay vào các phương án ta có:
\(\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = 2 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^2 {\frac{1}{3}dx} = 1 \ne 2\) Vậy A sai.
\(\int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)dx} = \int\limits_{ - 3}^3 {\frac{1}{3}dx} = 2\) Vậy B đúng.
\(\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = 2 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^2 {\frac{1}{3}dx} = 1\) Vậy C đúng.
\(\int\limits_0^6 {\frac{1}{2}f(x - 2)dx} = \int\limits_0^6 {\frac{1}{2}.\frac{1}{3}dx} = 1\) Vậy D đúng.
Chọn \(f(x) = a \Rightarrow \int\limits_{ - 2}^4 {adx} = \left. {ax} \right|_{ - 2}^4 = 6a = 2 \Rightarrow f(x) = \frac{1}{3}\)
Thay vào các phương án ta có:
\(\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = 2 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^2 {\frac{1}{3}dx} = 1 \ne 2\) Vậy A sai.
\(\int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)dx} = \int\limits_{ - 3}^3 {\frac{1}{3}dx} = 2\) Vậy B đúng.
\(\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = 2 \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^2 {\frac{1}{3}dx} = 1\) Vậy C đúng.
\(\int\limits_0^6 {\frac{1}{2}f(x - 2)dx} = \int\limits_0^6 {\frac{1}{2}.\frac{1}{3}dx} = 1\) Vậy D đúng.
Giả sử f(x) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và các số thực a < b < c. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \(\int\limits_a^b {cf(x)dx} = - c\int\limits_a^b {f(x)dx}\)
B. \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_b^a {f(x)dx} + \int\limits_a^c {f(x)dx}\)
C. \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} - \int\limits_b^c {f(x)dx}\)
D. \(\int\limits_a^c {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx}\)
Ta có: a<b<c suy ra:
\(\begin{array}{l} \int\limits_a^c {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} - \int\limits_b^c {f(x)dx} . \end{array}\)
Từ đó ta thấy B là mệnh đề sai.
\(\begin{array}{l} \int\limits_a^c {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} - \int\limits_b^c {f(x)dx} . \end{array}\)
Từ đó ta thấy B là mệnh đề sai.
Cho \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx = 1,} \int\limits_{ - 2}^4 {f\left( t \right)dt = - 4} .\) Tính \(\int\limits_2^4 {f\left( y \right)dy} .\)
A. I=-5
B. I=-3
C. I=3
D. I=5
Ta có
\(\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( t \right)dt} - \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx = \int\limits_{ - 2}^4 {f\left( t \right)dt} + } \int\limits_2^{ - 2} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^4 {f\left( y \right)dy} + \int\limits_2^{ - 2} {f\left( y \right)dy = \int\limits_2^4 {f\left( y \right)dy} = - 5} .\)
\(\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( t \right)dt} - \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx = \int\limits_{ - 2}^4 {f\left( t \right)dt} + } \int\limits_2^{ - 2} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^4 {f\left( y \right)dy} + \int\limits_2^{ - 2} {f\left( y \right)dy = \int\limits_2^4 {f\left( y \right)dy} = - 5} .\)
Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là hai hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = } \int\limits_a^b {f\left( y \right)dy}\)
B. \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx = } \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + } \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}\)
C. \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\)
D. \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right)dx = } \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}\)
Dựa vào đáp án ta có
Dễ thấy B và C là tính chất của tính phân, Suy ra B và C đúng.
Tích phân không phụ thuộc vào biến số, suy ra A đúng.
D sai, đây không phải là tích chất của Tích phân, ta có thể dùng một số hàm cụ thể để kiểm tra.
Dễ thấy B và C là tính chất của tính phân, Suy ra B và C đúng.
Tích phân không phụ thuộc vào biến số, suy ra A đúng.
D sai, đây không phải là tích chất của Tích phân, ta có thể dùng một số hàm cụ thể để kiểm tra.
Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = - 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} .\)
B. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} .\)
C. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx}\)
D. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx} .\)
Ta có \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}\) (1)
Xét tích phân \(A = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} ,\) đặt \(x = - t \Rightarrow t = - x.\)
Khi \(x = - 2 \Rightarrow t = 2;{\rm{ }}x = 0 \Rightarrow t = 0.\) Do đó \(A = - \int\limits_0^2 {f\left( { - t} \right)d\left( { - t} \right)} = \int\limits_0^2 {f\left( { - t} \right)dt} = \int\limits_0^2 {f\left( { - x} \right)dx} .\)
Thế vào (1) ta được \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {f\left( { - x} \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx} .\)
Xét tích phân \(A = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} ,\) đặt \(x = - t \Rightarrow t = - x.\)
Khi \(x = - 2 \Rightarrow t = 2;{\rm{ }}x = 0 \Rightarrow t = 0.\) Do đó \(A = - \int\limits_0^2 {f\left( { - t} \right)d\left( { - t} \right)} = \int\limits_0^2 {f\left( { - t} \right)dt} = \int\limits_0^2 {f\left( { - x} \right)dx} .\)
Thế vào (1) ta được \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {f\left( { - x} \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx} .\)
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\),\(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2016,}\) \(\int\limits_4^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2017.}\) Tính \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x.}\)
A. \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } 4023.\)
B. \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } 1\)
C. \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } -1.\)
D. \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } 0.\)
Ta có: \(\int\limits_1^3 {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_3^4 {f(x){\rm{d}}x} = \int\limits_1^4 {f(x){\rm{d}}x}\) nên \(\int\limits_1^4 {f(x){\rm{d}}x} = 2016 - 2017 = - 1.\)
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng K và a,b,c là ba số bất kì thuộc K. Khẳng định nào sau đây sai?
A. \(\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} ;{\rm{ }}\left( {c \in \left( {a;b} \right)} \right).\)
B. \(\int\limits_a^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 0.\)
C. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \ne \int\limits_a^b {f\left( t \right){\rm{d}}} t.\)
D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_b^a {f\left( t \right){\rm{d}}} t.\)
Tích phân không phụ thuộc vào biến.
Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( b \right) - F\left( a \right) = \int\limits_a^b {f\left( t \right){\rm{d}}t} .\)
Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( b \right) - F\left( a \right) = \int\limits_a^b {f\left( t \right){\rm{d}}t} .\)
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [0;1] Biết \(f\left( 0 \right) = 1;\,f\left( 1 \right) = - 1.\) Tính \(I = \int_0^1 {f'\left( x \right)} dx.\)
A. \(I = 1\)
B. \(I = 2\)
C. \(I = -2\)
D. \(I = 0\)
\(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 = f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = - 1 - 1 = - 2.\)
Tính đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = \int\limits_0^{{x^2}} {\cos \sqrt t dt} .\)
A. \(F'\left( x \right) = {x^2}\cos x\)
B. \(F'\left( x \right) = 2x\cos x\)
C. \(F'\left( x \right) = \cos x\)
D. \(F'\left( x \right) = \cos x - 1\)
Ta có: \(G\left( t \right) = \int {\cos \sqrt t dt} \Rightarrow G'\left( t \right) = \cos \sqrt t .\)
Suy ra \(F'\left( x \right) = \left( {G\left( {{x^2}} \right) - G\left( 0 \right)} \right) = 2x\cos x.\)
Suy ra \(F'\left( x \right) = \left( {G\left( {{x^2}} \right) - G\left( 0 \right)} \right) = 2x\cos x.\)