Câu 01:
Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\log _3}\left( {2x + 1} \right)\).
A. \(D = \left( { - \infty ;\, - \frac{1}{2}} \right)\).
B. \(D = \left( {\frac{1}{2};\, + \infty } \right)\).
C. \(D = \left( {0;\, + \infty } \right)\). D. \(D = \left( { - \frac{1}{2};\, + \infty } \right)\).
Câu 02:
Đặt \({\log _3}5 = a\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \({\log _{15}}75 = \frac{{a + 1}}{{2a + 1}}\).
B. \({\log _{15}}75 = \frac{{2a + 1}}{{a + 1}}\).
C. \({\log _{15}}75 = \frac{{2a - 1}}{{a + 1}}\).
D. \({\log _{15}}75 = \frac{{2a + 1}}{{a - 1}}\).
Câu 03:
Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\).
A. \(D = \left[ { - 2, - 1} \right].\)
B. \(D = \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( { - 1, + \infty } \right)\).
C. \(D = \left( { - 2, - 1} \right)\).
D. \(D = \left( { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ { - 1, + \infty } \right)\).
Câu 04:
Cho \(0 < a < b < 1\), mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \({\log _b}a > {\log _a}b.\)
B. \({\log _a}b < 0.\)
C. \({\log _b}a < {\log _a}b.\)
D. \({\log _a}b > 1.\)
Câu 05:
Tìm giá trị của a để hàm số \(y = {\log _{2a + 3}}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
A. \(a > 1\).
B. \(a > - 1\).
C. \(0 < a < 1\).
D. \(0 < a \ne 1\).
Câu 06:
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)?
A. \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2}}.\)
B. \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}.\)
C. \(y = {\log _3}x.\)
D. \(y = \frac{{x - 3}}{{x - 2}}.\)
Câu 07:
Cho \({\log _{27}}5 = a,{\log _8}7 = b,{\log _2}3 = c\). Tính \({\log _{12}}35\)
A. \(\frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}\).
B. \(\frac{{3b + 2ac}}{{c + 2}}\).
C. \(\frac{{3b + 2ac}}{{c + 3}}\).
D. \(\frac{{3b + 3ac}}{{c + 1}}\).
Câu 08:
Kết quả rút gọn của biểu thức \(A = \left( {\log _b^3a + 2\log _b^2a + {{\log }_b}a} \right)\left( {{{\log }_a}b - {{\log }_{ab}}b} \right) - {\log _b}a\) với điều kiện biểu thức tồn tại là:
A. 1
B. 0
C. 2
D. 3
Câu 09:
Nếu \({\log _8}3 = p\) và \({\log _3}5 = q\) thì \(\log 5\) bằng:
A. \(\frac{{1 + 3pq}}{{p + q}}.\)
B. \(\frac{{3pq}}{{1 + 3pq}}.\)
C. \({p^2} + {q^2}.\)
D. \(\frac{{3p + q}}{5}.\)
Câu 10:
Giả sử p và q là hai số dương sao cho \({\log _{16}}p = {\log _{20}}q = {\log _{25}}\left( {p + q} \right).\) Tìm giá trị \(\frac{p}{q}.\)
A. \(\frac{8}{5}.\)
B. \(\frac{1}{2}\left( { - 1 + \sqrt 5 } \right).\)
C. \(\frac{4}{5}.\)
D. \(\frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right).\)
Câu 11:
Tính giá trị của biểu thức \(A = {\log _a}\frac{1}{{{a^2}}}\), với \(a > 0\) và \(a \ne 1.\)
A. \(A = - 2\)
B. \(A = - \frac{1}{2}\)
C. \(A = 2\)
D. \(A = \frac{1}{2}\)
Câu 12:
Gọi (C) là đồ thị hàm số \(y = \log x\). Tìm khẳng định đúng?
A. Đồ thị (C) có tiệm cận đứng
B. Đồ thị (C) có tiệm cận ngang
C. Đồ thị (C) cắt trục tung
D. Đồ thị (C) không cắt trục hoành
Câu 13:
Tính giới hạn \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\log }_2}\left( {1 + x} \right)}}{x}\)
A. \(A = e\)
B. \(A = \ln 2\)
C. \(A = {\log _2}e\)
D. \(A = 1\)
Câu 14:
Cho \({\log _{\frac{1}{2}}}x = \frac{2}{3}{\log _{\frac{1}{2}}}a - \frac{1}{5}{\log _{\frac{1}{2}}}b\). Tìm x.
A. \({a^{\frac{3}{2}}}.{b^{\frac{1}{5}}}\)
B. \(\frac{{{a^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{5}}}}}\)
C. \(\frac{{{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{b^{\frac{1}{5}}}}}\)
D. \(\frac{{{a^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^5}}}\)
Câu 15:
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \left( {x - 1} \right)\ln x.\)
A. lnx
B. \(\frac{{x - 1}}{x}\)
C. \(\frac{{x - 1}}{x} + \ln x\)
D. \(\frac{{x - 1}}{x} - \ln x\)
Câu 16:
Cho \({\log _a}b = \sqrt 3 .\) Tình \({\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a }}.\)
A. \(\frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 - 2}}\)
B. \(\sqrt 3 + 1\)
C. \(\frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 + 2}}\)
D. \(\sqrt 3 - 1\)
Câu 17:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}\left( {\frac{1}{{1 - 2{\rm{x}}}}} \right).\)
A. \(y' = \frac{2}{{x\ln 4 - \ln 2}}.\)
B. \(y' = \frac{2}{{\ln 2 - x\ln 4}}.\)
C. \(y' = \frac{2}{{x\ln 2 - \ln 4}}.\)
D. \(y' = \frac{2}{{\ln 4 - x\ln 2}}.\)
Câu 18:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {\log _2}\left[ {\left( {m + 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + \left( {m + 3} \right)} \right]\) có tập xác định là \(\mathbb{R}.\)
A. \(m \le - 2.\)
B. \(m > - 2.\)
C. C. \(m < - 2.\)
D. \(m \ge - 2.\)
Câu 19:
Trong hệ thập phân, số \({2016^{2017}}\) có bao nhiêu chữ số?
A. 2017
B. 2018
C. 6666
D. 6665
Câu 20:
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _a}b = 2.\) Tính \({\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}\left( {\sqrt[3]{b}a} \right).\)
A. \( - \frac{{10}}{9}.\)
B. \(\frac{2}{3}.\)
C. \( - \frac{2}{9}.\)
D. \(\frac{2}{{15}}.\)
Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\log _3}\left( {2x + 1} \right)\).
A. \(D = \left( { - \infty ;\, - \frac{1}{2}} \right)\).
B. \(D = \left( {\frac{1}{2};\, + \infty } \right)\).
C. \(D = \left( {0;\, + \infty } \right)\). D. \(D = \left( { - \frac{1}{2};\, + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = {\log _3}\left( {2x + 1} \right)\) xác định khi \(2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}\).
Đặt \({\log _3}5 = a\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \({\log _{15}}75 = \frac{{a + 1}}{{2a + 1}}\).
B. \({\log _{15}}75 = \frac{{2a + 1}}{{a + 1}}\).
C. \({\log _{15}}75 = \frac{{2a - 1}}{{a + 1}}\).
D. \({\log _{15}}75 = \frac{{2a + 1}}{{a - 1}}\).
\({\log _{15}}75 = {\log _{15}}{5^2} + {\log _{15}}3 = 2{\log _{15}}5 + {\log _{15}}3\)\( = \frac{2}{{{{\log }_5}5 + {{\log }_5}3}} + \frac{1}{{{{\log }_3}5 + {{\log }_3}3}}\)\( = \frac{2}{{1 + {a^{ - 1}}}} + \frac{1}{{a + 1}}\)
Thu gọn ta có \({\log _{15}}75 = \frac{{2a + 1}}{{a + 1}}\).
Thu gọn ta có \({\log _{15}}75 = \frac{{2a + 1}}{{a + 1}}\).
Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\).
A. \(D = \left[ { - 2, - 1} \right].\)
B. \(D = \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( { - 1, + \infty } \right)\).
C. \(D = \left( { - 2, - 1} \right)\).
D. \(D = \left( { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ { - 1, + \infty } \right)\).
Điều kiện \({x^2} + 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > - 1\end{array} \right.\).
Cho \(0 < a < b < 1\), mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \({\log _b}a > {\log _a}b.\)
B. \({\log _a}b < 0.\)
C. \({\log _b}a < {\log _a}b.\)
D. \({\log _a}b > 1.\)
Do \(0 < a < 1\) nên hàm số \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Đáp án B sai, vì: Với \(b < 1 \Rightarrow {\log _a}b > {\log _a}1 \Leftrightarrow {\log _a}b > 0\).
Đáp án D sai, vì: Với \(a < b \Rightarrow {\log _a}a > {\log _a}b \Leftrightarrow {\log _a}b < 1\).
Với \(0 < a < b < 1\) ta có \(0 < {\log _a}b < 1\).
Đáp án C sai, vì: Nếu \({\log _b}a < {\log _a}b \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_a}b}} < {\log _a}b \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} > 1\) (vô lí).
Đáp án A đúng, vì: Nếu \({\log _b}a > {\log _a}b \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_a}b}} > {\log _a}b \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} < 1\) (luôn đúng).
Đáp án B sai, vì: Với \(b < 1 \Rightarrow {\log _a}b > {\log _a}1 \Leftrightarrow {\log _a}b > 0\).
Đáp án D sai, vì: Với \(a < b \Rightarrow {\log _a}a > {\log _a}b \Leftrightarrow {\log _a}b < 1\).
Với \(0 < a < b < 1\) ta có \(0 < {\log _a}b < 1\).
Đáp án C sai, vì: Nếu \({\log _b}a < {\log _a}b \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_a}b}} < {\log _a}b \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} > 1\) (vô lí).
Đáp án A đúng, vì: Nếu \({\log _b}a > {\log _a}b \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_a}b}} > {\log _a}b \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} < 1\) (luôn đúng).
Tìm giá trị của a để hàm số \(y = {\log _{2a + 3}}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
A. \(a > 1\).
B. \(a > - 1\).
C. \(0 < a < 1\).
D. \(0 < a \ne 1\).
Ta có hàm số \(y = {\log _{2a + 3}}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi\(2a + 3 > 1 \Leftrightarrow a > - 1\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)?
A. \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2}}.\)
B. \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}.\)
C. \(y = {\log _3}x.\)
D. \(y = \frac{{x - 3}}{{x - 2}}.\)
Ta có hàm số \(y = {a^x},y = {\log _a}x\) đồng biến trên tập xác định nếu \(a > 1\).
Do đó hàm số \(y = {\log _3}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Do đó hàm số \(y = {\log _3}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Cho \({\log _{27}}5 = a,{\log _8}7 = b,{\log _2}3 = c\). Tính \({\log _{12}}35\)
A. \(\frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}\).
B. \(\frac{{3b + 2ac}}{{c + 2}}\).
C. \(\frac{{3b + 2ac}}{{c + 3}}\).
D. \(\frac{{3b + 3ac}}{{c + 1}}\).
Ta có: \(a = {\log _{27}}5 = {\log _{{3^3}}}5 = \frac{1}{3}{\log _3}5,b = {\log _8}7 = {\log _{{2^3}}}7 = \frac{1}{3}{\log _2}7\)
\({\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}35}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}({{3.2}^2})}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5}}{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}{2^2}}} = \frac{{3b + c.3a}}{{c + 2}} = \frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}.\)
\({\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}35}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}({{3.2}^2})}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5}}{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}{2^2}}} = \frac{{3b + c.3a}}{{c + 2}} = \frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}.\)
Kết quả rút gọn của biểu thức \(A = \left( {\log _b^3a + 2\log _b^2a + {{\log }_b}a} \right)\left( {{{\log }_a}b - {{\log }_{ab}}b} \right) - {\log _b}a\) với điều kiện biểu thức tồn tại là:
A. 1
B. 0
C. 2
D. 3
Ta có: \(A = \left( {\log _b^3a + 2\log _b^2a + {{\log }_b}a} \right)\left( {\frac{1}{{{{\log }_a}b}} - \frac{1}{{1 + {{\log }_b}a}}} \right) - {\log _b}a.\)
Đặt \({\log _b}a = t \Rightarrow A = \left( {{t^3} + 2{t^2} + t} \right)\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{1 + t}}} \right) - t = t{\left( {t + 1} \right)^2}\frac{1}{{t\left( {t + 1} \right)}} - t = t + 1 - t = 1.\)
Đặt \({\log _b}a = t \Rightarrow A = \left( {{t^3} + 2{t^2} + t} \right)\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{1 + t}}} \right) - t = t{\left( {t + 1} \right)^2}\frac{1}{{t\left( {t + 1} \right)}} - t = t + 1 - t = 1.\)
Nếu \({\log _8}3 = p\) và \({\log _3}5 = q\) thì \(\log 5\) bằng:
A. \(\frac{{1 + 3pq}}{{p + q}}.\)
B. \(\frac{{3pq}}{{1 + 3pq}}.\)
C. \({p^2} + {q^2}.\)
D. \(\frac{{3p + q}}{5}.\)
\(\begin{array}{l}
\log 5 = \frac{1}{{{{\log }_5}10}} = \frac{1}{{{{\log }_5}2 + {{\log }_5}5}} = \frac{1}{{{{\log }_5}2 + 1}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_2}3.{{\log }_3}5}} + 1}}\\
= \frac{1}{{\frac{1}{{3{{\log }_3}5.{{\log }_8}3}} + 1}} = \frac{1}{{\frac{1}{{3pq}} + 1}} = \frac{{3pq}}{{1 + 3pq}}.
\end{array}\)
\log 5 = \frac{1}{{{{\log }_5}10}} = \frac{1}{{{{\log }_5}2 + {{\log }_5}5}} = \frac{1}{{{{\log }_5}2 + 1}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_2}3.{{\log }_3}5}} + 1}}\\
= \frac{1}{{\frac{1}{{3{{\log }_3}5.{{\log }_8}3}} + 1}} = \frac{1}{{\frac{1}{{3pq}} + 1}} = \frac{{3pq}}{{1 + 3pq}}.
\end{array}\)
Giả sử p và q là hai số dương sao cho \({\log _{16}}p = {\log _{20}}q = {\log _{25}}\left( {p + q} \right).\) Tìm giá trị \(\frac{p}{q}.\)
A. \(\frac{8}{5}.\)
B. \(\frac{1}{2}\left( { - 1 + \sqrt 5 } \right).\)
C. \(\frac{4}{5}.\)
D. \(\frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right).\)
Đặt \(t = {\log _{16}}p = {\log _{20}}q = {\log _{25}}\left( {p + q} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = {16^t}\\q = {20^t}\\p + q = {25^t}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{p}{q} = {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}p + q = {25^t} \Leftrightarrow {16^t} + {20^t} = {25^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} + 1 = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^t}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{5}} \right)^{2t}} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\{\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow \frac{p}{q} = \frac{1}{2}\left( { - 1 + \sqrt 5 } \right).\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}p + q = {25^t} \Leftrightarrow {16^t} + {20^t} = {25^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} + 1 = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^t}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{5}} \right)^{2t}} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\{\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow {\left( {\frac{4}{5}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow \frac{p}{q} = \frac{1}{2}\left( { - 1 + \sqrt 5 } \right).\)
Tính giá trị của biểu thức \(A = {\log _a}\frac{1}{{{a^2}}}\), với \(a > 0\) và \(a \ne 1.\)
A. \(A = - 2\)
B. \(A = - \frac{1}{2}\)
C. \(A = 2\)
D. \(A = \frac{1}{2}\)
\(A = {\log _a} = \frac{1}{{{a^2}}} = {\log _a}{a^{ - 2}} = - 2.{\log _a}a = - 2\)
Gọi (C) là đồ thị hàm số \(y = \log x\). Tìm khẳng định đúng?
A. Đồ thị (C) có tiệm cận đứng
B. Đồ thị (C) có tiệm cận ngang
C. Đồ thị (C) cắt trục tung
D. Đồ thị (C) không cắt trục hoành
Đồ thị hàm số \(y = \log x\)nhận đường thẳng x=0 làm tiệm cận đứng.
Tính giới hạn \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\log }_2}\left( {1 + x} \right)}}{x}\)
A. \(A = e\)
B. \(A = \ln 2\)
C. \(A = {\log _2}e\)
D. \(A = 1\)
\(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\log }_2}\left( {1 + x} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\log }_2}e.\ln \left( {x + 1} \right)}}{x} = {\log _2}e.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{x} = {\log _2}e.1 = {\log _2}e.\)
Cho \({\log _{\frac{1}{2}}}x = \frac{2}{3}{\log _{\frac{1}{2}}}a - \frac{1}{5}{\log _{\frac{1}{2}}}b\). Tìm x.
A. \({a^{\frac{3}{2}}}.{b^{\frac{1}{5}}}\)
B. \(\frac{{{a^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{5}}}}}\)
C. \(\frac{{{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{b^{\frac{1}{5}}}}}\)
D. \(\frac{{{a^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^5}}}\)
\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{2}}}x = \frac{2}{3}{\log _{\frac{1}{2}}}a - \frac{1}{5}{\log _{\frac{1}{2}}}b \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x = {\log _{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}} - {\log _{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{5}}}\\ \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{b^{\frac{1}{5}}}}} \Leftrightarrow x = \frac{{{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{b^{\frac{1}{5}}}}}\end{array}\)
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \left( {x - 1} \right)\ln x.\)
A. lnx
B. \(\frac{{x - 1}}{x}\)
C. \(\frac{{x - 1}}{x} + \ln x\)
D. \(\frac{{x - 1}}{x} - \ln x\)
Ta có \(y' = \left[ {\left( {x - 1} \right)\ln x} \right]' = \ln x + \frac{{x - 1}}{x}.\)
Cho \({\log _a}b = \sqrt 3 .\) Tình \({\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a }}.\)
A. \(\frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 - 2}}\)
B. \(\sqrt 3 + 1\)
C. \(\frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 + 2}}\)
D. \(\sqrt 3 - 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a }} = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt b - {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt a = \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt b }}\left( {\frac{{\sqrt b }}{a}} \right)}} - \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt a }}\left( {\frac{{\sqrt b }}{a}} \right)}}\\ = \frac{1}{{2\left( {{{\log }_b}\sqrt b - {{\log }_b}a} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {{{\log }_a}\sqrt b - {{\log }_a}a} \right)}} = \frac{1}{{2\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{{{\log }_a}b}}} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {\frac{1}{2}{{\log }_a}b - 1} \right)}}\end{array}\)
\( = \frac{1}{{2\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 - 2}}.\)
\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a }} = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt b - {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt a = \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt b }}\left( {\frac{{\sqrt b }}{a}} \right)}} - \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt a }}\left( {\frac{{\sqrt b }}{a}} \right)}}\\ = \frac{1}{{2\left( {{{\log }_b}\sqrt b - {{\log }_b}a} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {{{\log }_a}\sqrt b - {{\log }_a}a} \right)}} = \frac{1}{{2\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{{{\log }_a}b}}} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {\frac{1}{2}{{\log }_a}b - 1} \right)}}\end{array}\)
\( = \frac{1}{{2\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 - 2}}.\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}\left( {\frac{1}{{1 - 2{\rm{x}}}}} \right).\)
A. \(y' = \frac{2}{{x\ln 4 - \ln 2}}.\)
B. \(y' = \frac{2}{{\ln 2 - x\ln 4}}.\)
C. \(y' = \frac{2}{{x\ln 2 - \ln 4}}.\)
D. \(y' = \frac{2}{{\ln 4 - x\ln 2}}.\)
Ta có: \(y' = {\left[ {{{\log }_2}\left( {\frac{1}{{1 - 2{\rm{x}}}}} \right)} \right]^\prime } = - {\left[ {{{\log }_2}\left( {1 - 2{\rm{x}}} \right)} \right]^\prime } = \frac{2}{{\left( {1 - 2{\rm{x}}} \right)\ln 2}} = \frac{2}{{\ln 2 - x\ln 4}}.\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {\log _2}\left[ {\left( {m + 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + \left( {m + 3} \right)} \right]\) có tập xác định là \(\mathbb{R}.\)
A. \(m \le - 2.\)
B. \(m > - 2.\)
C. C. \(m < - 2.\)
D. \(m \ge - 2.\)
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {m + 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + \left( {m + 3} \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)
\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\,TH1:[/B]\,\,m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2 \Rightarrow f\left( x \right) = 5 > 0.\\ \bullet \,\,\,TH2:[/B]\,\,m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2 \Rightarrow f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 > 0\\{\Delta '} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\{\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m + 2} \right)\left( {m + 3} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 2.\end{array}\)
Kết hợp hai trường hợp ta nhận: \(m \ge - 2.\)
\(\begin{array}{l} \bullet \,\,\,TH1:[/B]\,\,m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2 \Rightarrow f\left( x \right) = 5 > 0.\\ \bullet \,\,\,TH2:[/B]\,\,m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2 \Rightarrow f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 > 0\\{\Delta '} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\{\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m + 2} \right)\left( {m + 3} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 2.\end{array}\)
Kết hợp hai trường hợp ta nhận: \(m \ge - 2.\)
Trong hệ thập phân, số \({2016^{2017}}\) có bao nhiêu chữ số?
A. 2017
B. 2018
C. 6666
D. 6665
\(\log {2016^{2017}} + 1 = 2017\log 2016 + 1 = 6666,157395\) suy ra số chữ số của \({2016^{2017}}\) là 6666.
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _a}b = 2.\) Tính \({\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}\left( {\sqrt[3]{b}a} \right).\)
A. \( - \frac{{10}}{9}.\)
B. \(\frac{2}{3}.\)
C. \( - \frac{2}{9}.\)
D. \(\frac{2}{{15}}.\)
\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}\left( {\sqrt[3]{b}.a} \right) = \frac{1}{3}{\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}b + {\log _{\frac{{\sqrt a }}{b}}}a = \frac{1}{3}.\frac{1}{{{{\log }_b}\left( {\frac{{\sqrt a }}{b}} \right)}} + \frac{1}{{{{\log }_a}\left( {\frac{{\sqrt a }}{b}} \right)}}\\ = \frac{1}{{3\left( {{{\log }_b}\sqrt a - {{\log }_b}b} \right)}} + \frac{1}{{{{\log }_a}\sqrt a - {{\log }_a}b}}\end{array}\)
\( = \frac{1}{{3\left( {\frac{1}{2}{{\log }_b}a - 1} \right)}} + \frac{1}{{\frac{1}{2} - {{\log }_a}b}} = \frac{1}{{3\left( {\frac{1}{4} - 1} \right)}} + \frac{1}{{\frac{1}{2} - 2}} = - \frac{{10}}{9}.\)
\( = \frac{1}{{3\left( {\frac{1}{2}{{\log }_b}a - 1} \right)}} + \frac{1}{{\frac{1}{2} - {{\log }_a}b}} = \frac{1}{{3\left( {\frac{1}{4} - 1} \right)}} + \frac{1}{{\frac{1}{2} - 2}} = - \frac{{10}}{9}.\)