Câu 1:
Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) . Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) và đồ thị hàm số \(y=F(x)\) đi qua \(M\left( {\frac{\pi }{3};0} \right)\) thì \(F(x)\) là hàm số nào sau đây?
A. \(F(x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }} - \cot x\)
B. \(F(x) = \sqrt 3 - \cot x\)
C. \(F(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \cot x\)
D. \(F(x) = - \cot x + C\)
Câu 2:
Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{x + 2}}\). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(\int {\frac{1}{{x + 2}}dx = \ln (x + 2) + C}\)
B. \(\ln \left( {3\left| {x + 2} \right|} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
C. \(\ln \left| {x + 2} \right| + C\) là họ nguyên hàm của f(x)
D. \(\ln \left| {x + 2} \right|\) là một nguyên hàm của f(x)
Câu 1:
Biết rằng \(\int {{e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c}\), trong đó a, b, c là các hằng số. Tính tổng a+b.
A. \(a + b = - \frac{1}{{13}}\)
B. \(a + b = - \frac{5}{{13}}\)
C. \(a + b = \frac{5}{{13}}\)
D. \(a + b = \frac{1}{{13}}\)
Câu 4:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x(2 + 3{x^2})\).
A. \(\int {f(x)dx = {x^2}\left( {1 + \frac{3}{4}{x^2}} \right) + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^2}}}{2}\left( {2x + {x^2}} \right) + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = {x^2}\left( {6x + 2} \right) + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = {x^2} + \frac{3}{4}{x^4}}\)
Câu 5:
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx}\).
A. \(I = \frac{{\pi + 2}}{8}\)
B. \(I = \frac{{\pi + 2}}{4}\)
C. \(I = \frac{1}{3}\)
D. \(I = \frac{2}{3}\)
Câu 6:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)} dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx + \int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx\)
B. \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)} dx = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\)
C. \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)} dx = 1\)
D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx + \int\limits_b^c {f\left( x \right)} dx = \int\limits_a^c {f\left( x \right)} dx\)
Câu 7:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\sin ^2}x\).
A. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C\)
Câu 8:
Gọi \(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 4{x^3} - 3{x^2} + 2\). Tìm \(F(x)\) biết \(F( - 1) = 3.\)
A. \(F(x) = {x^4} - {x^3} + 2x + 3\)
B. \(F(x) = {x^4} - {x^3} + 2x\)
C. \(F(x) = {x^4} - {x^3} + 2x + 4\)
D. \(F(x) = {x^4} - {x^3} + 2x - 3\)
Câu 9:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {3x + 1} .\)
A. \(\int {f(x)dx = \frac{2}{3}\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^3}} + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{2}{9}\sqrt {3x + 1} + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = \frac{2}{3}\left( {3x + 1} \right)\sqrt {3x + 1} + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = \frac{2}{9}\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^3}} + C}\)
Câu 10:
Cho \(f'(x) = 3 - 5\sin x\) và \(f(0) = 10\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. \(f(x) = 3x + 5\cos x + 2\)
B. \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{3\pi }}{2}\)
C. \(f(\pi ) = 3\pi\)
D. \(f(x) = 3x - 5\cos x\)
Câu 11:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin \left( {5x - 2} \right).\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{5}\sin \left( {5x - 2} \right) + c\)
B. \(\int {f(x)dx} =5\sin \left( {5x - 2} \right) + c\)
C. \(\int {f(x)dx} = -\frac{1}{5}\sin \left( {5x - 2} \right) + c\)
D. \(\int {f(x)dx} =-5\cos \left( {5x - 2} \right) + c\)
Câu 12:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}.\)
A. \(\int {f(x)dx = } \tan x + \cot x + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } \tan x - \cot x + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } \cot x - \tan x + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } 2\tan x - 2\cot x + C\)
Câu 13:
Cho \(\int\limits_2^5 {\frac{{dx}}{x}} = \ln a\). Tìm a.
A. \(a = \frac{5}{2}\)
B. \(a = 2\)
C. \(a =5\)
D. \(a = \frac{2}{5}\)
Câu 14:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = c{\rm{os}}\,{\rm{2x}}{\rm{.}}\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}{\rm{sin}}\,{\rm{2x}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{C}}\)
B. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{2}{\rm{sin}}\,{\rm{2x}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{C}}\)
C. \(\int {f(x)dx} = 2{\rm{sin}}\,{\rm{2x}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{C}}\)
D. \(\int {f(x)dx} = - 2{\rm{sin}}\,{\rm{2x}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{C}}\)
Câu 15:
Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của của hàm số \(f(x) = \,\frac{1}{{x - 1}}\) và \(F(2)=1.\) Tính \(F(3).\)
A. \(F(3) = \ln 2 - 1\)
B. \(F(3) = \ln 2 + 1\)
C. \(F(3) =\frac{1}{2}\)
D. \(F(3) = \frac{7}{4}\)
Câu 16:
Tìm nguyên hàm \(I = \int {\frac{1}{{4 - {x^2}}}dx} .\)
A. \(I = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x + 2}}{{x - 2}}} \right| + C\)
B. \(I = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right| + C\)
C. \(I = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x+2}}} \right| + C\)
D. \(I = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{x + 2}}{{x - 2}}} \right| + C\)
Câu 17:
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. \(\int {\sin 2xdx} = \frac{{ - \cos 2x}}{2} + C;C \in \mathbb{R}\)
B. \(\int {\sin 2xdx} = \frac{{\cos 2x}}{2} + C;C \in\)
C. \(\int {\sin 2xdx} =2\cos2x+ C;C \in \mathbb{R}\)
D. \(\int {\sin 2xdx} =\cos2x+ C;C \in \mathbb{R}\)
Câu 18:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}{3} + C;C \in \mathbb{R}\)
B. \(\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}{3}\)
C. \(\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x+C;C \in \mathbb{R}\)
D. \(\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\)
Câu 19:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}.\)
A. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{1}{{{x^2}}} + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = {x^3} - 3{x^2} + \ln \left| x \right| + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} - \ln \left| x \right| + C}\)
Câu 20:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^2} - 2x + 1.\)
A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}{x^3} - 2 + x + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = 2x - 2 + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}{x^3} - x^2 + x + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}{x^3} - 2x^2 + x + C}\)
Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) . Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) và đồ thị hàm số \(y=F(x)\) đi qua \(M\left( {\frac{\pi }{3};0} \right)\) thì \(F(x)\) là hàm số nào sau đây?
A. \(F(x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }} - \cot x\)
B. \(F(x) = \sqrt 3 - \cot x\)
C. \(F(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \cot x\)
D. \(F(x) = - \cot x + C\)
Ta có: \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \cot x + C\)
Điểm \(M\left( {\frac{\pi }{3};0} \right)\)thuộc đồ thị hàm số F(x) nên:
\(C - \cot \frac{\pi }{3} = 0 \Leftrightarrow C = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Vậy A là phương án đúng.
Điểm \(M\left( {\frac{\pi }{3};0} \right)\)thuộc đồ thị hàm số F(x) nên:
\(C - \cot \frac{\pi }{3} = 0 \Leftrightarrow C = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Vậy A là phương án đúng.
Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{x + 2}}\). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(\int {\frac{1}{{x + 2}}dx = \ln (x + 2) + C}\)
B. \(\ln \left( {3\left| {x + 2} \right|} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
C. \(\ln \left| {x + 2} \right| + C\) là họ nguyên hàm của f(x)
D. \(\ln \left| {x + 2} \right|\) là một nguyên hàm của f(x)
Ta có: \(\int {\frac{1}{{x + 2}}dx = \ln \left| {x + 2} \right| + C}\)
Do đó các hàm số \(\ln \left| {x + 2} \right|\) và \(\ln \left( {3\left| {x + 2} \right|} \right) = \ln 3 + \ln \left| {x + 2} \right|\) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) .
Hàm số \(y = \ln (x + 2)\) không phải nguyên hàm của hàm số f(x).
Do đó các hàm số \(\ln \left| {x + 2} \right|\) và \(\ln \left( {3\left| {x + 2} \right|} \right) = \ln 3 + \ln \left| {x + 2} \right|\) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) .
Hàm số \(y = \ln (x + 2)\) không phải nguyên hàm của hàm số f(x).
Biết rằng \(\int {{e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c}\), trong đó a, b, c là các hằng số. Tính tổng a+b.
A. \(a + b = - \frac{1}{{13}}\)
B. \(a + b = - \frac{5}{{13}}\)
C. \(a + b = \frac{5}{{13}}\)
D. \(a + b = \frac{1}{{13}}\)
Đặt \(f(x) = {e^{2x}}(a\cos 3x + b\sin 3x) + c\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = 2a{e^{2x}}\cos 3x - 3a{e^{2x}}\sin 3x + 2b{e^{2x}}\sin 3x + 3b{e^{2x}}\cos 3x\\ = \left( {2a + 3b} \right){e^{2x}}\cos 3x + (2b - 3a){e^{2x}}\sin 3x \end{array}\)
Để f(x) là nguyên hàm của hàm số \({e^{2x}}\cos 3x\) thì:
\(f'(x) = {e^{2x}}\cos 3x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a + 3b = 1\\ 2b - 3a = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{2}{{13}}\\ b = \frac{3}{{13}} \end{array} \right. \Rightarrow a + b = \frac{5}{{13}}\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = 2a{e^{2x}}\cos 3x - 3a{e^{2x}}\sin 3x + 2b{e^{2x}}\sin 3x + 3b{e^{2x}}\cos 3x\\ = \left( {2a + 3b} \right){e^{2x}}\cos 3x + (2b - 3a){e^{2x}}\sin 3x \end{array}\)
Để f(x) là nguyên hàm của hàm số \({e^{2x}}\cos 3x\) thì:
\(f'(x) = {e^{2x}}\cos 3x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a + 3b = 1\\ 2b - 3a = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{2}{{13}}\\ b = \frac{3}{{13}} \end{array} \right. \Rightarrow a + b = \frac{5}{{13}}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x(2 + 3{x^2})\).
A. \(\int {f(x)dx = {x^2}\left( {1 + \frac{3}{4}{x^2}} \right) + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^2}}}{2}\left( {2x + {x^2}} \right) + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = {x^2}\left( {6x + 2} \right) + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = {x^2} + \frac{3}{4}{x^4}}\)
\(\int {f(x)dx = \int {(2x + 3{x^3})dx = {x^2} + \frac{3}{4}{x^4} + C = {x^2}\left( {1 + \frac{3}{4}{x^2}} \right) + C} }\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx}\).
A. \(I = \frac{{\pi + 2}}{8}\)
B. \(I = \frac{{\pi + 2}}{4}\)
C. \(I = \frac{1}{3}\)
D. \(I = \frac{2}{3}\)
\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2x)dx = } \left. {\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}sin2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi + 2}}{8}\)
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)} dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx + \int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx\)
B. \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)} dx = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\)
C. \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)} dx = 1\)
D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx + \int\limits_b^c {f\left( x \right)} dx = \int\limits_a^c {f\left( x \right)} dx\)
\(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ a \end{array}} \right. = F\left( a \right) - F\left( a \right) = 0\)
Các phương án còn lại đều là những tính chất của tích phân đã được học trong chương trình phổ thông.
Các phương án còn lại đều là những tính chất của tích phân đã được học trong chương trình phổ thông.
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\sin ^2}x\).
A. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C\)
\(\int {{{\sin }^2}xdx = \int {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C} }\)
Gọi \(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 4{x^3} - 3{x^2} + 2\). Tìm \(F(x)\) biết \(F( - 1) = 3.\)
A. \(F(x) = {x^4} - {x^3} + 2x + 3\)
B. \(F(x) = {x^4} - {x^3} + 2x\)
C. \(F(x) = {x^4} - {x^3} + 2x + 4\)
D. \(F(x) = {x^4} - {x^3} + 2x - 3\)
Ta có: \(F(x) = \int {f(x)dx = {x^4} - {x^3} + 2x} + C\)
\(F( - 1) = 3 \Rightarrow 1 + 1 - 2 + C = 3 \Leftrightarrow C = 3\)
\(F( - 1) = 3 \Rightarrow 1 + 1 - 2 + C = 3 \Leftrightarrow C = 3\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {3x + 1} .\)
A. \(\int {f(x)dx = \frac{2}{3}\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^3}} + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{2}{9}\sqrt {3x + 1} + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = \frac{2}{3}\left( {3x + 1} \right)\sqrt {3x + 1} + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = \frac{2}{9}\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^3}} + C}\)
\(\begin{array}{l} \int {\sqrt {3x + 1} dx} = \int {{{\left( {3x + 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}dx} \\ = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}.{\left( {3x + 1} \right)^{\frac{1}{2} + 1}} + C\\ = \frac{2}{9}\sqrt {{{(3x + 1)}^3}} + C \end{array}\)
Cho \(f'(x) = 3 - 5\sin x\) và \(f(0) = 10\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. \(f(x) = 3x + 5\cos x + 2\)
B. \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{3\pi }}{2}\)
C. \(f(\pi ) = 3\pi\)
D. \(f(x) = 3x - 5\cos x\)
\(\begin{array}{l} f(x) = \int {(3 - 5sinx)dx = 3x + 5cosx + C} \\ f(0) = 10 \Rightarrow 5 + C = 10 \Leftrightarrow C = 5 \end{array}\)
Vậy \(f(x) = 3x + 5\cos x + 5\)
Vì thế A và D sai.
Mặt khác:\(f(\pi ) = 3\pi\) nên C đúng.
Vậy \(f(x) = 3x + 5\cos x + 5\)
Vì thế A và D sai.
Mặt khác:\(f(\pi ) = 3\pi\) nên C đúng.
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin \left( {5x - 2} \right).\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{5}\sin \left( {5x - 2} \right) + c\)
B. \(\int {f(x)dx} =5\sin \left( {5x - 2} \right) + c\)
C. \(\int {f(x)dx} = -\frac{1}{5}\sin \left( {5x - 2} \right) + c\)
D. \(\int {f(x)dx} =-5\cos \left( {5x - 2} \right) + c\)
\(\int {\sin \left( {5x - 2} \right)dx = - \frac{1}{5}\cos \left( {5x - 2} \right)} + c\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}.\)
A. \(\int {f(x)dx = } \tan x + \cot x + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } \tan x - \cot x + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } \cot x - \tan x + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } 2\tan x - 2\cot x + C\)
\(\begin{array}{l} \int {f\left( x \right)dx = \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = \int {\frac{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}dx} } } \\ = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx + \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \tan x - \cot x + C} \end{array}\)
Cho \(\int\limits_2^5 {\frac{{dx}}{x}} = \ln a\). Tìm a.
A. \(a = \frac{5}{2}\)
B. \(a = 2\)
C. \(a =5\)
D. \(a = \frac{2}{5}\)
Ta có: \(\int\limits_2^5 {\frac{{dx}}{x}} = \ln a \Leftrightarrow \left. {\ln \left| x \right|} \right|_2^5 = \ln a \Leftrightarrow \ln 5 - \ln 2 = \ln a \Leftrightarrow \ln \frac{5}{2} = \ln a \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = c{\rm{os}}\,{\rm{2x}}{\rm{.}}\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}{\rm{sin}}\,{\rm{2x}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{C}}\)
B. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{2}{\rm{sin}}\,{\rm{2x}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{C}}\)
C. \(\int {f(x)dx} = 2{\rm{sin}}\,{\rm{2x}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{C}}\)
D. \(\int {f(x)dx} = - 2{\rm{sin}}\,{\rm{2x}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{C}}\)
\(\int {\cos 2xdx = \frac{{\sin 2x}}{2} + C.}\)
Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của của hàm số \(f(x) = \,\frac{1}{{x - 1}}\) và \(F(2)=1.\) Tính \(F(3).\)
A. \(F(3) = \ln 2 - 1\)
B. \(F(3) = \ln 2 + 1\)
C. \(F(3) =\frac{1}{2}\)
D. \(F(3) = \frac{7}{4}\)
\(F\left( x \right) = \ln \left| {x - 1} \right| + C\)
Ta có: \(F\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow C = 1\) do đó \(F\left( 3 \right) = \ln 2 + 1.\)
Ta có: \(F\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow C = 1\) do đó \(F\left( 3 \right) = \ln 2 + 1.\)
Tìm nguyên hàm \(I = \int {\frac{1}{{4 - {x^2}}}dx} .\)
A. \(I = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x + 2}}{{x - 2}}} \right| + C\)
B. \(I = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right| + C\)
C. \(I = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x+2}}} \right| + C\)
D. \(I = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{x + 2}}{{x - 2}}} \right| + C\)
\(\begin{array}{l} \int {\frac{1}{{4 - {x^2}}}dx} = \int {\frac{1}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}dx} \\ = \frac{1}{4}\int {\left( { - \frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{2 + x}}} \right)dx} = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right| + C \end{array}\)
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. \(\int {\sin 2xdx} = \frac{{ - \cos 2x}}{2} + C;C \in \mathbb{R}\)
B. \(\int {\sin 2xdx} = \frac{{\cos 2x}}{2} + C;C \in\)
C. \(\int {\sin 2xdx} =2\cos2x+ C;C \in \mathbb{R}\)
D. \(\int {\sin 2xdx} =\cos2x+ C;C \in \mathbb{R}\)
Ta có \(\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx} = - \frac{1}{a}.\cos \left( {ax + b} \right) + C\)
Áp dụng công thức trên ta có: \(\int {\sin 2xdx} = \frac{{ - 1}}{2}\cos 2x + C.\)
Áp dụng công thức trên ta có: \(\int {\sin 2xdx} = \frac{{ - 1}}{2}\cos 2x + C.\)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}{3} + C;C \in \mathbb{R}\)
B. \(\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}{3}\)
C. \(\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x+C;C \in \mathbb{R}\)
D. \(\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\)
Ta có: \(\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \int {\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right)dx} = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{2}{3}{x^3} + x + C;C \in \mathbb{R}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}.\)
A. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{1}{{{x^2}}} + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = {x^3} - 3{x^2} + \ln \left| x \right| + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} - \ln \left| x \right| + C}\)
\(\int {f(x)dx} = \int {\left( {{x^3} - 3x + \frac{1}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^2} - 2x + 1.\)
A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}{x^3} - 2 + x + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = 2x - 2 + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}{x^3} - x^2 + x + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}{x^3} - 2x^2 + x + C}\)
\(\int {f(x)dx = \int {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)dx = } \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x + C}\)