2

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, khoảng cách giữa cạnh bên SA và cạnh đáy BC bằng \(\frac{{3a}}{4}\). Thể tích khối chóp S.ABC là:
A. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\)
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
D. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Gọi I là trung điểm của BC, K là hình chiếu vuông góc của I lên SA.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAI) \Rightarrow BC \bot KI\)
Vậy \(KI = \frac{{3a}}{4}\) là khoảng cách giữa SA và BC.
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{a^2}\sin {60^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4};AI = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Đặt \(SO = h\). Ta có \(SA = \sqrt {S{O^2} + A{O^2}} = \sqrt {{h^2} + {{\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{3}} \)
Tam giác SAO đồng dạng với tam giác IAK nên:
\(\frac{{SO}}{{IK}} = \frac{{SA}}{{IA}} \Rightarrow SO.IA = IK.SA \Leftrightarrow h\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{3}} \Leftrightarrow h = a.\)
Thể tích khối chóp S.ABC là \(V = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SO = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)