Câu 1:
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay phần mặt phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=x^2\) và \(y = \sqrt x\) quanh trục Ox.
A. \(V = \frac{{13\pi }}{5}\)
B. \(V = \frac{{13\pi }}{15}\)
C. \(V = \frac{{3\pi }}{10}\)
D. \(V = \frac{{3\pi }}{5}\)
Câu 2:
Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức \(v(t) = 3t + 2\), thời gian được tính theo đơn vị giây, quãng đường đi được tính theo đơn vị met. Tại thời điểm t=2s thì vật đi được quãng đường 10m. Hỏi tại thời điểm t=30s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?
A. 1410 m
B. 1140 m
C. 300 m
D. 240 m
Câu 3:
Cho hình phẳng trong hình bên (phần tô đậm) quay quanh trục hoành, thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào sau đây?
A. \(V = \int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx}\)
B. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx}\)
C. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right]dx}\)
D. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{g^2}(x) - {f^2}(x)} \right]dx}\)
Câu 4:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;x = 1\).
A. \(S = \frac{7}{3}\)
B. \(S = \frac{8}{5}\)
C. \(S = \frac{{38}}{{15}}\)
D. \(S = \frac{{64}}{{25}}\)
Câu 5:
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = \frac{{{x^3}}}{3} và \(y = {x^2}\) quanh trục hoành.
A. \(V = \frac{{436}}{{35}}\pi\)
B. \(V = \frac{{468}}{{35}}\pi\)
C. \(V = \frac{{486}}{{35}}\pi\)
D. \(V = \frac{{9\pi }}{2}\)
Câu 6:
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x\), trục Ox và hai đường thẳng x=1, x=3 quanh trục Ox.
A. \(V = \frac{{32}}{5}\)
B. \(V = \frac{{32\pi }}{5}\)
C. \(V = \frac{10}{3}\)
D. \(V = \frac{10\pi}{3}\)
Câu 7:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^4} - x\), đường thẳng x=2, trục tung và trục hoành.
A. \(S = \frac{{22}}{5}\pi\)
B. \(S = \frac{{344}}{9}\pi\)
C. \(S = 5\)
D. \(S = \frac{{44}}{5}\)
Câu 8:
Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc với bán kính và cách tâm 3dm như hình vẽ. Tính thể tích V của vật thể thu được.
A. \(V = 132\pi\)
B. \(V=41\pi\)
C. \(V = \frac{100}{3}\pi\)
D. \(V = 43\pi\)
Câu 9:
Cho hình thang cong trong hình bên (phần tô đậm) quay quanh trục hoành, thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào sau đây?
A. \(V = \int\limits_a^b {f(x)dx}\)
B. \(V = \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx}\)
C. \(V = \pi \int\limits_a^b {f(x)dx}\)
D. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx}\)
Câu 10:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) và các trục Ox, Oy.
A. \(S = 3\ln \frac{2}{3} - 1\)
B. \(S = 3\ln \frac{2}{3} + 1\)
C. \(S = \ln \frac{2}{3} - 1\)
D. \(S = 2\ln \frac{2}{3} - 1\)
Câu 11:
Với giá trị nào của m thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - {x^2} + 2x và (d):y = mx\left( {m < 0} \right) bằng 27 đơn vị diện tích.
A. m=-1
B. m=-2
C. \(m \in \emptyset\)
D. \(m \in\mathbb{R}\)
Câu 13:
Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^3\) và các đường thẳng \(y=-x,x=1\).
A. S=4
B. \(S = \frac{3}{4}\)
C. \(S = \frac{1}{4}\)
D. S=1
Câu 14:
Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=1-x^2 và đường thẳng y=0 quanh trục Ox.
A. \(V = \frac{{16}}{{15}}\)
B. \(V = \frac{{4}}{{3}}\)
C. \(V = \frac{{16}}{{15}}\pi\)
D. \(V = \frac{{4}}{{3}}\pi\)
Câu 15:
Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(x = 0;y = {e^x};x = 1.\)
A. \(S = e - 1\)
B. \(S = \frac{1}{2}e + \frac{1}{2}\)
C. \(S = \frac{3}{2}e - \frac{1}{2}\)
D. \(S = 2{\rm{e}} - 3\)
Câu 16:
Tính diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x.\)
A. \(S = \frac{1}{{16}}\)
B. \(S = \frac{1}{{12}}\)
C. \(S = \frac{1}{{8}}\)
D. \(S = \frac{1}{{4}}\)
Câu 17:
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{{1 + \sqrt {4 - 3{\rm{x}}} }},y = 0,x = 0,x = 1\) quay quanh trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.
A. \(V = \frac{\pi }{6}\left( {4\ln \frac{3}{2} - 1} \right)\)
B. \(V = \frac{\pi }{4}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right)\)
C. \(V = \frac{\pi }{6}\left( {9\ln \frac{3}{2} - 1} \right)\)
D. \(V = \frac{\pi }{9}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right)\)
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay phần mặt phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=x^2\) và \(y = \sqrt x\) quanh trục Ox.
A. \(V = \frac{{13\pi }}{5}\)
B. \(V = \frac{{13\pi }}{15}\)
C. \(V = \frac{{3\pi }}{10}\)
D. \(V = \frac{{3\pi }}{5}\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có \({x^2} = \sqrt x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\) .
Ta thấy trên (0;1) thì \(\sqrt x \ge x\).
Nên \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^4}} \right)dx} = \pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right.\) \(= \pi \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\pi\)
Ta thấy trên (0;1) thì \(\sqrt x \ge x\).
Nên \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^4}} \right)dx} = \pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right.\) \(= \pi \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\pi\)
Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức \(v(t) = 3t + 2\), thời gian được tính theo đơn vị giây, quãng đường đi được tính theo đơn vị met. Tại thời điểm t=2s thì vật đi được quãng đường 10m. Hỏi tại thời điểm t=30s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?
A. 1410 m
B. 1140 m
C. 300 m
D. 240 m
Ta có:
\(\begin{array}{l} s(t) = \int {v(t) = \int {(3 + 2t)dt = \frac{3}{2}{t^2} + 2t + C} } \\ s(2) = 10 \Rightarrow C = 0\\ \Rightarrow s(30) = 1410 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} s(t) = \int {v(t) = \int {(3 + 2t)dt = \frac{3}{2}{t^2} + 2t + C} } \\ s(2) = 10 \Rightarrow C = 0\\ \Rightarrow s(30) = 1410 \end{array}\)
Cho hình phẳng trong hình bên (phần tô đậm) quay quanh trục hoành, thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào sau đây?
A. \(V = \int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx}\)
B. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx}\)
C. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right]dx}\)
D. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{g^2}(x) - {f^2}(x)} \right]dx}\)
Từ hình vẽ ta thấy trong đoạn [a;b]: \(f(x) > g(x) > 0\) nên \({f^2}(x) > {g^2}(x)\).
Vậy: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right]dx}\) .
Vậy: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right]dx}\) .
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;x = 1\).
A. \(S = \frac{7}{3}\)
B. \(S = \frac{8}{5}\)
C. \(S = \frac{{38}}{{15}}\)
D. \(S = \frac{{64}}{{25}}\)
Ta có: \(f\left( x \right) = {x^4} - 5{x^2} + 4 > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;1} \right)\).
Suy ra:
\(\begin{array}{l} S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right)} dx\\ = \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{5}{3}{x^3} + 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array} = \frac{{38}}{{15}}} \right. \end{array}\)
Suy ra:
\(\begin{array}{l} S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right)} dx\\ = \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{5}{3}{x^3} + 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array} = \frac{{38}}{{15}}} \right. \end{array}\)
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = \frac{{{x^3}}}{3} và \(y = {x^2}\) quanh trục hoành.
A. \(V = \frac{{436}}{{35}}\pi\)
B. \(V = \frac{{468}}{{35}}\pi\)
C. \(V = \frac{{486}}{{35}}\pi\)
D. \(V = \frac{{9\pi }}{2}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3}\) và đồ thị hàm số \(y = x^2\) là:
\(\frac{{{x^3}}}{3} = {x^2} \Leftrightarrow {x^2}(3 - x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 3 \end{array} \right.\)
Ta có: \({x^2} \ge \frac{{{x^3}}}{3},\forall x\left[ {0;3} \right]\)
Suy ra: \(V = \pi \int\limits_0^3 {\left( {{x^4} - \frac{{{x^6}}}{9}} \right)} dx = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{x^7}}}{{63}}} \right)} \right|_0^3 = \frac{{486\pi }}{{35}}\)
\(\frac{{{x^3}}}{3} = {x^2} \Leftrightarrow {x^2}(3 - x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 3 \end{array} \right.\)
Ta có: \({x^2} \ge \frac{{{x^3}}}{3},\forall x\left[ {0;3} \right]\)
Suy ra: \(V = \pi \int\limits_0^3 {\left( {{x^4} - \frac{{{x^6}}}{9}} \right)} dx = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{x^7}}}{{63}}} \right)} \right|_0^3 = \frac{{486\pi }}{{35}}\)
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x\), trục Ox và hai đường thẳng x=1, x=3 quanh trục Ox.
A. \(V = \frac{{32}}{5}\)
B. \(V = \frac{{32\pi }}{5}\)
C. \(V = \frac{10}{3}\)
D. \(V = \frac{10\pi}{3}\)
Thể tích của khối tròn xoay là: \(V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {{x^2} - 3x} \right)}^2}dx = \frac{{32\pi }}{5}}\)
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^4} - x\), đường thẳng x=2, trục tung và trục hoành.
A. \(S = \frac{{22}}{5}\pi\)
B. \(S = \frac{{344}}{9}\pi\)
C. \(S = 5\)
D. \(S = \frac{{44}}{5}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=x^4-x\) và trục hoành là:
\({x^4} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\)
Vậy ta có:
\(\begin{array}{l} S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^4} - x} \right|dx = \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - x} \right|dx + } } \int\limits_1^2 {\left| {{x^4} - x} \right|dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^4} - x} \right)dx} = 5 \end{array}\)
\({x^4} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\)
Vậy ta có:
\(\begin{array}{l} S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^4} - x} \right|dx = \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - x} \right|dx + } } \int\limits_1^2 {\left| {{x^4} - x} \right|dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^4} - x} \right)dx} = 5 \end{array}\)
Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc với bán kính và cách tâm 3dm như hình vẽ. Tính thể tích V của vật thể thu được.
A. \(V = 132\pi\)
B. \(V=41\pi\)
C. \(V = \frac{100}{3}\pi\)
D. \(V = 43\pi\)
Đặt hệ trục tọa độ tâm O là tâm của mặt cầu, đường thẳng đứng là trục Ox, đường ngang là trục Oy.
Khi đó: đường tròn lớn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 25.\)
Bài toán trở thành tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi Ox, đường cong \(y = \sqrt {25 - {x^2}}\), đường thẳng x=3 và x=-3 quay quanh trục Ox.
Vậy: \(V = \pi \int\limits_{ - 3}^3 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx = 132\pi }\)
Khi đó: đường tròn lớn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 25.\)
Bài toán trở thành tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi Ox, đường cong \(y = \sqrt {25 - {x^2}}\), đường thẳng x=3 và x=-3 quay quanh trục Ox.
Vậy: \(V = \pi \int\limits_{ - 3}^3 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx = 132\pi }\)
Cho hình thang cong trong hình bên (phần tô đậm) quay quanh trục hoành, thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào sau đây?
A. \(V = \int\limits_a^b {f(x)dx}\)
B. \(V = \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx}\)
C. \(V = \pi \int\limits_a^b {f(x)dx}\)
D. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx}\)
Chọn D.
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) và các trục Ox, Oy.
A. \(S = 3\ln \frac{2}{3} - 1\)
B. \(S = 3\ln \frac{2}{3} + 1\)
C. \(S = \ln \frac{2}{3} - 1\)
D. \(S = 2\ln \frac{2}{3} - 1\)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=-1
Do đó: \(S = \int_{ - 1}^0 {\left| {\frac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|dx}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} S = \int_{ - 1}^0 {\left| {\frac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|dx = \left| {\int_{ - 1}^0 {\left( {1 + \frac{3}{{x - 2}}} \right)dx} } \right|} \\ = \left| {\left( {x + 3\ln \left| {x - 2} \right|_{ - 1}^0} \right)} \right| = \left| {1 + 3\ln \frac{2}{3}} \right| = 3\ln \frac{3}{2} - 1 \end{array}\)
Do đó: \(S = \int_{ - 1}^0 {\left| {\frac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|dx}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} S = \int_{ - 1}^0 {\left| {\frac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|dx = \left| {\int_{ - 1}^0 {\left( {1 + \frac{3}{{x - 2}}} \right)dx} } \right|} \\ = \left| {\left( {x + 3\ln \left| {x - 2} \right|_{ - 1}^0} \right)} \right| = \left| {1 + 3\ln \frac{2}{3}} \right| = 3\ln \frac{3}{2} - 1 \end{array}\)
Với giá trị nào của m thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - {x^2} + 2x và (d):y = mx\left( {m < 0} \right) bằng 27 đơn vị diện tích.
A. m=-1
B. m=-2
C. \(m \in \emptyset\)
D. \(m \in\mathbb{R}\)
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l} - {x^2} + 2x = mx \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2 - m} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 - m > 0 \end{array} \right.\\ S = \int_0^{2 - m} {\left| { - {x^2} + 2x - mx} \right|} dx = \int_0^{2 - m} {\left( { - {x^2} + 2x - mx} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - \frac{{m{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{2 - m}\\ = - {m^3} + 6{m^2} - 12m + 8 = 27 \end{array}\)Do đó m=-1.
Do đó .
\(\begin{array}{l} - {x^2} + 2x = mx \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2 - m} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 - m > 0 \end{array} \right.\\ S = \int_0^{2 - m} {\left| { - {x^2} + 2x - mx} \right|} dx = \int_0^{2 - m} {\left( { - {x^2} + 2x - mx} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - \frac{{m{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{2 - m}\\ = - {m^3} + 6{m^2} - 12m + 8 = 27 \end{array}\)Do đó m=-1.
Do đó .
Tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^3\) và các đường thẳng \(y=-x,x=1\).
A. S=4
B. \(S = \frac{3}{4}\)
C. \(S = \frac{1}{4}\)
D. S=1
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=x^3\) và đường thẳng \(y=-x\) là:
\({x^3} + x = 0 \Rightarrow x = 0\)
Vậy diện tích hình phẳng là:
\(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} + x} \right|dx = \int\limits_0^1 {{x^3} + xdx = \left( {\left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^1 + \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1} \right) = \frac{3}{4}} }\)
\({x^3} + x = 0 \Rightarrow x = 0\)
Vậy diện tích hình phẳng là:
\(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} + x} \right|dx = \int\limits_0^1 {{x^3} + xdx = \left( {\left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^1 + \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1} \right) = \frac{3}{4}} }\)
Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=1-x^2 và đường thẳng y=0 quanh trục Ox.
A. \(V = \frac{{16}}{{15}}\)
B. \(V = \frac{{4}}{{3}}\)
C. \(V = \frac{{16}}{{15}}\pi\)
D. \(V = \frac{{4}}{{3}}\pi\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=1-x^2\) và đường thẳng y=0 là:
\(1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {f{{(x)}^2}dx = \pi } \int\limits_{ - 1}^1 {{{(1 - {x^2})}^2}dx = \pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{2{x^3}}}{3} + x} \right)} _{ - 1}^1 = \frac{{16}}{{15}}\pi\)
\(1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {f{{(x)}^2}dx = \pi } \int\limits_{ - 1}^1 {{{(1 - {x^2})}^2}dx = \pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{2{x^3}}}{3} + x} \right)} _{ - 1}^1 = \frac{{16}}{{15}}\pi\)
Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(x = 0;y = {e^x};x = 1.\)
A. \(S = e - 1\)
B. \(S = \frac{1}{2}e + \frac{1}{2}\)
C. \(S = \frac{3}{2}e - \frac{1}{2}\)
D. \(S = 2{\rm{e}} - 3\)
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có \(S = \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = e - 1.\)
Tính diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x.\)
A. \(S = \frac{1}{{16}}\)
B. \(S = \frac{1}{{12}}\)
C. \(S = \frac{1}{{8}}\)
D. \(S = \frac{1}{{4}}\)
Phương trình hoành độ giao điểm \({x^3} - x = {x^2} - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Vậy \({S_{HP}} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {({x^2} - {x^3})dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{{12}}\)
Vậy \({S_{HP}} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {({x^2} - {x^3})dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{{12}}\)
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{{1 + \sqrt {4 - 3{\rm{x}}} }},y = 0,x = 0,x = 1\) quay quanh trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.
A. \(V = \frac{\pi }{6}\left( {4\ln \frac{3}{2} - 1} \right)\)
B. \(V = \frac{\pi }{4}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right)\)
C. \(V = \frac{\pi }{6}\left( {9\ln \frac{3}{2} - 1} \right)\)
D. \(V = \frac{\pi }{9}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right)\)
Thể tích cần tìm: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{{\left( {1 + \sqrt {4 - 3x} } \right)}^2}}}}\)
Đặt \(t = \sqrt {4 - 3x} \Rightarrow dt = - \frac{3}{{2\sqrt {4 - 3x} }}dx \Leftrightarrow dx = - \frac{2}{3}tdt\left( {x = 0 \Rightarrow t = 2;x = 1 \Rightarrow t = 1} \right)\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} V = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\frac{t}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}dt} = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{1 + t}} - \frac{1}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}} \right)dt} \\ = \left. {\frac{{2\pi }}{3}\left( {\ln \left| {1 + t} \right| + \frac{1}{{1 + t}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{\pi }{9}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right). \end{array}\)
Đặt \(t = \sqrt {4 - 3x} \Rightarrow dt = - \frac{3}{{2\sqrt {4 - 3x} }}dx \Leftrightarrow dx = - \frac{2}{3}tdt\left( {x = 0 \Rightarrow t = 2;x = 1 \Rightarrow t = 1} \right)\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} V = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\frac{t}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}dt} = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{1 + t}} - \frac{1}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}} \right)dt} \\ = \left. {\frac{{2\pi }}{3}\left( {\ln \left| {1 + t} \right| + \frac{1}{{1 + t}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{\pi }{9}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right). \end{array}\)