Phương trình: $\sin 3x\left( {\cos x - 2\sin 3x} \right) + \cos 3x\left( {1 + \sin x - 2\cos 3x} \right) = 0$ có nghiệm là:
A. $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $.
B. $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}$.
C. $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi $.
D. Vô nghiệm.
A. $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $.
B. $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}$.
C. $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi $.
D. Vô nghiệm.
Chọn D
$\sin 3x\left( {\cos x - 2\sin 3x} \right) + \cos 3x\left( {1 + \sin x - 2\cos 3x} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \sin 3x.\cos x - 2{\sin ^2}3x + \cos 3x + \cos 3x.\sin x - 2{\cos ^2}3x = 0$.
$ \Leftrightarrow \left( {\sin 3x.\cos x + \cos 3x.\sin x} \right) + \cos 3x - 2\left( {{{\sin }^2}3x + {{\cos }^2}3x} \right) = 0$.
$ \Leftrightarrow \sin 4x + \cos 3x = 2$.
Do $\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le \sin 4x \le 1\\ - 1 \le \cos 3x \le 1\end{array} \right.$, nên $\sin 4x + \cos 3x \le 2$.
Dấu xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin 4x = 1\\\cos 3x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\3x = l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{{l2\pi }}{3}\end{array} \right.$, $k,\,l\, \in \mathbb{Z}$.
Ta có $\frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2} = \frac{{l2\pi }}{3}\,\left( {\forall k,l \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow l = \frac{{3 + 12k}}{{16}}$ vô lý do $l = \frac{{3 + 12k}}{{16}} \notin \mathbb{Z}$.
Nên phương trình đã cho vô nghiệm.
$\sin 3x\left( {\cos x - 2\sin 3x} \right) + \cos 3x\left( {1 + \sin x - 2\cos 3x} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \sin 3x.\cos x - 2{\sin ^2}3x + \cos 3x + \cos 3x.\sin x - 2{\cos ^2}3x = 0$.
$ \Leftrightarrow \left( {\sin 3x.\cos x + \cos 3x.\sin x} \right) + \cos 3x - 2\left( {{{\sin }^2}3x + {{\cos }^2}3x} \right) = 0$.
$ \Leftrightarrow \sin 4x + \cos 3x = 2$.
Do $\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le \sin 4x \le 1\\ - 1 \le \cos 3x \le 1\end{array} \right.$, nên $\sin 4x + \cos 3x \le 2$.
Dấu xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin 4x = 1\\\cos 3x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\3x = l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{{l2\pi }}{3}\end{array} \right.$, $k,\,l\, \in \mathbb{Z}$.
Ta có $\frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2} = \frac{{l2\pi }}{3}\,\left( {\forall k,l \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow l = \frac{{3 + 12k}}{{16}}$ vô lý do $l = \frac{{3 + 12k}}{{16}} \notin \mathbb{Z}$.
Nên phương trình đã cho vô nghiệm.