Để phương trình: $4\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = {a^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x$ có nghiệm, tham số a phải thỏa điều kiện:
A. $ - 1 \le a \le 1$.
B. $ - 2 \le a \le 2$.
C. $ - \frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{2}$.
D. $ - 3 \le a \le 3$.
A. $ - 1 \le a \le 1$.
B. $ - 2 \le a \le 2$.
C. $ - \frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{2}$.
D. $ - 3 \le a \le 3$.
Chọn B
Phương trình $ \Leftrightarrow $ $4\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = {a^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x$
$ \Leftrightarrow 2\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)} \right] = {a^2} + 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x} \right)$
$ \Leftrightarrow 2\left[ {1 + \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)} \right] = {a^2} + 2\left( {\cos \frac{\pi }{6}.\sin 2x - \sin \frac{\pi }{6}.\cos 2x} \right)$$ \Leftrightarrow 2 + 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = {a^2} + 2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)$
$ \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) - \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}{a^2} - 1 \Leftrightarrow 2\cos 2x.\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}{a^2} - 1$$ \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}{a^2} - 1$
Vì $ - 1 \le \cos 2x \le 1$ nên $ - 1 \le \frac{1}{2}{a^2} - 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{2}{a^2} \le 2 \Leftrightarrow 0 \le {a^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le a \le 2$.
CÁCH KHÁC:
Chọn $a = - 3 \in \left[ { - 3;3} \right]$ của đáp án D.
Ta thấy phương trình $4\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 9 + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x$ không có nghiệm qua chức năng giải nhanh SOLVE của máy tính cầm tay.
Chọn $a = - 2 \in \left[ { - 2;2} \right]$ của đáp án B.
Ta thấy phương trình $4\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 4 + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x$ có nghiệm qua chức năng giải nhanh SOLVE của máy tính cầm tay. Vậy đáp án B đúng.
Phương trình $ \Leftrightarrow $ $4\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = {a^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x$
$ \Leftrightarrow 2\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)} \right] = {a^2} + 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x} \right)$
$ \Leftrightarrow 2\left[ {1 + \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)} \right] = {a^2} + 2\left( {\cos \frac{\pi }{6}.\sin 2x - \sin \frac{\pi }{6}.\cos 2x} \right)$$ \Leftrightarrow 2 + 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = {a^2} + 2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)$
$ \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) - \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}{a^2} - 1 \Leftrightarrow 2\cos 2x.\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}{a^2} - 1$$ \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}{a^2} - 1$
Vì $ - 1 \le \cos 2x \le 1$ nên $ - 1 \le \frac{1}{2}{a^2} - 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{2}{a^2} \le 2 \Leftrightarrow 0 \le {a^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le a \le 2$.
CÁCH KHÁC:
Chọn $a = - 3 \in \left[ { - 3;3} \right]$ của đáp án D.
Ta thấy phương trình $4\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 9 + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x$ không có nghiệm qua chức năng giải nhanh SOLVE của máy tính cầm tay.
Chọn $a = - 2 \in \left[ { - 2;2} \right]$ của đáp án B.
Ta thấy phương trình $4\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 4 + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x$ có nghiệm qua chức năng giải nhanh SOLVE của máy tính cầm tay. Vậy đáp án B đúng.