Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\sin x + \sin 2x = \cos x + 2{\cos ^2}x$ là :
A. $\frac{\pi }{6}$.
B. $\frac{{2\pi }}{3}$.
C. $\frac{\pi }{4}$.
D. $\frac{\pi }{3}$.
A. $\frac{\pi }{6}$.
B. $\frac{{2\pi }}{3}$.
C. $\frac{\pi }{4}$.
D. $\frac{\pi }{3}$.
Chọn C
Ta có :$\sin x + \sin 2x = \cos x + 2{\cos ^2}x$
$ \Leftrightarrow \sin x\left( {1 + 2\cos x} \right) - \cos x\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \cos x}\\{\cos x = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\tan x = 1}\\{\cos x = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right.$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là $x = \frac{\pi }{4}$.
Ta có :$\sin x + \sin 2x = \cos x + 2{\cos ^2}x$
$ \Leftrightarrow \sin x\left( {1 + 2\cos x} \right) - \cos x\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \cos x}\\{\cos x = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\tan x = 1}\\{\cos x = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right.$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là $x = \frac{\pi }{4}$.