Để phương trình $\frac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}$ có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
A. $\left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| > 1\\\left| a \right| \ne \sqrt 3 \end{array} \right.$
B. $\left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| > 2\\\left| a \right| \ne \sqrt 3 \end{array} \right.$
C. $\left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| > 3\\\left| a \right| \ne \sqrt 3 \end{array} \right.$
D. $\left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| > 4\\\left| a \right| \ne \sqrt 3 \end{array} \right.$
A. $\left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| > 1\\\left| a \right| \ne \sqrt 3 \end{array} \right.$
B. $\left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| > 2\\\left| a \right| \ne \sqrt 3 \end{array} \right.$
C. $\left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| > 3\\\left| a \right| \ne \sqrt 3 \end{array} \right.$
D. $\left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| > 4\\\left| a \right| \ne \sqrt 3 \end{array} \right.$
Chọn A
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\tan x \ne \pm 1\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right.$ (1). Phương trình đã cho tương đương: $\frac{{{a^2}.{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}$
$ \Leftrightarrow {a^2}.{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {a^2} - 2$$ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right).{\cos ^2}x = {a^2} - 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \frac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}}$
Vì $\cos 2x \ne 0$ nên $2{\cos ^2}x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\cos ^2}x \ne \frac{1}{2}$ (2)
Do đó, theo điều kiện (1) và (2), phương trình trên có nghiệm khi
$\left\{ \begin{array}{l}0 < \frac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} \le 1\\\frac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} \ne \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| > 1\\\left| a \right| \ne \sqrt 3 \end{array} \right.$
CÁCH KHÁC:
Chọn a = 1,5 của đáp án A, ta thấy phương trình có nghiệm qua chức năng giải nhanh SOLVE của máy tính cầm tay. Vậy đáp án A đúng.
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\tan x \ne \pm 1\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right.$ (1). Phương trình đã cho tương đương: $\frac{{{a^2}.{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}$
$ \Leftrightarrow {a^2}.{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {a^2} - 2$$ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right).{\cos ^2}x = {a^2} - 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \frac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}}$
Vì $\cos 2x \ne 0$ nên $2{\cos ^2}x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\cos ^2}x \ne \frac{1}{2}$ (2)
Do đó, theo điều kiện (1) và (2), phương trình trên có nghiệm khi
$\left\{ \begin{array}{l}0 < \frac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} \le 1\\\frac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} \ne \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| > 1\\\left| a \right| \ne \sqrt 3 \end{array} \right.$
CÁCH KHÁC:
Chọn a = 1,5 của đáp án A, ta thấy phương trình có nghiệm qua chức năng giải nhanh SOLVE của máy tính cầm tay. Vậy đáp án A đúng.