Phương pháp áp dụng
Ta thực hiện theo các bước sau:
Ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x$_1$, x$_2$<=> $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right.$.
- Bước 2: Áp dụng định lí Viét, ta được:$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = f(m)\\{x_1}.{x_2} = g(m)\end{array} \right.$. (I)
- Bước 3: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I).
Thí dụ 1. Cho phương trình 3x$^2$ - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0. Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Giải
Theo định lý Viét, ta có:$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{2}{3}(m + 1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x_1}.{x_2} = \frac{{3m - 5}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$
Theo điều kiện đề bài, ta có: x$_1$ = 3x$_2$ (3)
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, điều kiện là: Δ' = (m + 1)$^2$ + 15 - 9m = m$^2$ - 7m + 16 > 0, ∀m ∈ R.
Từ (1) và (3), ta có: 4x$_2$ = $\frac{2}{3}$(m + 1) <=> x$_2$ = $\frac{{m + 1}}{6}$ (4)
Từ (3) và (4), ta có: x$_1$ = $\frac{{m + 1}}{2}$ (5)
Thay x$_1$, x$_2$ ở (5) và (4) vào (2), ta được:
$\frac{{m + 1}}{6}$.$\frac{{m + 1}}{2}$ = $\frac{{3m - 5}}{3}$ <=> (m + 1)2 = 4(3m - 5)
<=> m$^2$ - 10m + 21 = 0 <=> m = 3 ∨ m = 7.
Ta có:
- Khi m = 3 thì x$_1$ = 2 và x$_2$ = $\frac{2}{3}$.
- Khi m = 7 thì x$_1$ = 4 và x$_2$ = $\frac{4}{3}$.
a. Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu.
b. Xác định m để tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 3.
c. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x$_1$, x$_2$ thoả mãn |x$_1$-x$_2$| = 2.
Giải
a. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu là:$\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\P > 0\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}5 - 2m > 0\\\frac{{m - 2}}{{m + 2}} > 0\end{array} \right.$
<=> m ∈ (-∞; -2) ∪ (2; $\frac{5}{2}$).
Vậy, với m ∈ (-∞; -2) ∪ (2; $\frac{5}{2}$) phương trình thoả mãn điều kiện đề bài.
b. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm:
$\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right.$ <=> -2 ≠ m < $\frac{5}{2}$.
Khi đó, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2(m - 1)}}{{m + 2}}\\{x_1}.{x_2} = \frac{{m - 2}}{{m + 2}}\end{array} \right.$.
Ta có: 3 = $x_1^2$ + $x_2^2$ = (x$_1$ + x$_2$)2 – 2x$_1$x$_2$ = $\frac{{4{{(m - 1)}^2}}}{{{{(m + 2)}^2}}}$ – 2.$\frac{{m - 2}}{{m + 2}}$
<=> m$^2$ + 20m = 0 <=> m = 0 hoặc m = – 20.
Vậy, có hai giá trị của m phương trình thoả mãn điều kiện.
c. Ta có: |x$_1$-x$_2$| = 2 <=> (x$_1$-x$_2$)2 = 4 <=> (x$_1$ +x$_2$)2 – 4x$_1$x$_2$ = 4
<=> $\frac{{4{{(m - 1)}^2}}}{{{{(m + 2)}^2}}}$ – 4$\frac{{m - 2}}{{m + 2}}$ = 4 <=> 4(m – 1)2 – 4(m–2)(m + 2) = 4(m + 2)2
<=> m$^2$ + 6m – 1 = 0 <=> m = –3 ± $\sqrt {10} $.
Vậy, với m = –3 ± $\sqrt {10} $ thoả mãn đề bài.
Thí dụ 3. Tìm m để phương trình x$^2$ + 2mx + 4 = 0 có hai nghiệm x$_1$, x$_2$. Khi đó:
a. Tính theo m giá trị các biểu thức E = $\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} $, F = $\sqrt[4]{{{x_1}}} + \sqrt[4]{{{x_2}}}$.
b. Xác định m sao cho $x_1^4 + x_2^4$ ≤ 32.
c. Xác định m sao cho ${\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2}$ + ${\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2}$≥ 3.
Giải
Điều kiện để phương trình có nghiệm Δ' ≥ 0 <=> m$^2$ – 4 > 0 <=> |m| > 2. (*)Khi đó, ta có:$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m\\{x_1}.{x_2} = 4\end{array} \right.$.
a. Ta có:
E$^2$ = ${\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2}$ = x$_1$ + x$_2$ + 2$\sqrt {{x_1}{x_2}} $
= –2m + 2.2 = 4 – 2m > 0 với (*) suy ra m < -2
=> E = $\sqrt {4 - 2m} $.
F$^2$ = ${\left( {\sqrt[4]{{{x_1}}} + \sqrt[4]{{{x_2}}}} \right)^2}$ = $\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} $ + 2$\sqrt[4]{{{x_1}{x_2}}}$ = $\sqrt {4 - 2m} $ + 2$\sqrt[4]{4}$
=> F = $\sqrt {\sqrt {4 - 2m} + 2\sqrt[4]{4}} $.
b. Ta có:
$x_1^4 + x_2^4$ = ${\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2}$ – 2$x_1^2x_2^2$ = ${\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2}$ – 2$x_1^2x_2^2$
Do đó: $x_1^4 + x_2^4$ ≤ 32 <=> (m$^2$ – 2.4) – 2.4$^2$ ≤ 32 <=> m$^2$ – 40 ≤ 32
<=> m$^2$ ≤ 72 <=> |m| ≤ 6$\sqrt 2 $.
Kết hợp với điều kiện (*), ta được: $\left[ \begin{array}{l} - 6\sqrt 2 \le m < - 2\\2 < m \le 6\sqrt 2 \end{array} \right.$.
c. Ta có: ${\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2}$ + ${\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2}$
= $\frac{{x_1^2x_1^2 + x_2^2x_2^2}}{{x_1^2x_2^2}}$ = $\frac{{x_1^4 + x_2^4}}{{x_1^2x_2^2}}$.
Do đó: ${\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2}$ + ${\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2}$≥ 3
<=> $\frac{{{m^2} - 40}}{{16}}$ ≥ 3 <=> m$^2$ ≥ 88 <=> |m| ≥ $2\sqrt {22} $, thoả mãn (*).
Sửa lần cuối: