Phương pháp áp dụng
Giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được.
Giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được.
Thí dụ 1. Giải hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}4x + 3 > 0\\2{x^2} + 5x + 3 \le 0\end{array} \right.$.
Giải
Hệ bất phương trình tương đương với:$\left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{4}{3}\\ - \frac{3}{2} \le x \le - 1\end{array} \right.$⇔ -$\frac{4}{3}$ < x ≤ -1.
Vậy, tập nghiệm của hệ bất phương trình là T = (-$\frac{4}{3}$; -1].
Thí dụ 2. Xác định m sao cho với mọi x ta đều có:
9 < $\frac{{3{x^2} - mx - 6}}{{{x^2} + x + 1}}$ < 6. (*)
Giải
Vì x$^2$ + x + 1 > 0, ∀x, nên ta biến đổi tương đương về dạng:$\left\{ \begin{array}{l}12{x^2} - (m - 9)x + 3 > 0\,\,\,\,\,(1)\\3{x^2} + (m + 6)x + 12 > 0\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$.
Khi đó, để (*) đúng với mọi x điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _{(1)}} < 0\\{\Delta _{(2)}} < 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{(m - 9)^2} - 4.3.12 < 0\\{(m + 6)^2} - 4.3.12 < 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l} - 3 < m < 21\\ - 18 < m < 6\end{array} \right.$ ⇔ -3 < m < 6.
Vậy, với -3 < m < 6 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 3. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - (4m - 1)x + 3{m^2} - m = 0\,\,\,(1)\\{x^2} - 3x + 2 < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$.
Giải
Giải (2) ta được 1 < x < 2.Đặt f(x) = x$^2$ - 2(m + 2)x + 5m + 6.
Hệ có đúng một nghiệm ⇔ (1) có đúng 1 nghiệm thuộc (1; 2), ta xét:
- (1) có nghiệm kép thuộc (1; 2)⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 0\\\frac{S}{2} \in (1,2)\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 4m + 1 = 0\\1 < \frac{{4m - 1}}{2} < 2\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}m = \frac{1}{2}\\3 < 4m < 5\end{array} \right.$, vô nghiệm.
- (1) có nghiệm thoả mãn x$_1$ = 1 < x$_2$ < 2⇔ $\left\{ \begin{array}{l}f(1) = 0\\S - 1 \in (1,\,2)\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}3{m^2} - 5m + 2 = 0\\1 < 4m - 1 - 1 < 2\end{array} \right.$, vô nghiệm.
- (1) có nghiệm thoả mãn 1 < x$_1$ < 2 = x$_2$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}f(2) = 0\\S - 2 \in (1,\,2)\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}3{m^2} - 9m + 6 = 0\\1 < 4m - 1 - 2 < 2\end{array} \right.$, vô nghiệm.
- (1) có đúng một nghiệm thuộc (1, 2)⇔ f(1).f(2) < 0 ⇔ (3m$^2$ - 5m + 2)(3m$^2$ - 9m + 6) ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\frac{2}{3} < m < 2\end{array} \right.$.
Chú ý: Từ việc nhận thấy Δ(1) là một số chính phương nên có thể thực hiện ví dụ theo cách:
Biến đổi hệ về dạng: $\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = m\\x = 3m - 1\end{array} \right.\\1 < x < 2\end{array} \right.$. (I)
Từ đó, hệ ban đầu có nghiệm duy nhất: ⇔ (I) có nghiệm duy nhất ⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 < m < 2\\\left[ \begin{array}{l}f(3m - 1) \ge 0\\3m - 1 = m\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 < 3m - 1 < 2\\\left[ \begin{array}{l}f(m) \ge 0\\m = 3m - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\frac{2}{3} < m < 2\end{array} \right.$.
Thí dụ 4. Cho hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x{}^3 - 3x{}^2 - 10x + 24 > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\x{}^2 + 2(m - 1)x - 2m + 1 = 0\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$.
a. Tìm m để hệ có hai nghiệm âm.
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải
Trước tiên:- Biến đổi (1) về dạng: (x - 2)(x$^2$ - x - 12) < 0 ⇔ (x - 2)(x - 4)(x + 3) < 0 ⇔ x ∈ T = (-3; 2) ∪ (4; +∞).
- Biến đổi (2) về dạng: (x - 1)(x + 2m - 1) = 0 ⇔ x$_1$ = 1 và x$_2$ = 1 - 2m.
b. Để hệ có nghiệm duy nhất điều kiện là: x$_2$ ∉ T ⇔ $\left[ \begin{array}{l}1 - 2m \le - 3\\2 \le 1 - 2m \le 4\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\ - \frac{3}{2} \le m \le - \frac{1}{2}\end{array} \right.$.
Thí dụ 5. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l}x{}^2 - 3x - 10 \le 0\\mx + m - 2 > 0\end{array} \right.$.
Giải
Kí hiệu các bất phương trình trong hệ theo thứ tự là (1) và (2).Giải (1) ta được -5 ≤ x ≤ 2.
Xét các trường hợp:
- Trường hợp 1: Nếu m < 0 thì nghiệm của (2) là x < $\frac{{2 - m}}{m}$. Khi đó, điều kiện để hệ có nghiệm là: -5 ≤ $\frac{{2 - m}}{m}$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{m < 0} $ -5m ≥ 2 - m ⇔ m ≤ -$\frac{1}{2}$.
- Trường hợp 2: Nếu m = 0 thì (2) có dạng -2 > 0, mâu thuẫn.
- Trường hợp 3: Nếu m > 0 thì nghiệm của (2) là x > $\frac{{2 - m}}{m}$.
Vậy, với m ≤ -$\frac{1}{2}$ hoặc m ≥ $\frac{2}{3}$ hệ có nghiệm.
Xem bản đầy đủ: Bất phương trình và bất đẳng thức
Sửa lần cuối: