Phương pháp thực hiện
1. Để xét vị trí tương đối của điểm với đường tròn, ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Xác định phương tích của M đối với đường tròn (C) là P$_{M/(C)}$.
Bước 2: Kết luận:
Cách 1: Tính khoảng cách h từ I tới (d), rồi so sánh với bán kính R của đường tròn, ta được:
3. Để xét vị trí tương đối của hai đường tròn, ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Tính khoảng cách I$_1$I$_2$ (I$_1$, I$_2$ là hai tâm của hai đường tròn), rồi so sánh với tổng và hiệu hai bán kính R$_1$, R$_2$ của hai đường tròn, ta được:
Cách 2: Xét hệ phương trình tạo bởi (C$_1$) và (C$_2$), khi đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của (C$_1$) và (C$_2$).
Nhận xét quan trọng:
1. Bằng việc xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn chúng ta có thể ứng dụng để giải các hệ đại số, dạng:
1. Để xét vị trí tương đối của điểm với đường tròn, ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Xác định phương tích của M đối với đường tròn (C) là P$_{M/(C)}$.
Bước 2: Kết luận:
- Nếu P$_{M/(C)}$ < 0 ⇔ M nằm trong đường tròn.
- Nếu P$_{M/(C)}$ = 0 ⇔ M nằm trên đường tròn.
- Nếu P$_{M/(C)}$ > 0 ⇔ M nằm ngoài đường tròn.
- Nếu M nằm trong (C) ⇒ không tồn tại tiếp tuyến của (C) đi qua M nhưng khi đó mọi đường thẳng qua M đều cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
- Nếu M nằm trên (C) ⇒ tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến của (C) đi qua M (phương trình tiếp tuyến có được bằng phương pháp phân đôi toạ độ).
- Nếu M nằm ngoài (C) ⇒ tồn tại hai tiếp tuyến của (C) đi qua M.
Cách 1: Tính khoảng cách h từ I tới (d), rồi so sánh với bán kính R của đường tròn, ta được:
- Nếu h > R ⇔ (d)∩(C) = {Ø}.
- Nếu h = R ⇔ (d) tiếp xúc với (C).
- Nếu h < R ⇔ (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
3. Để xét vị trí tương đối của hai đường tròn, ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Tính khoảng cách I$_1$I$_2$ (I$_1$, I$_2$ là hai tâm của hai đường tròn), rồi so sánh với tổng và hiệu hai bán kính R$_1$, R$_2$ của hai đường tròn, ta được:
- Nếu I$_1$I$_2$ > R$_1$ + R$_2$ ⇔ (C$_1$) và (C$_2$) không cắt nhau và ở ngoài nhau.
- Nếu I$_1$I$_2$ < |R$_1$ - R$_2$| ⇔ (C$_1$) và (C$_2$) không cắt nhau và nồng nhau.
- Nếu I$_1$I$_2$ = R$_1$ + R$_2$ ⇔ (C$_1$) và (C$_2$) tiếp xúc ngoài với nhau.
- Nếu I$_1$I$_2$ = |R$_1$ - R$_2$| ⇔ (C$_1$) và (C$_2$) tiếp xúc trong với nhau.
- Nếu |R$_1$ - R$_2$| < I$_1$I$_2$ < R$_1$ + R$_2$ ⇔ (C$_1$) và (C$_2$) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Cách 2: Xét hệ phương trình tạo bởi (C$_1$) và (C$_2$), khi đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của (C$_1$) và (C$_2$).
Nhận xét quan trọng:
1. Bằng việc xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn chúng ta có thể ứng dụng để giải các hệ đại số, dạng:
- Bài toán 1: Giải và biện luận hệ: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2a(m)x - 2b(m)x + c(m) = 0\\Ax + By + C = 0\end{array} \right.$.
- Bài toán 2: Giải và biện luận hệ: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2a(m)x - 2b(m)x + c(m) \ge 0\\Ax + By + C \ge 0\end{array} \right.$.
- Bài toán 1: Giải và biện luận hệ: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2{a_1}(m)x - 2{b_1}(m)x + {c_1}(m) = 0\\{x^2} + {y^2} - 2{a_2}(m)x - 2{b_2}(m)x + {c_2}(m) = 0\end{array} \right.$
- Bài toán 2: Giải và biện luận hệ: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2{a_1}(m)x - 2{b_1}(m)x + {c_1}(m) \le 0\\{x^2} + {y^2} - 2{a_2}(m)x - 2{b_2}(m)x + {c_2}(m) \le 0\end{array} \right.$
Thí dụ 1. Cho điểm M(6; 2) và đường tròn (C) có phương trình: (C): x$^2$ + y$^2$ - 2x - 2y + 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho:
a. AB = $\sqrt 2 $.
b. AB = 2.
Giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 1.a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB, ta có:
Đường thẳng (d) đi qua M có dạng ( d ): A(x - 6) + B(y - 2) = 0⇔ (d): Ax + By - 6A - 2B = 0.
Đường thẳng (d) thoả mãn điều kiện đầu bài khi và chỉ khi: d(I, (d)) = IH ⇔ $\frac{{|A + B - 6A - 2B|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$ = $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ ⇔ 50A$^2$ + 10AB + B$^2$ = 0. (1)
Giải phương trình (1) bằng cách đặt t = \(\frac{A}{B}\) ta tìm được mối liên hệ giữa A và B. Từ đó, thấy tồn tại hai đường thẳng (d1), (d2) thoả mãn điều kiện đầu bài.
b. Vì (d) đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho: AB = 2 = 2R
⇔ (d2): $\left\{ \begin{array}{l}qua\,M(6;\,2)\\qua\,tam\,I(1;\,1)\end{array} \right.$ ⇔ (d): $\frac{{x - 1}}{{6 - 1}}$ = $\frac{{y - 1}}{{2 - 1}}$ ⇔ (d): x - 5y + 4 = 0.
Thí dụ 2. Cho đường thẳng (d) và đường tròn (C) có phương trình: (d): x + y - 1 = 0 và (C): x$^2$ + y$^2$ - 1 = 0.
a. Chứng tỏ rằng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
b. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (Δ): 2x - y - 2 = 0.
Giải
a. Đường tròn (C) có tâm O(0, 0) và bán kính R = 1.Ta có: d(O, (d)) = $\frac{{| - 1|}}{{\sqrt {1 + 1} }}$ = $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$ < R
Vậy (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
b. Đường tròn (S) đi qua các giao điểm của (d) và (C), có dạng (S): x$^2$ + y$^2$ - 1 + m(x + y - 1) = 0 ⇔ (S): x$^2$ + y$^2$ + mx + my - 1 - m = 0 (1)
suy ra tâm I(-$\frac{m}{2}$, -$\frac{m}{2}$). (S) tiếp xúc với (Δ)
⇔ d(I, (Δ)) = R ⇔ $\frac{{|2( - \frac{m}{2}) + \frac{m}{2} - 2|}}{{\sqrt {4 + 1} }}$ = $\sqrt {\frac{{{m^2}}}{2} + m + 1} $ ⇔ m = -$\frac{2}{3}$.
Thay m = -$\frac{2}{3}$ vào (1) ta được (S): x2 + y2 - $\frac{2}{3}$x - $\frac{2}{3}$y - $\frac{1}{3}$ = 0.
Thí dụ 3. Cho hai đường tròn
(C$_1$): x$^2$ + y$^2$ - 2x + 4y - 4 = 0,
(C$_2$): x$^2$ + y$^2$ + 2x - 2y - 14 = 0.
a. Chứng minh rằng hai đường tròn (C$_1$) và (C$_2$) cắt nhau.
b. Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (C$_1$), (C$_2$) và qua điểm M(3, 0).
Giải
a. Ta có :- Đường tròn (C$_1$) có tâm I$_1$(1, -2) và bán kính R$_1$ = 3.
- Đường tròn (C$_2$) có tâm I$_2$( - 1, 1) và bán kính R$_2$ = 4.
I$_1$I$_2$ = $\sqrt {{{(1 + 1)}^2} + {{( - 2 - 1)}^2}} $ = $\sqrt {13} $,
|R$_1$ - R$_2$| = 0 < I$_1$I$_2$ < 2 = R$_1$ + R$_2$ ⇔ (C$_1$)∩(C$_2$) = {A, B}.
b. Đường tròn (S) đi qua các giao điểm của (C$_1$) và (C$_2$), có dạng: (S): λ(x$^2$ + y$^2$ + 2x - 2y - 14) + μ(x$^2$ + y$^2$ - 2x + 4y - 4) = 0
⇔ (S): (λ + μ)x$^2$ + (λ + μ)y$^2$ - 2(μ - λ)x - 2(λ - 2μ)y - 14λ - 4μ = 0 (1)
Điểm M(3, 0)∈(S) : 9(λ + μ) - 3(μ - λ) - 14λ - 4μ = 0 ⇔ λ = μ
Thay λ = μ vào (1) ta được (S): x$^2$ + y$^2$ + y - 9 = 0.
Thí dụ 4. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - x = 0\\x + ay - a = 0\end{array} \right.$
a. Tìm a để hệ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b. Gọi (x$_1$, y$_1$), (x$_2$, y$_2$) là các nghiệm của hệ đã cho. Chứng minh rằng (x$_2$ - x$_1$)$^2$+ (y$_2$ - y$_1$)$^2$≤ 1.
Giải
Viết lại hệ dưới dạng: $\left\{ \begin{array}{l}{(x - \frac{1}{2})^2} + {y^2} = \frac{1}{4}\,\,\,\,(1)\\x + ay - a = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$- Phương trình (1) là đường tròn (C) có tâm I($\frac{1}{2}$, 0), bán kính R = $\frac{1}{2}$.
- Phương trình (2) là đường thằng (d).
b. Với 0 < a < $\frac{4}{3}$, (d)∩(C) = {A, B} có toạ độ là A(x$_1$, y$_1$), B(x$_2$, y$_2$).
Ta có: AB ≤ 2R ⇔AB$^2$ ≤ 4R$^2$ ⇔ (x$_2$ - x$_1$)$^2$+ (y$_2$ - y$_1$)$^2$≤ 1, đpcm.
Sửa lần cuối: