Phương pháp áp dụng
Phương pháp chung để giải và biện luận hệ đối xứng loại II bao gồm các bước:
Bước 1: Trừ từng vế của hai phương trình bao giờ cũng thu được phương trình tích.
(x-y)f(x, y) = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}x = y\\f(x,y) = 0\end{array} \right.$.
Bước 2: Giải hệ cho từng trường hợp.
* Chú ý: Ngoài phương pháp chung để giải hệ đối xứng loại II được trình bày ở trên, trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng các phương pháp:
1. Phương pháp điều kiện cần và đủ: được áp dụng rất tốt cho hệ với yêu cầu "Tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất". Khi đó ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Điều kiện cần
* Nhận xét rằng, nếu hệ có nghiệm (x$_0$; y$_0$) thì (y$_0$; x$_0$) cũng là nghiệm của hê, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi:
x$_0$ = y$_0$. (**)
* Thay (**) vào hệ ta được giá trị của tham số . Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất.
Bước 2: Điều kiện đủ.
2. Phương pháp đồ thị.
Phương pháp chung để giải và biện luận hệ đối xứng loại II bao gồm các bước:
Bước 1: Trừ từng vế của hai phương trình bao giờ cũng thu được phương trình tích.
(x-y)f(x, y) = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}x = y\\f(x,y) = 0\end{array} \right.$.
Bước 2: Giải hệ cho từng trường hợp.
* Chú ý: Ngoài phương pháp chung để giải hệ đối xứng loại II được trình bày ở trên, trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng các phương pháp:
1. Phương pháp điều kiện cần và đủ: được áp dụng rất tốt cho hệ với yêu cầu "Tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất". Khi đó ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Điều kiện cần
* Nhận xét rằng, nếu hệ có nghiệm (x$_0$; y$_0$) thì (y$_0$; x$_0$) cũng là nghiệm của hê, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi:
x$_0$ = y$_0$. (**)
* Thay (**) vào hệ ta được giá trị của tham số . Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất.
Bước 2: Điều kiện đủ.
2. Phương pháp đồ thị.
Thí dụ 1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3xy = 4y\\{y^2} - 3xy = 4x\end{array} \right.$.
Giải
Trừ từng vế hệ phương trình, ta được: (x$^2$ - y$^2$) = -4(x - y) <=> (x - y)(x + y + 4) = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}x = y\\y = - 4 - x\end{array} \right.$.Ta lần lượt:
- Với x = y, hệ phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} - 3{x^2} = 4x\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + 2x = 0\end{array} \right.$ <=> $\left[ \begin{array}{l}x = y = 0\\x = y = - 2\end{array} \right.$.
- Với y = -4 - x, hệ phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l}y = - 4 - x\\{x^2} - 3x( - 4 - x) = 4( - 4 - x)\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}y = - 4 - x\\{x^2} + 4x + 4 = 0\end{array} \right.$ <=> x = y = -2.
Thí dụ 2. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}xy + {x^2} = m(y - 1)\\xy + {y^2} = m(x - 1)\end{array} \right.$.
a. Giải hệ phương trình với m = -1.
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Giải
Trừ từng vế hệ phương trình, ta được: x$^2$ - y$^2$ = -m(x - y) <=> (x - y)(x + y + m) = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}x = y\\y = - m - x\end{array} \right.$.Khi đó, hệ phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\2{x^2} - mx + m = 0\,\,\,\,\,(1)\end{array} \right.\,\,\,\,(I)$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}y = - m - x\\{m^2} + m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\,\,\,\,(II)$
a. Với m = -1, ta được:
(I) <=> $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\2{x^2} + x - 1 = 0\end{array} \right.$<=> $\left[ \begin{array}{l}x = y = - 1\\x = y = 1/2\end{array} \right.$.
(II) <=> $\left\{ \begin{array}{l}y = 1 - x\\0 = 0\end{array} \right.$ vô số nghiệm.
Vậy, với m = -1 hệ có các nghiệm là (-1; -1), ($\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$) và $\left\{ \begin{array}{l}y = 1 - x\\x\,\,t{\rm{\"i y}}\,\,{\rm{\'y }}\end{array} \right.$.
b. Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ như sau:
Điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x$_0$; y$_0$) thì cũng có nghiệm (y$_0$; x$_0$), do đó hệ có nghiệm duy nhất thì x$_0$ = y$_0$. Khi đó:
(1) <=> 2$x_0^2$ - mx$_0$ + m = 0. (3)
Do x$_0$ duy nhất nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất Δ'$_{(3)}$ = 0 <=> m$^2$ - 8m = 0 <=> m = 0 hoặc m = 8. Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất.
Điều kiện đủ: Ta lần lượt: Với m = 0, hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}xy + {x^2} = 0\\xy + {y^2} = 0\end{array} \right.$.
Ta thấy hệ có vô số nghiệm thoả mãn y = -x => loại.
Với m = 8, hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}xy + {x^2} = 8(y - 1)\\xy + {y^2} = 8(x - 1)\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}xy + {x^2} = 8(y - 1)\\\left[ \begin{array}{l}x = y\\y = - 8 - x\end{array} \right.\end{array} \right.$<=> $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = y\\2{x^2} - 8x + 8 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = - 8 - x\\72 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ <=> x = y = 2 là nghiệm duy nhất.
Vậy, với m = 8 hệ có nghiệm duy nhất.
Sửa lần cuối: