Phương pháp áp dụng
Ta thực hiện theo các bước sau:
Ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Sử dụng hai ẩn phụ x, y để:
Thiết lập các điều kiện cho bài toán, từ đó nhận được một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (gọi là (I)).
Hàm tối ưu F = f(x, y).
- Bước 2: Xác định miền đa giác A$_1$A$_2$...A$_n$ thoả mãn hệ (I).
- Bước 3: Tính các giá trị F$_1$, F$_2$, ..., F$_n$ } của hàm F tại các đỉnh A$_1$A$_2$...A$_n$.
- Bước 4: Khi đó: F$_{max}$= max{ F$_1$, F$_2$, ..., F$_n$ }. Fmin = min{ F$_1$, F$_2$, ..., F$_n$ }.
Thí dụ 1. Một xưởng sản xuất hai loại hàng. Mỗi sản phẩm loại I cần 2l nguyên liệu và 30h, đem lại lợi nhuận là 4000đ cho mỗi đơn vị. Mỗi sản phẩm loại II cần 4l nguyên liệu và 15h, đem lại lợi nhuận là 3000đ cho mỗi đơn vị. Xưởng có 200l nguyên liệu và 1200h làm việc. Hỏi sản xuất mỗi loại hàng bao nhiêu để mức lợi nhuận cao nhất.
Giải
Với hai ẩn x, y được thiết lập như sau:- x là số hàng loại I phải sản xuất.
- y là số hàng loại II phải sản xuất.
Và khi đó, mức lợi nhuận thu được là F = 4000x + 3000y.
Để giải (I) ta lần lượt vẽ các đường thẳng:
- (d$_1$): x + 2y - 100 = 0 và nhận thấy miền nghiệm của (1) là phần mặt phẳng (kể cả bờ (d1)) ở phía dưới đường thẳng (d$_1$).
- (d$_2$): 2x + y - 80 = 0 và nhận thấy miền nghiệm của (2) là phần mặt phẳng (kể cả bờ (d$_2$)) ở phía dưới đường thẳng (d$_2$).
- Miền nghiệm của (3) là phần mặt ở phía bên phải trục Oy.
- Miền nghiệm của (4) là phần mặt ở phía trên trục Ox.
Ta có:
- A(40; 0) ⇒ F$_A$ = 160000 ; B(20, 40) ⇒ F$_B$ = 200000;
- C(0; 50) ⇒ F$_C$ = 150000; O(0, 0) ⇒ F$_O$ = 0.
Vậy, để mức lợi nhuận cao nhất cần sản xuất 20 hàng loại I và 40 hàng loại II.
Thí dụ 2. Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị các sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau:
Giải
- Bạn đọc tự vẽ hìnhGọi x, y là số đơn vị sản phẩm thuộc loại I và loại II (x, y nguyên dương).
Theo đề bài, ta có:
- 2x + 2y ≤ 10 ⇔ x + y ≤ 5 (1)
- 2y ≤ 4 ⇔ y ≤ 2 (2)
- 2x + 4y ≤ 12 ⇔ x + 2y ≤ 6 (3)
- x ≥ 0 (4)
- y ≥ 0 (5)
Suy ra, 3x + 5y có giá trị:
- 10 tại đỉnh A(0; 2).
- 16 tại đỉnh B(2; -2).
- 17 tại đỉnh C(4; 1).
- 15 tại đỉnh D(5; 0).
Vậy, tổng số tiền lãi cao nhất là 17000 đồng.
Sửa lần cuối: