Thí dụ 1. Giải bất phương trình $\frac{{1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} }}{x}$ < 3. (1)
Cách 1: Thực hiện phép nhân liên hợp, ta biến đổi: (1) ⇔ $\frac{{(1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} )(1 + \sqrt {1 - 4{x^2}} )}}{x}$ < 3(1 + $\sqrt {1 - 4{x^2}} $)
⇔ 4x < 3 + 3$\sqrt {1 - 4{x^2}} $ ⇔ 3$\sqrt {1 - 4{x^2}} $ > 4x - 3
⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4x - 3 < 0\\1 - 4{x^2} \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4x - 3 \ge 0\\9(1 - 4{x^2}) > {(4x - 3)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 3/4\\|x| < 1/2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3/4\\9(1 - 4{x^2}) > {(4x - 3)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$
Với x ≠ 0 thì x ∈ [-$\frac{1}{2}$, 0) ∪ (0. $\frac{1}{2}$].
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = [-$\frac{1}{2}$; 0) ∪ (0; $\frac{1}{2}$].
Cách 2: Xét hai trường hợp dựa trên điều kiện.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = [-$\frac{1}{2}$; 0) ∪ (0; $\frac{1}{2}$].
Thí dụ 2. Giải bất phương trình (x - 1)$\sqrt {2x - 1} $ ≤ 3(x - 1).
Đặt t = $\sqrt {2x - 1} $, t ≥ 0 ⇒ x = $\frac{1}{2}$(t2 + 1).
Khi đó, bất phương trình có dạng: [$\frac{1}{2}$(t2 + 1) - 1]t ≤ 3[$\frac{1}{2}$(t2 + 1) - 1] ⇔ t$^3$ - 3t$^0$ - t + 3 ≤ 0 ⇔ (t + 1)(t - 1)(t - 3) ≤ 0
⇔ 1 ≤ t ≤ 3 ⇔ 1 ≤ $\sqrt {2x - 1} $ ≤ 3 ⇔ 1 ≤ x ≤ 5 thoả mãn (*).
Vậy, nghiệm của bất phương trình là 1 ≤ x ≤ 5.
Chú ý: Ta không thể bình phương hai vế của bất phương trình ban đầu vì chưa khẳng định được dấu của hai vế.
Hoàn toàn có thể sử dụng phép biến đổi tương đương để thực hiện thí dụ trên, cụ thể: (x - 1)($\sqrt {2x - 1} $ - 3) ≤ 0
⇔$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\\sqrt {2x - 1} - 3 \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 < 0\\\sqrt {2x - 1} - 3 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\sqrt {2x - 1} \le 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\\sqrt {2x - 1} \ge 3\end{array} \right.\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\0 \le 2x - 1 \le 9\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\2x - 1 \ge 9\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔ 1 ≤ x ≤ 5.
Vậy, nghiệm của bất phương trình là 1 ≤ x ≤ 5.
Thí dụ 3. Giải bất phương trình x + $\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$ > 3$\sqrt 5 $. (1)
Khi đó, bất phương trình (2) có dạng: t$^2$ + 4t - 45 > 0 $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}t > 5\\t < - 9\end{array} \right.$ ⇒ t > 5 ⇔ $\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$ > 5 ⇔ x4 - 25x$^2$ + 100 > 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}{x^2} > 20\\{x^2} < 5\end{array} \right.$⇔ $\left[ \begin{array}{l}|x| > \sqrt {20} \\|x| < \sqrt 5 \end{array} \right.$.
Kết hợp với trường hợp đang xét, ta được tập nghiệm của bất phương trình là: (-∞; -$\sqrt {20} $) ∪ (-$\sqrt 5 $; $\sqrt 5 $) ∪ ($\sqrt {20} $; +∞).
Chú ý: Nhiều bất phương trình ở dạng ban đầu không thấy có dấu hiệu cho phép lựa chọn phương pháp đặt ẩn phụ khi đó thông thường bằng một vài phép biến đổi tương đương ta sẽ thấy sự xuất hiện của ẩn phụ.
Thí dụ 4. Giải bất phương trình $\sqrt x $ > 1 + $\sqrt[3]{{x - 1}}$. (1)
Ta có: (1) x > (1 + $\sqrt[3]{{x - 1}}$)$^2$
⇔ x > 1 + 2$\sqrt[3]{{x - 1}}$ + ($\sqrt[3]{{x - 1}}$)2 ⇔ x - 1 - ($\sqrt[3]{{x - 1}}$)2 - 2$\sqrt[3]{{x - 1}}$ > 0. (2)
Đặt t = $\sqrt[3]{{x - 1}}$ t > -1.
Khi đó, bất phương trình (2) có dạng: t$^3$ - t$^2$ - 2t > 0 ⇔ t(t$^2$ - t - 2) > 0 ⇔ t(t + 1)(t - 2) > 0 t(t - 2) > 0
⇔ $\left[ \begin{array}{l}t > 2\\t < 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}\sqrt[3]{{x - 1}} > 2\\\sqrt[3]{{x - 1}} < 0\end{array} \right.$
⇔ $\left[ \begin{array}{l}x - 1 > 8\\x - 1 < 0\end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}x > 9\\0 < x < 1\end{array} \right.$
Vậy, bất phương trình có nghiệm x > 9 hoặc 0 < x < 1.
Giải
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}1 - 4{x^2} \ge 0\\x \ne 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{2} \le x < 0\\0 < x \le \frac{1}{2}\end{array} \right.$.Cách 1: Thực hiện phép nhân liên hợp, ta biến đổi: (1) ⇔ $\frac{{(1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} )(1 + \sqrt {1 - 4{x^2}} )}}{x}$ < 3(1 + $\sqrt {1 - 4{x^2}} $)
⇔ 4x < 3 + 3$\sqrt {1 - 4{x^2}} $ ⇔ 3$\sqrt {1 - 4{x^2}} $ > 4x - 3
⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4x - 3 < 0\\1 - 4{x^2} \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4x - 3 \ge 0\\9(1 - 4{x^2}) > {(4x - 3)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 3/4\\|x| < 1/2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3/4\\9(1 - 4{x^2}) > {(4x - 3)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$
Với x ≠ 0 thì x ∈ [-$\frac{1}{2}$, 0) ∪ (0. $\frac{1}{2}$].
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = [-$\frac{1}{2}$; 0) ∪ (0; $\frac{1}{2}$].
Cách 2: Xét hai trường hợp dựa trên điều kiện.
- Với - $\frac{1}{2}$ ≤ x < 0 thì: (1) ⇔$\sqrt {1 - 4{x^2}} $< 1 - 3x ⇔$\left\{ \begin{array}{l}1 - 3x > 0\\1 - 4{x^2} < {(1 - 3x)^2}\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x < \frac{1}{3}\\13{x^2} - 6x > 0\end{array} \right.$ ⇔ x < 0.
- Với 0 < x ≤ $\frac{1}{2}$ thì: (1) ⇔ $\sqrt {1 - 4{x^2}} $ > 1 - 3x ⇔$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - 3x < 0\\1 - 4{x^2} \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 - 3x \ge 0\\1 - 4{x^2} > {(1 - 3x)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 1/3\\ - \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 1/3\\13{x^2} - 6x < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔ $\left[ \begin{array}{l}\frac{1}{3} < x \le \frac{1}{2}\\0 < x \le \frac{1}{3}\end{array} \right.$ ⇔ 0 < x ≤ $\frac{1}{2}$.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = [-$\frac{1}{2}$; 0) ∪ (0; $\frac{1}{2}$].
Thí dụ 2. Giải bất phương trình (x - 1)$\sqrt {2x - 1} $ ≤ 3(x - 1).
Giải
Điều kiện: 2x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ $\frac{1}{2}$. (*)Đặt t = $\sqrt {2x - 1} $, t ≥ 0 ⇒ x = $\frac{1}{2}$(t2 + 1).
Khi đó, bất phương trình có dạng: [$\frac{1}{2}$(t2 + 1) - 1]t ≤ 3[$\frac{1}{2}$(t2 + 1) - 1] ⇔ t$^3$ - 3t$^0$ - t + 3 ≤ 0 ⇔ (t + 1)(t - 1)(t - 3) ≤ 0
⇔ 1 ≤ t ≤ 3 ⇔ 1 ≤ $\sqrt {2x - 1} $ ≤ 3 ⇔ 1 ≤ x ≤ 5 thoả mãn (*).
Vậy, nghiệm của bất phương trình là 1 ≤ x ≤ 5.
Chú ý: Ta không thể bình phương hai vế của bất phương trình ban đầu vì chưa khẳng định được dấu của hai vế.
Hoàn toàn có thể sử dụng phép biến đổi tương đương để thực hiện thí dụ trên, cụ thể: (x - 1)($\sqrt {2x - 1} $ - 3) ≤ 0
⇔$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\\sqrt {2x - 1} - 3 \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 < 0\\\sqrt {2x - 1} - 3 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\sqrt {2x - 1} \le 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\\sqrt {2x - 1} \ge 3\end{array} \right.\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\0 \le 2x - 1 \le 9\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\2x - 1 \ge 9\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔ 1 ≤ x ≤ 5.
Vậy, nghiệm của bất phương trình là 1 ≤ x ≤ 5.
Thí dụ 3. Giải bất phương trình x + $\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$ > 3$\sqrt 5 $. (1)
Giải
Điều kiện: x$^2$ - 4 > 0 ⇔ |x| > 2. (*)- Trường hợp 1: Với x < -2 thì bất phương trình vô nghiệm (do vế trái âm).
- Trường hợp 2: Với x > 2 thì bình phương 2 vế phương trình (1) ta được: x2 + $\frac{{4{x^2}}}{{{x^2} - 4}}$ + $\frac{{4{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$ > 45 ⇔ $\frac{{{x^4}}}{{{x^2} - 4}}$ + 4.$\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$ > 45 . (2)
Khi đó, bất phương trình (2) có dạng: t$^2$ + 4t - 45 > 0 $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}t > 5\\t < - 9\end{array} \right.$ ⇒ t > 5 ⇔ $\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$ > 5 ⇔ x4 - 25x$^2$ + 100 > 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}{x^2} > 20\\{x^2} < 5\end{array} \right.$⇔ $\left[ \begin{array}{l}|x| > \sqrt {20} \\|x| < \sqrt 5 \end{array} \right.$.
Kết hợp với trường hợp đang xét, ta được tập nghiệm của bất phương trình là: (-∞; -$\sqrt {20} $) ∪ (-$\sqrt 5 $; $\sqrt 5 $) ∪ ($\sqrt {20} $; +∞).
Chú ý: Nhiều bất phương trình ở dạng ban đầu không thấy có dấu hiệu cho phép lựa chọn phương pháp đặt ẩn phụ khi đó thông thường bằng một vài phép biến đổi tương đương ta sẽ thấy sự xuất hiện của ẩn phụ.
Thí dụ 4. Giải bất phương trình $\sqrt x $ > 1 + $\sqrt[3]{{x - 1}}$. (1)
Giải
Điều kiện x ≥ 0. (*)Ta có: (1) x > (1 + $\sqrt[3]{{x - 1}}$)$^2$
⇔ x > 1 + 2$\sqrt[3]{{x - 1}}$ + ($\sqrt[3]{{x - 1}}$)2 ⇔ x - 1 - ($\sqrt[3]{{x - 1}}$)2 - 2$\sqrt[3]{{x - 1}}$ > 0. (2)
Đặt t = $\sqrt[3]{{x - 1}}$ t > -1.
Khi đó, bất phương trình (2) có dạng: t$^3$ - t$^2$ - 2t > 0 ⇔ t(t$^2$ - t - 2) > 0 ⇔ t(t + 1)(t - 2) > 0 t(t - 2) > 0
⇔ $\left[ \begin{array}{l}t > 2\\t < 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}\sqrt[3]{{x - 1}} > 2\\\sqrt[3]{{x - 1}} < 0\end{array} \right.$
⇔ $\left[ \begin{array}{l}x - 1 > 8\\x - 1 < 0\end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}x > 9\\0 < x < 1\end{array} \right.$
Vậy, bất phương trình có nghiệm x > 9 hoặc 0 < x < 1.
Sửa lần cuối: