Thí dụ 1 Cho ΔABC, biết a = $\sqrt 6 $, b = 2, c = $\sqrt 3 $ + 1. Tính các góc A, B, C và đường cao ha của tam giác.
Mặt khác trong ΔABC, ta có: A + B + C = 180$^0$ ⇔ C = 180$^0$ - A - B = 105$^0$.
Ta có: S = $\frac{1}{2}$ha.a = $\frac{1}{2}$b.c.sinA ⇔ h$_a$ = $\frac{{bc.\sin A}}{a}$ = $\frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 2 }}$.
Thí dụ 2 Cho ΔABC cân tại A. Đường cao BH = a, $A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} C$ = α.
a. Tính các cạnh và đường cao còn lại.
b. Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC.
Trong ΔKAB, ta được: cosα = $\frac{{BK}}{{AB}}$ ⇔ AB = $\frac{{BK}}{{\cos \alpha }}$ = $\frac{{\frac{{BC}}{2}}}{{\cos \alpha }}$ = $\frac{a}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}$,
sinα = $\frac{{AK}}{{AB}}$ ⇔ AK = AB.sinα = $\frac{a}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}$.sinα = $\frac{a}{{2\cos \alpha }}$.
b. Ta có: AC = 2R.sinB ⇔ R = $\frac{{AC}}{{2\sin B}}$ = $\frac{{\frac{a}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}}}{{2\sin \alpha }}$ = $\frac{a}{{4{{\sin }^2}\alpha .\cos \alpha }}$.
SΔABC = pr ⇔ r = $\frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{p}$ = $\frac{{\frac{1}{2}BH.AC}}{{\frac{1}{2}(AB + BC + CA)}}$ = $\frac{a}{{2(1 + \cos \alpha )}}$.
Thí dụ 3 Cho ΔABC, biết b = 7, c = 5, cosA = $\frac{3}{5}$. Tính đường cao h$_a$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác.
trong đó b, c đã biết và: sin$^2$A = 1 - cos$^2$A = $\frac{{16}}{{25}}$ ⇔ sinA = $\frac{4}{5}$, (2)
a$^2$ = b$^2$ + c$^2$ - 2bc.cosA = 49 = 25 - 2.7.5. $\frac{3}{5}$ = 32 ⇒ a = 4$\sqrt 2 $. (3)
Thay (2), (3) vào (1), ta được ha = $\frac{{7\sqrt 2 }}{2}$.
Ta có: R = $\frac{a}{{2\sin A}}$ = $\frac{{4\sqrt 2 }}{{2.\frac{4}{5}}}$ = $\frac{{5\sqrt 2 }}{2}$.
Thí dụ 4 Cho ΔABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3$\sqrt 3 $. Tính BC.
Trong ΔABC, ta có R = $\frac{{AB}}{{2\sin A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} B}}$. (1)
Trong đường tròn (I$_1$), ta có: AB$^2$ = AA$_1$.AH = 4AH. (2)
Trong đường tròn (I$_2$), ta có: AC$^2$ = AA$_2$.AH = 16AH. (3)
Trong ΔHAC, ta có: sin$A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} B$ = sin$A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} H$ = $\frac{{AH}}{{AC}}$ = $\frac{{AH}}{{4\sqrt {AH} }}$ = $\frac{{\sqrt {AH} }}{4}$. (4)
Thay (2), (4) vào (1), ta được R = 4.
Giải
Trong ΔABC, ta có: cosA = $\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$ = $\frac{1}{2}$ ⇔ A = 60$^0$; cosB = $\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$ = $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ ⇔ B = 45$^0$.Mặt khác trong ΔABC, ta có: A + B + C = 180$^0$ ⇔ C = 180$^0$ - A - B = 105$^0$.
Ta có: S = $\frac{1}{2}$ha.a = $\frac{1}{2}$b.c.sinA ⇔ h$_a$ = $\frac{{bc.\sin A}}{a}$ = $\frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 2 }}$.
Thí dụ 2 Cho ΔABC cân tại A. Đường cao BH = a, $A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} C$ = α.
a. Tính các cạnh và đường cao còn lại.
b. Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải
a. Trong ΔHBC, ta được: sinα = $\frac{{BH}}{{BC}}$ ⇔ BC = $\frac{{BH}}{{\sin \alpha }}$ = $\frac{a}{{\sin \alpha }}$.sinα = $\frac{{AK}}{{AB}}$ ⇔ AK = AB.sinα = $\frac{a}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}$.sinα = $\frac{a}{{2\cos \alpha }}$.
b. Ta có: AC = 2R.sinB ⇔ R = $\frac{{AC}}{{2\sin B}}$ = $\frac{{\frac{a}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}}}{{2\sin \alpha }}$ = $\frac{a}{{4{{\sin }^2}\alpha .\cos \alpha }}$.
SΔABC = pr ⇔ r = $\frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{p}$ = $\frac{{\frac{1}{2}BH.AC}}{{\frac{1}{2}(AB + BC + CA)}}$ = $\frac{a}{{2(1 + \cos \alpha )}}$.
Thí dụ 3 Cho ΔABC, biết b = 7, c = 5, cosA = $\frac{3}{5}$. Tính đường cao h$_a$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác.
Giải
Ta có: S = $\frac{1}{2}$ha.a = $\frac{1}{2}$bc.sinA ⇔ ha = $\frac{{b.c.\sin A}}{a}$. (1)trong đó b, c đã biết và: sin$^2$A = 1 - cos$^2$A = $\frac{{16}}{{25}}$ ⇔ sinA = $\frac{4}{5}$, (2)
a$^2$ = b$^2$ + c$^2$ - 2bc.cosA = 49 = 25 - 2.7.5. $\frac{3}{5}$ = 32 ⇒ a = 4$\sqrt 2 $. (3)
Thay (2), (3) vào (1), ta được ha = $\frac{{7\sqrt 2 }}{2}$.
Ta có: R = $\frac{a}{{2\sin A}}$ = $\frac{{4\sqrt 2 }}{{2.\frac{4}{5}}}$ = $\frac{{5\sqrt 2 }}{2}$.
Thí dụ 4 Cho ΔABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3$\sqrt 3 $. Tính BC.
Giải
Ta có: S = $\frac{1}{2}$AB.AC.sinA ⇔ 3$\sqrt 3 $ = $\frac{1}{2}$.3.4.sinA ⇔ sinA = $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}A = {60^0}\\A = {120^0}\end{array} \right.$.- Với A = 60$^0$, ta được: BC$^2$ = AB$^2$ + AC$^2$ - 2AB.AC.cosA = 13 ⇔ BC = $\sqrt {13} $.
- Với A = 120$^0$, ta được: BC$^2$ = AB$^2$ + AC$^2$ - 2AB.AC.cosA = 37 ⇔ BC = $\sqrt {37} $.
Trong ΔABC, ta có R = $\frac{{AB}}{{2\sin A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} B}}$. (1)
Trong đường tròn (I$_1$), ta có: AB$^2$ = AA$_1$.AH = 4AH. (2)
Trong đường tròn (I$_2$), ta có: AC$^2$ = AA$_2$.AH = 16AH. (3)
Trong ΔHAC, ta có: sin$A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} B$ = sin$A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over C} H$ = $\frac{{AH}}{{AC}}$ = $\frac{{AH}}{{4\sqrt {AH} }}$ = $\frac{{\sqrt {AH} }}{4}$. (4)
Thay (2), (4) vào (1), ta được R = 4.
Sửa lần cuối: