Cho dãy số $({{u}_{n}})$xác định bởi ${{u}_{1}}=2$ và ${{u}_{2}}=2{{u}_{n+1}}-1,\forall n\in {{N}^{*}},$có tính chất C. Là dãy số tăng và bị chặ

Cho dãy số $({{u}_{n}})$xác định bởi ${{u}_{1}}=2$ và ${{u}_{2}}=2{{u}_{n+1}}-1,\forall n\in {{N}^{*}},$có tính chất
C. Là dãy số tăng và bị chặn dưới.
B. Là dãy số giảm và bị chặn trên.
C. Là dãy số giảm và bị chặn dưới.
D. Là dãy số tăng và bị chặn trên.

Đáp án C.
Ta có ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{1}{2}({{u}_{n}}-{{u}_{n-1}})=…=\dfrac{1}{{{2}^{n-1}}}({{u}_{2}}-{{u}_{1}}).$ Từ đó ta tính được ${{u}_{n}}=1+\dfrac{1}{{{2}^{n-1}}}.$
Do ${{u}_{n+2}}-{{u}_{n}}=\dfrac{1}{{{2}^{n}}}-\dfrac{1}{{{2}^{n-1}}}=-\dfrac{1}{{{2}^{n}}}<0,\forall n\ge 1$ nên $\left( {{u}_{n}} \right)$là dãy số giảm
Ta có $1<{{u}_{n}}=1+\dfrac{1}{{{2}^{n-1}}}\le 2,\forall n\ge 1$ nên $\left( {{u}_{n}} \right)$ là dãy số bị chặn. Suy ra phương án đúng là C.