I. BẤT ĐẲNG THỨC
1. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta suy ra các tính chất sau:
3. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI)
Định lí: Với hai số không âm a, b, ta có: $\frac{{a + b}}{2}$ ≥ $\sqrt {ab} $ (thường được viết a + b ≥ 2$\sqrt {ab} $), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
Tức là, với hai số dương a, b có a + b = S không đổi suy ra: 2$\sqrt {ab} $ ≤ S ⇔ ab ≤ $\frac{{{S^2}}}{4}$ ⇒ (ab)$_{Max}$ = $\frac{{{S^2}}}{4}$, đạt được khi a = b.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi hình vuông có diện tích lớn nhất.
Hệ quả 2: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.
Tức là, với hai số dương a, b có ab = P không đổi suy ra: a + b ≥ 2$\sqrt P $ ⇒ (a + b)Min = 2$\sqrt P $, đạt được khi a = b.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Mở rộng
Định lí: Cho a$_1$, a$_2$, b$_1$, b$_2$ là những số thực, ta có: (a$_1$b$_1$ + a$_2$b$_2$)$^2$ ≤ ($a_1^2$ + $a_2^2$)($b_1^2$ + $b_2^2$), dấu đẳng thức xảy ra khi $\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}}$ = $\frac{{{a_2}}}{{{b_2}}}$.
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Định lí: Cho bất phương trình f(x) < g(x) với ĐKXĐ D, h(x) là một biểu thức xác định với mọi x thoả mãn điều kiện D (h(x) có thể là hằng số). Khi đó, với điều kiện D, bất phương trình f(x) < g(x) tương đương với mỗi bất phương trình sau:
Với yêu cầu "Giải và biện luận bất phương trình ax + b < 0" ta sẽ thực hiện như sau:
Viết lại bất phương trình dưới dạng: ax < -b. (1)
Ta xét ba trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu a = 0 thì: (1) ⇔ 0 < -b ⇔ b < 0. Vậy, ta được:
Trường hợp 3: Nếu a < 0 thì: (1) ⇔ x > -$\frac{b}{a}$.
Kết luận:
Định lí: Với nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b, ta có:
IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 (tương tự đối với các bất phương trình ax + by + c > 0, ax + by + c ≤ 0, ax + by + c ≥ 0) ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Vẽ đường thẳng (d): ax + by + c = 0.
Bước 2: Lấy điểm M(x$_0$; y$_0$) không nằm trên (d) và xác định giá trị của: d$_M$ = ax$_0$ + by$_0$ + c, khi đó::
Định lí: Với tam thức bậc hai f(x) = ax$^2$ + bx + c (a ≠ 0), ta có:
a. Nếu Δ < 0 thì f(x) cùng dấu với a, với ∀x ∈ $\mathbb{R}$, tức là: af(x) > 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
b. Nếu Δ = 0 thì f(x) cùng dấu với a, với ∀x ∈ $\mathbb{R}$\{-$\frac{b}{{2a}}$}, tức là: af(x) > 0, ∀x ≠ -$\frac{b}{{2a}}$ và af(x) ≥ 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
c. Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x$_1$, x$_2$, giả sử là x$_1$ < x$_2$. Lúc đó:
Chú ý: Để giải bất phương trình bậc hai, ta sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
1. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
- Tính chất 1: (Tính chất bắc cầu): Nếu a > b và b > c thì a > c.
- Tính chất 2: Nếu a > b ⇔ a + c > b + c.
- Tính chất 3: Nếu a > b⇔ $\left[ \begin{array}{l} ac > bc\,\,neu\,\,c > 0\\ ac < bc\,\,neu\,\,c < 0 \end{array} \right.\,\,va\,\,\left[ \begin{array}{l} \frac{a}{c} > \frac{b}{c}\,\,neu\,\,c > 0\\ \frac{a}{c} < \frac{b}{c}\,\,neu\,\,c < 0 \end{array} \right.$
- Quy tắc 1: (Phép cộng): Nếu a > b và c > d ⇒ a + c > b + d.
- Quy tắc 2: (Phép nhân): Nếu a > b > 0 và c > d > 0 ⇒ ac > bd.
- Quy tắc 3: (Phép nâng lên luỹ thừa): Nếu a > b > 0 ⇒ a$^n$ > b$^n$, với n ∈ $\mathbb{N}$*.
- Quy tắc 4: (Phép khai căn): Nếu a > b > 0 thì $\sqrt[n]{a}$>$\sqrt[n]{b}$, với n∈ $\mathbb{N}$*.
Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta suy ra các tính chất sau:
- 1. -|a| ≤ a ≤ |a| với mọi số thực a.
- 2. |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a với a ≥ 0 (tương tự |x|< a ⇔ -a < x < a với a > 0).
- 3. |x| ≥ a ⇔ x ≤ -a hoặc x ≥ a với a ≥ 0 (tương tự |x| > a ⇔ x < -a hoặc x > a với a > 0).
3. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI)
Định lí: Với hai số không âm a, b, ta có: $\frac{{a + b}}{2}$ ≥ $\sqrt {ab} $ (thường được viết a + b ≥ 2$\sqrt {ab} $), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
Tức là, với hai số dương a, b có a + b = S không đổi suy ra: 2$\sqrt {ab} $ ≤ S ⇔ ab ≤ $\frac{{{S^2}}}{4}$ ⇒ (ab)$_{Max}$ = $\frac{{{S^2}}}{4}$, đạt được khi a = b.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi hình vuông có diện tích lớn nhất.
Hệ quả 2: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.
Tức là, với hai số dương a, b có ab = P không đổi suy ra: a + b ≥ 2$\sqrt P $ ⇒ (a + b)Min = 2$\sqrt P $, đạt được khi a = b.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Mở rộng
- Với các số a, b, c không âm, ta luôn có: $\frac{{a + b + c}}{3}$ ≥ $\sqrt[3]{{abc}}$ thường được viết: a + b + c ≥ 3$\sqrt[3]{{abc}}$ hoặc (a + b + c)$^3$ ≥ 27abc. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
- Với n số a$_i$, i = $\overline {1,n} $ không âm, ta luôn có: $\underbrace {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}_{n\,so\,hang} \ge n.\sqrt[n]{{\underbrace {{a_1}.{a_2}....{a_n}}_{n\,so\,hang}}}$ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a$_1$ = a$_2$ = ... = a$_n$.
Định lí: Cho a$_1$, a$_2$, b$_1$, b$_2$ là những số thực, ta có: (a$_1$b$_1$ + a$_2$b$_2$)$^2$ ≤ ($a_1^2$ + $a_2^2$)($b_1^2$ + $b_2^2$), dấu đẳng thức xảy ra khi $\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}}$ = $\frac{{{a_2}}}{{{b_2}}}$.
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Định lí: Cho bất phương trình f(x) < g(x) với ĐKXĐ D, h(x) là một biểu thức xác định với mọi x thoả mãn điều kiện D (h(x) có thể là hằng số). Khi đó, với điều kiện D, bất phương trình f(x) < g(x) tương đương với mỗi bất phương trình sau:
- a. f(x) + h(x) < g(x) + h(x).
- b. f(x).h(x) < g(x).h(x) nếu h(x) > 0 với ∀x ∈ D.
- c. f(x).h(x) > g(x).h(x) nếu h(x) < 0 với ∀x ∈ D.
Với yêu cầu "Giải và biện luận bất phương trình ax + b < 0" ta sẽ thực hiện như sau:
Viết lại bất phương trình dưới dạng: ax < -b. (1)
Ta xét ba trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu a = 0 thì: (1) ⇔ 0 < -b ⇔ b < 0. Vậy, ta được:
- Nếu b < 0, bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
- Nếu b ≥ 0, bất phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 3: Nếu a < 0 thì: (1) ⇔ x > -$\frac{b}{a}$.
Kết luận:
- Với a > 0, tập nghiệm của bất phương trình là T = (-∞; -$\frac{b}{a}$).
- Với a < 0, tập nghiệm của bất phương trình là T = (-$\frac{b}{a}$; +∞).
- Với a = 0 và b < 0, tập nghiệm của bất phương trình là T = $\mathbb{R}$.
- Với a = 0 và b ≥ 0, tập nghiệm của bất phương trình là T = ø.
- Tương tự chúng ta cũng giải và biện luận được các bất phương trình: ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0
- Để giải một hệ bất phương trình một ẩn, ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được.
Định lí: Với nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b, ta có:
- a. f(x) cùng dấu với a khi x lớn hơn nghiệm x$_0$ = -$\frac{b}{a}$.
- b. f(x) trái dấu với a khi x nhỏ hơn nghiệm x$_0$ = -$\frac{b}{a}$.
1. Để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 (tương tự đối với các bất phương trình ax + by + c > 0, ax + by + c ≤ 0, ax + by + c ≥ 0) ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Vẽ đường thẳng (d): ax + by + c = 0.
Bước 2: Lấy điểm M(x$_0$; y$_0$) không nằm trên (d) và xác định giá trị của: d$_M$ = ax$_0$ + by$_0$ + c, khi đó::
- a. Nếu d$_M$ < 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.
- b. Nếu d$_M$ > 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0.
- Bước 1: Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.
- Bước 2: Kết luận: Miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Định lí: Với tam thức bậc hai f(x) = ax$^2$ + bx + c (a ≠ 0), ta có:
a. Nếu Δ < 0 thì f(x) cùng dấu với a, với ∀x ∈ $\mathbb{R}$, tức là: af(x) > 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
b. Nếu Δ = 0 thì f(x) cùng dấu với a, với ∀x ∈ $\mathbb{R}$\{-$\frac{b}{{2a}}$}, tức là: af(x) > 0, ∀x ≠ -$\frac{b}{{2a}}$ và af(x) ≥ 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
c. Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x$_1$, x$_2$, giả sử là x$_1$ < x$_2$. Lúc đó:
- f(x) cùng dấu với a khi x < x$_1$ hoặc x > x$_2$ .
- f(x) trái dấu với a khi x$_1$ < x < x$_2$. Trong trường hợp này ta có bảng xét dấu như sau: