A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Định nghĩa và các phép toán
* Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.
* Lưu ý:
3. Tích vô hướng của hai vectơ
+ Với $\vec u = \vec 0\,\,hoa\"e c\,\,\vec v = \vec 0$. Qui ước: $\vec u.\vec v = 0$
+ $\vec u \bot \vec v \Leftrightarrow \vec u.\vec v = 0$
4. Các dạng toán thường gặp:
a) Chứng minh đẳng thức vec tơ.
b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng.
+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:
c) Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian
d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ.
+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở ${\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow a }^2}} $. Vì vậy để tính độ dài của đoạn MN ta thực hiện theo các bước sau:
e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.
Sử dụng các kết quả
1. Định nghĩa và các phép toán
* Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.
* Lưu ý:
- Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} $
- Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $
- Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D', ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} $
- Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
- Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0;\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} $
- Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0;\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OG} $
- Điều kiện hai vectơ cùng phương: $\vec a\,\,va\,\,\vec b\,\,cung\,phuong\,(\vec a \ne \vec 0) \Leftrightarrow \,\exists !k \in R:\vec b = k\vec a$
- Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý. Ta có: $\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {OM} = \frac{{\overrightarrow {OA} - k\overrightarrow {OB} }}{{1 - k}}$
- Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
- Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$, trong đó $\vec a\,\,va{\o}\,\,\vec b$ không cùng phương. Khi đó: $\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng <=> ∃! m, n ∈ R: $\vec c = m\vec a + n\vec b$
- Cho ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ không đồng phẳng, $\vec x$ tuỳ ý.
3. Tích vô hướng của hai vectơ
- Góc giữa hai vectơ trong không gian: $\overrightarrow {AB} = \vec u,\overrightarrow {AC} = \vec v \Rightarrow (\vec u,\vec v) = \widehat {BAC}\,\,({0^0} \le \widehat {BAC} \le {180^0})$
- Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Với $\vec u = \vec 0\,\,hoa\"e c\,\,\vec v = \vec 0$. Qui ước: $\vec u.\vec v = 0$
+ $\vec u \bot \vec v \Leftrightarrow \vec u.\vec v = 0$
4. Các dạng toán thường gặp:
a) Chứng minh đẳng thức vec tơ.
b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng.
+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:
- Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R: $\vec c = m\vec a + n\vec b$ thì $\vec a,\vec b,\vec c$đồng phẳng
c) Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian
d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ.
+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở ${\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow a }^2}} $. Vì vậy để tính độ dài của đoạn MN ta thực hiện theo các bước sau:
- Chọn ba vec tơ không đồng phẳng $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.
- Phân tích $\overrightarrow {MN} = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c $
- Khi đó $MN = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow {MN} }^2}} = \sqrt {{{\left( {m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c } \right)}^2}} $
e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.
Sử dụng các kết quả
- A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng $ \Leftrightarrow \overrightarrow {DA} = m\overrightarrow {DB} + n\overrightarrow {DC} $
- A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì ta có $\overrightarrow {OD} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} $ trong đó $x + y + z = 1$.
B – BÀI TẬP
Câu 1: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', M là trung điểm của $BB'$. Đặt $\overrightarrow {CA} = \vec a$, $\overrightarrow {CB} = \vec b$, $\overrightarrow {AA'} = \vec c$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {AM} = \vec b + \vec c - \frac{1}{2}\vec a$.
B. $\overrightarrow {AM} = \vec a - \vec c + \frac{1}{2}\vec b$.
C. $\overrightarrow {AM} = \vec a + \vec c - \frac{1}{2}\vec b$.
D. $\overrightarrow {AM} = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\vec c$.
Chọn D
Ta phân tích như sau:
$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} $
$ = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\vec c$.
Ta phân tích như sau:
$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} $
$ = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\vec c$.
A. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0$.
B. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} $.
C. $\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OD} $.
D. $\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OD} $.
Chọn B
Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:
$\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} $.
Với mọi điểm O bất kì khác A, B, C, D ta có:
$\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} $.
Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:
$\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} $.
Với mọi điểm O bất kì khác A, B, C, D ta có:
$\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} $.
A. $\vec a + \vec c = \vec d + \vec b$.
B. $\vec a + \vec b = \vec c + \vec d$.
C. $\vec a + \vec d = \vec b + \vec c$.
D. $\vec a + \vec b + \vec c + \vec d = \vec 0$.
Chọn A
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta phân tích như sau:
$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \\\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \end{array} \right.$ (do tính chất của đường trung tuyến)
$ \Rightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \Leftrightarrow \vec a + \vec c = \vec d + \vec b$.
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta phân tích như sau:
$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \\\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \end{array} \right.$ (do tính chất của đường trung tuyến)
$ \Rightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \Leftrightarrow \vec a + \vec c = \vec d + \vec b$.
A. $\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\vec c + \vec d - \vec b} \right)$.
B. $\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\vec d + \vec b - \vec c} \right)$.
C. $\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\vec c + \vec b - \vec d} \right)$.
D. $\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\vec c + \vec d + \vec b} \right)$.
Chọn A
Ta phân tích:
$\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right)$ (tính chất đường trung tuyến)
$ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AM} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec c + \vec d - 2\overrightarrow {AM} } \right)$
$ = \frac{1}{2}\left( {\vec c + \vec d - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec c + \vec d - \vec b} \right)$.
Ta phân tích:
$\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right)$ (tính chất đường trung tuyến)
$ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AM} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec c + \vec d - 2\overrightarrow {AM} } \right)$
$ = \frac{1}{2}\left( {\vec c + \vec d - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec c + \vec d - \vec b} \right)$.
A. $2\overrightarrow {OI} = \frac{1}{2}\left( {\vec u + \vec v + \vec x + \vec y} \right)$.
B. $2\overrightarrow {OI} = - \frac{1}{2}\left( {\vec u + \vec v + \vec x + \vec y} \right)$.
C. $2\overrightarrow {OI} = \frac{1}{4}\left( {\vec u + \vec v + \vec x + \vec y} \right)$.
D. $2\overrightarrow {OI} = - \frac{1}{4}\left( {\vec u + \vec v + \vec x + \vec y} \right)$.
Chọn D
Ta phân tích:
$\vec u + \vec v = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {CA'} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CC'} } \right) + \left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AA'} } \right) = 2\overrightarrow {AA'} $.
$\vec x + \vec y = \overrightarrow {BD'} + \overrightarrow {DB'} = \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DD'} } \right) + \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BB'} } \right) = 2\overrightarrow {BB'} = 2\overrightarrow {AA'} $.
$ \Rightarrow \vec u + \vec v + \vec x + \vec y = 4\overrightarrow {AA'} = - 4\overrightarrow {A'A} = - 4.2\overrightarrow {OI} $.
$ \Rightarrow 2\overrightarrow {OI} = - \frac{1}{4}\left( {\vec u + \vec v + \vec x + \vec y} \right)$.
Ta phân tích:
$\vec u + \vec v = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {CA'} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CC'} } \right) + \left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AA'} } \right) = 2\overrightarrow {AA'} $.
$\vec x + \vec y = \overrightarrow {BD'} + \overrightarrow {DB'} = \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DD'} } \right) + \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BB'} } \right) = 2\overrightarrow {BB'} = 2\overrightarrow {AA'} $.
$ \Rightarrow \vec u + \vec v + \vec x + \vec y = 4\overrightarrow {AA'} = - 4\overrightarrow {A'A} = - 4.2\overrightarrow {OI} $.
$ \Rightarrow 2\overrightarrow {OI} = - \frac{1}{4}\left( {\vec u + \vec v + \vec x + \vec y} \right)$.
A. $\overrightarrow {IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {A'C'} $.
B. Bốn điểm I, $K$, $C$, $A$ đồng phẳng.
C. $\overrightarrow {BD} + 2\overrightarrow {IK} = 2\overrightarrow {BC} $.
D. Ba vectơ $\overrightarrow {BD} $; $\overrightarrow {IK} $; $\overrightarrow {B'C'} $ không đồng phẳng.
Chọn D
A đúng do tính chất đường trung bình trong $\Delta B'AC$ và tính chất của hình bình hành $ACC'A'$.
B đúng do $IK{\rm{ // }}AC$ nên bốn điểm I, $K$, $C$, $A$ đồng phẳng.
C đúng do việc ta phân tích:
$\overrightarrow {BD} + 2\overrightarrow {IK} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} $
$ = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BC} $.
D sai do giá của ba vectơ $\overrightarrow {BD} $; $\overrightarrow {IK} $; $\overrightarrow {B'C'} $ đều song song hoặc trùng với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.
A đúng do tính chất đường trung bình trong $\Delta B'AC$ và tính chất của hình bình hành $ACC'A'$.
B đúng do $IK{\rm{ // }}AC$ nên bốn điểm I, $K$, $C$, $A$ đồng phẳng.
C đúng do việc ta phân tích:
$\overrightarrow {BD} + 2\overrightarrow {IK} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} $
$ = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BC} $.
D sai do giá của ba vectơ $\overrightarrow {BD} $; $\overrightarrow {IK} $; $\overrightarrow {B'C'} $ đều song song hoặc trùng với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.
A. G là trung điểm của đoạn IJ (I, J lần lượt là trung điểm AB và CD).
B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của $AC$ và $BD$.
C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của $AD$ và $BC$.
D. Chưa thể xác định được.
Chọn D
Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD.
Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {GI} + 2\overrightarrow {GJ} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GI} + \overrightarrow {GJ} = \vec 0$$ \Rightarrow G$ là trung điểm đoạn IJ.
Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương án D sai.
Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD.
Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {GI} + 2\overrightarrow {GJ} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GI} + \overrightarrow {GJ} = \vec 0$$ \Rightarrow G$ là trung điểm đoạn IJ.
Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương án D sai.
A. $\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\vec x + \vec y + \vec z} \right)$.
B. $\overrightarrow {AG} = - \frac{1}{3}\left( {\vec x + \vec y + \vec z} \right)$.
C. $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\vec x + \vec y + \vec z} \right)$.
D. $\overrightarrow {AG} = - \frac{2}{3}\left( {\vec x + \vec y + \vec z} \right)$.
Chọn A
Gọi M là trung điểm CD.
Ta phân tích:
$\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} } \right)$
$ = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left[ {\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) - \overrightarrow {AB} } \right] = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\vec x + \vec y + \vec z} \right)$.
Gọi M là trung điểm CD.
Ta phân tích:
$\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} } \right)$
$ = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left[ {\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) - \overrightarrow {AB} } \right] = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\vec x + \vec y + \vec z} \right)$.
A. M là tâm hình bình hành ABB'A'.
B. M là tâm hình bình hành BCC'B'.
C. M là trung điểm BB'.
D. M là trung điểm CC'.
Chọn C
Ta phân tích:
$\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\vec a - \vec b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} $.
$ \Rightarrow M$ là trung điểm của $BB'$.
Ta phân tích:
$\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\vec a - \vec b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} $.
$ \Rightarrow M$ là trung điểm của $BB'$.
A. Hai vectơ $\overrightarrow y ;\overrightarrow z $ cùng phương.
B. Hai vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow y $ cùng phương.
C. Hai vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow z $ cùng phương.
D. Ba vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow y ;\overrightarrow z $ đồng phẳng.
Chọn B
+ Nhận thấy: $\overrightarrow y = - 2\overrightarrow x $ nên hai vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow y $ cùng phương.
+ Nhận thấy: $\overrightarrow y = - 2\overrightarrow x $ nên hai vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow y $ cùng phương.
A. Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $.
B. Nếu ABCD là hình thang thì $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} + 2\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $
C. Nếu $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $ thì ABCD là hình bình hành.
D. Nếu $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} + 2\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $ thì ABCD là hình thang.
Chọn B
A. $\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {B{D_1}} ,\overrightarrow {B{C_1}} $ đồng phẳng.
B. $\overrightarrow {C{D_1}} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{A_1}{B_1}} $ đồng phẳng.
C. $\overrightarrow {C{D_1}} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{A_1}C} $ đồng phẳng.
D. $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{C_1}A} $ đồng phẳng.
Chọn C
$ + \,M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,A{A_1},D{D_1},CD$.
Ta có $C{D_1}//(MNPQ);\,\,AD//\left( {MNPQ} \right);\,\,{A_1}C//(MNPQ)$$ \Rightarrow \overrightarrow {C{D_1}} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{A_1}C} $ đồng phẳng.
$ + \,M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,A{A_1},D{D_1},CD$.
Ta có $C{D_1}//(MNPQ);\,\,AD//\left( {MNPQ} \right);\,\,{A_1}C//(MNPQ)$$ \Rightarrow \overrightarrow {C{D_1}} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{A_1}C} $ đồng phẳng.
A. Ba vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow y ;\overrightarrow z $ đồng phẳng.
B. Hai vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow a $ cùng phương.
C. Hai vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow b $ cùng phương.
D. Ba vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow y ;\overrightarrow z $ đôi một cùng phương.
Chọn A
Ta có: $\overrightarrow y = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow z } \right)$ nên ba vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow y ;\overrightarrow z $ đồng phẳng.
Ta có: $\overrightarrow y = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow z } \right)$ nên ba vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow y ;\overrightarrow z $ đồng phẳng.
A. k = 4.
B. k = 1.
C. k = 0.
D. k = 2.
Chọn B
+ Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {D{D_1}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow {A{C_1}} $. Nên $k = 1$.
+ Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {D{D_1}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow {A{C_1}} $. Nên $k = 1$.
A. $2\overrightarrow {OI} = - \frac{1}{4}(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y )$.
B. $2\overrightarrow {OI} = - \frac{1}{2}(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y )$.
C. $2\overrightarrow {OI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y )$.
D. $2\overrightarrow {OI} = \frac{1}{4}(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y )$.
Chọn A
+ Gọi $J,\,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,CD$.
+Ta có: $2\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OJ} + \overrightarrow {OK} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \,\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = - \frac{1}{4}(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \,\overrightarrow x + \overrightarrow y )$
+ Gọi $J,\,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,CD$.
+Ta có: $2\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OJ} + \overrightarrow {OK} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \,\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = - \frac{1}{4}(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \,\overrightarrow x + \overrightarrow y )$
C.{A_1}{B_1}{C_1}$. Đặt $\overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow d ,$trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. $\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0 $.
B. $\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow d $.
C. $\overrightarrow b - \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0 $.
D. $\overrightarrow a = \overrightarrow b + \overrightarrow c $.
Chọn C
+ Dễ thấy: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow b + \overrightarrow d - \overrightarrow c = \overrightarrow 0 $.
+ Dễ thấy: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow b + \overrightarrow d - \overrightarrow c = \overrightarrow 0 $.
A. $\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AK} ,\overrightarrow {GF} $ đồng phẳng.
B. $\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {IK} ,\overrightarrow {GF} $ đồng phẳng.
C. $\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {EK} ,\overrightarrow {GF} $ đồng phẳng.
D. $\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {IK} ,\overrightarrow {GC} $đồng phẳng.
Chọn B
+ $\left\{ \begin{array}{l}IK{\rm{//}}(ABCD)\\GF{\rm{//}}(ABCD)\\BD \subset (ABCD)\end{array} \right.\,\,$$ \Rightarrow \overrightarrow {IK} ,\overrightarrow {GF} ,\overrightarrow {BD} $ đồng phẳng.
+ Các bộ véctơ ở câu $A,C,D$ không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng.
+ $\left\{ \begin{array}{l}IK{\rm{//}}(ABCD)\\GF{\rm{//}}(ABCD)\\BD \subset (ABCD)\end{array} \right.\,\,$$ \Rightarrow \overrightarrow {IK} ,\overrightarrow {GF} ,\overrightarrow {BD} $ đồng phẳng.
+ Các bộ véctơ ở câu $A,C,D$ không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng.
A. Nếu giá của ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.
B. Nếu trong ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ có một vectơ $\overrightarrow 0 $ thì ba vectơ đó đồng phẳng.
C. Nếu giá của ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
D. Nếu trong ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Chọn A
+ Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng.
+ Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng.
A. $\overrightarrow {A{C_1}} + \overrightarrow {{A_1}C} = 2\overrightarrow {AC} $.
B. $\overrightarrow {A{C_1}} + \overrightarrow {C{A_1}} + 2\overrightarrow {{C_1}C} = \overrightarrow 0 $.
C. $\overrightarrow {A{C_1}} + \overrightarrow {{A_1}C} = \overrightarrow {A{A_1}} $.
D. $\overrightarrow {C{A_1}} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {C{C_1}} $.
Chọn A
+ Gọi O là tâm của hình hộp $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$.
+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.
+ Gọi O là tâm của hình hộp $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$.
+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow O $.
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} $.
C. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có $\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} $ thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} $.
Chọn C
$\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} .$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .$$ \Leftrightarrow $ABCD là hình bình hành
$\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} .$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .$$ \Leftrightarrow $ABCD là hình bình hành
Sửa lần cuối: