Giải phương trình tổ hợp, hoán vị và chỉnh hợp là phần nâng cao thuộc chương trình lớp 11.
Phương pháp chung:
Phương pháp chung:
A. x = 2.
B. x = 3.
C. x = 2; x = 3.
D. x = 5.
Câu 2.Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa mãn ${P_2}.{x^2}--{P_3}.x = 8.$
A. S = - 4.
B. S = - 1.
C. S = 4.
D. S = 3.
Câu 3.Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn $3A_x^2 - A_{2x}^2 + 42 = 0$?
A. 0.
B. 1
C. 2
D. 6.
Câu 4.Cho số tự nhiên x thỏa mãn $A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. x là số chính phương.
B. x là số nguyên tố.
C. x là số chẵn.
D. x là số chia hết cho 3
Câu 5.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $A_n^3 + 5A_n^2 = 2\left( {n + 15} \right)$?
A. 0.
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 6.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_{n + 1}^1 + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3.$
A. n = 12.
B. n = 9.
C. n = 16.
D. n = 2.
Câu 7.Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn $C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1}.$
A. P = 4.
B. P = 32.
C. P = - 32.
D. P = 12.
Câu 8.Tính tổng S của tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn $\frac{1}{{C_n^1}} - \frac{1}{{C_{n + 1}^2}} = \frac{7}{{6C_{n + 4}^1}}.$
A. S = 8.
B. S = 11.
C. S = 12.
D. S = 15.
Câu 9.Tìm giá trị $x \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_x^0 + C_x^{x - 1} + C_x^{x - 2} = 79.$
A. x = 13.
B. x = 17.
C. x = 16.
D. x = 12.
Câu 10.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right).$
A. n = 15.
B. n = 18.
C. n = 16.
D. n = 12.
Câu 11.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 = \frac{{7n}}{2}.$
A. n = 3.
B. n = 4.
C. n = 6.
D. n = 8.
Câu 12.Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa $C_x^1 + 6C_x^2 + 6C_x^3 = 9{x^2} - 14x.$
A. S = 2.
B. S = 7.
C. S = 9.
D. S = 14.
Câu 13.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8.$
A. n = 18.
B. n = 16.
C. n = 15.
D. n = 14.
Câu 14.Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. $C_{2007}^7 = C_{2006}^7 + C_{2006}^6.$
B. $C_{2007}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^6.$
C. $C_{2007}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^{1999}.$
D. $C_{2007}^7 = C_{2006}^7 + C_{2006}^{2000}.$
Câu 15.Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = C_{n + 1}^2.$
B. $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = A_{n + 1}^2.$
C. $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = C_n^1 + C_n^2 + .... + C_n^n.$
D. $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = A_n^1 + A_n^2 + .... + A_n^n.$
Câu 16.Tính tích P của tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn ${P_n}A_n^2 + 72 = 6\left( {A_n^2 + 2{P_n}} \right).$
A. P = 12.
B. P = 5.
C. P = 10.
D. P = 6.
Câu 17.Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn $7\left( {A_{x + 1}^{x - 1} + 2{P_{x - 1}}} \right) = 30{P_x}.$
A. P = 7.
B. P = 4.
C. P = 28.
D. P = 14.
Câu 18.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $C_{n + 8}^{n + 3} = 5A_{n + 6}^3.$
A. n = 15.
B. n = 17.
C. n = 6.
D. n = 14.
Câu 19.Tìm giá trị $x \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $A_x^2.C_x^{x - 1} = 48.$
A. x = 4.
B. x = 3.
C. x = 7.
D. x = 12.
Câu 20.Tìm giá trị $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $A_n^2 - C_{n + 1}^{n - 1} = 5.$
A. n = 3.
B. n = 5.
C. n = 4.
D. n = 6.
Câu 21.Tính tích P của tất cả các giá trị của $n$ thỏa mãn $A_n^2 - 3C_n^2 = 15 - 5n.$
A. P = 5.
B. P = 6.
C. P = 30.
D. P = 360.
Câu 22.Tìm giá trị $x \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $3A_x^4 = 24\left( {A_{x + 1}^3 - C_x^{x - 4}} \right).$
A. x = 3.
B. x = 1.
C. x = 5.
D. $x = 1;{\rm{ }}x = 5.$
Câu 23.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $\frac{{A_{n + 4}^4}}{{\left( {n + 2} \right)!}} < \frac{{15}}{{\left( {n - 1} \right)!}}$?
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.
Câu 24.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 < 0$?
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.
Câu 25.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2C_{n + 1}^2 + {\rm{ }}3A_n^2 < 30$?
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.
Câu 26.Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn $14.{P_3}C_{n - 1}^{n - 3} < A_{n + 1}^4$?
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.
Câu 27.Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}C_x^y - C_x^{y + 1} = 0\\4C_x^y - 5C_x^{y - 1} = 0\end{array} \right..$
A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = 8\end{array} \right..$
B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = - 8\end{array} \right..$
C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 8\end{array} \right..$
D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 9\end{array} \right..$
Câu 28.Tìm cặp số $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $\frac{{C_{x + 1}^y}}{6} = \frac{{C_x^{y + 1}}}{5} = \frac{{C_x^{y - 1}}}{2}.$
A. $\left( {x;y} \right) = \left( {8;3} \right).$
B. $\left( {x;y} \right) = \left( {3;8} \right).$
C. $\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;0} \right).$
D. $\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;0} \right),{\rm{ }}\left( {x;y} \right) = \left( {8;3} \right).$
Câu 29.Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}C_y^x:C_{y + 2}^x = \frac{1}{3}\\C_y^x:A_y^x = \frac{1}{{24}}\end{array} \right..$
A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right..$
B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 8\end{array} \right..$
C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right.,{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 8\end{array} \right..$
D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 8\end{array} \right..$
Câu 30.Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2A_x^y + 5C_x^y = 90\\5A_x^y - 2C_x^y = 80\end{array} \right.$.
A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 2\end{array} \right..$
B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 10\end{array} \right..$
C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right..$
D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 3\end{array} \right..$
PHƯƠNG PHÁP
1. Kiến thức cần nhớ
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợpPhương pháp chung:
- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.
- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.
Phương pháp chung:
- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.
- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.
VÍ DỤ VẬN DỤNG
Câu 1.Tìm tất cả các giá trị $x \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $6\left( {{P_x} - {P_{x - 1}}} \right) = {P_{x + 1}}.$A. x = 2.
B. x = 3.
C. x = 2; x = 3.
D. x = 5.
Điều kiện: $x \ge 1$ và $x \in \mathbb{N}.$
Ta có $6\left( {{P_x} - {P_{x - 1}}} \right) = {P_{x + 1}} \Leftrightarrow 6\left[ {x! - \left( {x - 1} \right)!} \right] = \left( {x + 1} \right)! \Leftrightarrow 6\left( {x - 1} \right)!.\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)!.x\left( {x + 1} \right)$
$ \Leftrightarrow 6.\left( {x - 1} \right) = x\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2{\rm{ }}\left( {nhan} \right)\\x = 3{\rm{ }}\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn C.
Ta có $6\left( {{P_x} - {P_{x - 1}}} \right) = {P_{x + 1}} \Leftrightarrow 6\left[ {x! - \left( {x - 1} \right)!} \right] = \left( {x + 1} \right)! \Leftrightarrow 6\left( {x - 1} \right)!.\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)!.x\left( {x + 1} \right)$
$ \Leftrightarrow 6.\left( {x - 1} \right) = x\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2{\rm{ }}\left( {nhan} \right)\\x = 3{\rm{ }}\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn C.
A. S = - 4.
B. S = - 1.
C. S = 4.
D. S = 3.
Ta có ${P_2}.{x^2}--{P_3}.x = 8 \Leftrightarrow 2!.{x^2} - 3!.x = 8 \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.$
-> S = - 1 + 4 = 3
Chọn D.
-> S = - 1 + 4 = 3
Chọn D.
A. 0.
B. 1
C. 2
D. 6.
Điều kiện: $x \ge 2$ và $x \in \mathbb{N}$.
Ta có $3A_x^2 - A_{2x}^2 + 42 = 0 \Leftrightarrow 3.\frac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} - \frac{{\left( {2x} \right)!}}{{\left( {2x - 2} \right)!}} + 42 = 0$
$ \Leftrightarrow 3.\left( {x - 1} \right).x - \left( {2x - 1} \right).2x + 42 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 42 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 7\left( {loai} \right)\\x = 6\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
Ta có $3A_x^2 - A_{2x}^2 + 42 = 0 \Leftrightarrow 3.\frac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} - \frac{{\left( {2x} \right)!}}{{\left( {2x - 2} \right)!}} + 42 = 0$
$ \Leftrightarrow 3.\left( {x - 1} \right).x - \left( {2x - 1} \right).2x + 42 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 42 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 7\left( {loai} \right)\\x = 6\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
A. x là số chính phương.
B. x là số nguyên tố.
C. x là số chẵn.
D. x là số chia hết cho 3
Điều kiện: $x \ge 10$ và $x \in \mathbb{N}$.
Ta có $A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 10} \right)!}} + \frac{{x!}}{{\left( {x - 9} \right)!}} = 9\frac{{x!}}{{\left( {x - 8} \right)!}}$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{1} + \frac{1}{{x - 9}} = \frac{9}{{\left( {x - 9} \right)\left( {x - 8} \right)}} \Leftrightarrow {x^2} - 16x + 55 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 11\left( {nhan} \right)\\x = 5\left( {loai} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
Ta có $A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 10} \right)!}} + \frac{{x!}}{{\left( {x - 9} \right)!}} = 9\frac{{x!}}{{\left( {x - 8} \right)!}}$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{1} + \frac{1}{{x - 9}} = \frac{9}{{\left( {x - 9} \right)\left( {x - 8} \right)}} \Leftrightarrow {x^2} - 16x + 55 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 11\left( {nhan} \right)\\x = 5\left( {loai} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
A. 0.
B. 1
C. 2
D. 3
Điều kiện: $n \ge 3$ và $n \in \mathbb{N}.$
Ta có $A_n^3 + 5A_n^2 = 2\left( {n + 15} \right) \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 5.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 2n - 30 = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {n - 2} \right).\left( {n - 1} \right).n + 5.\left( {n - 1} \right).n - 2n - 30 = 0 \Leftrightarrow {n^3} + 2{n^2} - 5n - 30 = 0 \Leftrightarrow n = 3.$ Chọn B.
Ta có $A_n^3 + 5A_n^2 = 2\left( {n + 15} \right) \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 5.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 2n - 30 = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {n - 2} \right).\left( {n - 1} \right).n + 5.\left( {n - 1} \right).n - 2n - 30 = 0 \Leftrightarrow {n^3} + 2{n^2} - 5n - 30 = 0 \Leftrightarrow n = 3.$ Chọn B.
A. n = 12.
B. n = 9.
C. n = 16.
D. n = 2.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}.$
Ta có $C_{n + 1}^1 + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3 \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{1!.n!}} + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{2!.n!}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!.\left( {n - 2} \right)!}}$
$ \Leftrightarrow n + 1 + 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)}}{6} \Leftrightarrow 1 + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.}}{6}$
$ \Leftrightarrow 6 + 9n + 18 = {n^2} - n \Leftrightarrow {n^2} - 10n - 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 2\left( {loai} \right)\\n = 12\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn A.
Ta có $C_{n + 1}^1 + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3 \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{1!.n!}} + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{2!.n!}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!.\left( {n - 2} \right)!}}$
$ \Leftrightarrow n + 1 + 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)}}{6} \Leftrightarrow 1 + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.}}{6}$
$ \Leftrightarrow 6 + 9n + 18 = {n^2} - n \Leftrightarrow {n^2} - 10n - 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 2\left( {loai} \right)\\n = 12\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn A.
A. P = 4.
B. P = 32.
C. P = - 32.
D. P = 12.
Điều kiện: $0 \le x \le 12$ và $x \in \mathbb{N}$.
Ta có $C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1} \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{x!\left( {14 - x} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {x + 2} \right)!\left( {12 - x} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {x + 1} \right)!\left( {13 - x} \right)!}}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = 2.\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {13 - x} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right) = 2\left( {x + 2} \right)\left( {14 - x} \right)\end{array}$
$ \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = 8 \end{array} \right. \to P = 4.8 = 32.$
Chọn B.
Ta có $C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1} \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{x!\left( {14 - x} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {x + 2} \right)!\left( {12 - x} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {x + 1} \right)!\left( {13 - x} \right)!}}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = 2.\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {13 - x} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right) = 2\left( {x + 2} \right)\left( {14 - x} \right)\end{array}$
$ \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = 8 \end{array} \right. \to P = 4.8 = 32.$
Chọn B.
A. S = 8.
B. S = 11.
C. S = 12.
D. S = 15.
Điều kiện: $n \ge 1$ và $n \in \mathbb{N}$.
Ta có $\frac{1}{{C_n^1}} - \frac{1}{{C_{n + 1}^2}} = \frac{7}{{6C_{n + 4}^1}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{n!}} - \frac{{2!.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n + 1} \right)!}} = \frac{{7\left( {n + 3} \right)!}}{{6\left( {n + 4} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{1}{n} - \frac{2}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{7}{{6\left( {n + 4} \right)}}$
$ \Leftrightarrow {n^2} - 11n + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 3\left( {nhan} \right)\\n = 8\left( {nhan} \right)\end{array} \right. \to S = 3 + 8 = 11.$ Chọn B.
Ta có $\frac{1}{{C_n^1}} - \frac{1}{{C_{n + 1}^2}} = \frac{7}{{6C_{n + 4}^1}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{n!}} - \frac{{2!.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n + 1} \right)!}} = \frac{{7\left( {n + 3} \right)!}}{{6\left( {n + 4} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{1}{n} - \frac{2}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{7}{{6\left( {n + 4} \right)}}$
$ \Leftrightarrow {n^2} - 11n + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 3\left( {nhan} \right)\\n = 8\left( {nhan} \right)\end{array} \right. \to S = 3 + 8 = 11.$ Chọn B.
A. x = 13.
B. x = 17.
C. x = 16.
D. x = 12.
Điều kiện: $x \in \mathbb{N}$.
Ta có $C_x^0 + C_x^{x - 1} + C_x^{x - 2} = 79 \Leftrightarrow C_x^0 + C_x^1 + C_x^2 = 79$
$ \Leftrightarrow 1 + x + \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} = 79 \Leftrightarrow {x^2} + x - 156 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\left( {nhan} \right)\\x = - 13\left( {loai} \right)\end{array} \right..$ Chọn D.
Ta có $C_x^0 + C_x^{x - 1} + C_x^{x - 2} = 79 \Leftrightarrow C_x^0 + C_x^1 + C_x^2 = 79$
$ \Leftrightarrow 1 + x + \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} = 79 \Leftrightarrow {x^2} + x - 156 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\left( {nhan} \right)\\x = - 13\left( {loai} \right)\end{array} \right..$ Chọn D.
A. n = 15.
B. n = 18.
C. n = 16.
D. n = 12.
Điều kiện: $n \in \mathbb{N}$.
Ta có $C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right) \Leftrightarrow C_{n + 4}^3 - C_{n + 3}^3 = 7\left( {n + 3} \right)$
$ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{3!}} - \frac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}{{3!}} = 7 \Leftrightarrow 3n - 36 = 0 \Leftrightarrow n = 12\left( {nhan} \right).$ Chọn D.
Ta có $C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right) \Leftrightarrow C_{n + 4}^3 - C_{n + 3}^3 = 7\left( {n + 3} \right)$
$ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{3!}} - \frac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}{{3!}} = 7 \Leftrightarrow 3n - 36 = 0 \Leftrightarrow n = 12\left( {nhan} \right).$ Chọn D.
A. n = 3.
B. n = 4.
C. n = 6.
D. n = 8.
Ta có $C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 = \frac{{7n}}{2} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = \frac{{7n}}{2}$
$ \Leftrightarrow {n^2} - 16 = 0 \to n = 4.$ Chọn B.
$ \Leftrightarrow {n^2} - 16 = 0 \to n = 4.$ Chọn B.
A. S = 2.
B. S = 7.
C. S = 9.
D. S = 14.
Điều kiện: $x \ge 3$ và $x \in \mathbb{N}.$
Ta có $C_x^1 + 6C_x^2 + 6C_x^3 = 9{x^2} - 14x \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{1!.\left( {x - 1} \right)!}} + 6.\frac{{x!}}{{2!.\left( {x - 2} \right)!}} + 6.\frac{{x!}}{{3!.\left( {x - 3} \right)!}} = 9{x^2} - 14x$
$ \Leftrightarrow x + 3x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)x = 9{x^2} - 14x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {loai} \right)\\x = 2\left( {loai} \right)\\x = 7\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
Ta có $C_x^1 + 6C_x^2 + 6C_x^3 = 9{x^2} - 14x \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{1!.\left( {x - 1} \right)!}} + 6.\frac{{x!}}{{2!.\left( {x - 2} \right)!}} + 6.\frac{{x!}}{{3!.\left( {x - 3} \right)!}} = 9{x^2} - 14x$
$ \Leftrightarrow x + 3x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)x = 9{x^2} - 14x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {loai} \right)\\x = 2\left( {loai} \right)\\x = 7\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
A. n = 18.
B. n = 16.
C. n = 15.
D. n = 14.
Điều kiện: $n \ge 9$ và $n \in \mathbb{N}.$
Áp dụng công thức $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$, ta có $C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8$
$ \Leftrightarrow C_n^6 + C_n^7 + 2\left( {C_n^7 + C_n^8} \right) + C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8 \Leftrightarrow C_{n + 1}^7 + 2C_{n + 1}^8 + C_{n + 1}^9 = 2C_{n + 2}^8$
$ \Leftrightarrow \left( {C_{n + 1}^7 + C_{n + 1}^8} \right) + \left( {C_{n + 1}^8 + C_{n + 1}^9} \right) = 2C_{n + 2}^8 \Leftrightarrow C_{n + 2}^8 + C_{n + 2}^9 = 2C_{n + 2}^8$$ \Leftrightarrow C_{n + 2}^9 = C_{n + 2}^8 \to n + 2 = 9 + 8 \Leftrightarrow n = 15.$ Chọn C.
Áp dụng công thức $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$, ta có $C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8$
$ \Leftrightarrow C_n^6 + C_n^7 + 2\left( {C_n^7 + C_n^8} \right) + C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8 \Leftrightarrow C_{n + 1}^7 + 2C_{n + 1}^8 + C_{n + 1}^9 = 2C_{n + 2}^8$
$ \Leftrightarrow \left( {C_{n + 1}^7 + C_{n + 1}^8} \right) + \left( {C_{n + 1}^8 + C_{n + 1}^9} \right) = 2C_{n + 2}^8 \Leftrightarrow C_{n + 2}^8 + C_{n + 2}^9 = 2C_{n + 2}^8$$ \Leftrightarrow C_{n + 2}^9 = C_{n + 2}^8 \to n + 2 = 9 + 8 \Leftrightarrow n = 15.$ Chọn C.
A. $C_{2007}^7 = C_{2006}^7 + C_{2006}^6.$
B. $C_{2007}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^6.$
C. $C_{2007}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^{1999}.$
D. $C_{2007}^7 = C_{2006}^7 + C_{2006}^{2000}.$
Áp dụng công thức $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$, ta có $C_{2006}^6 + C_{2006}^7 = C_{2007}^7$. Do đó A đúng.
Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n - k} \to \left\{ \begin{array}{l} C_{2006}^6 = C_{2006}^{2000}\\ C_{2006}^7 = C_{2006}^{1999} \end{array} \right..$
Suy ra $C_{2007}^7 = C_{2006}^6 + C_{2006}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^{1999} = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^7$. Do đó C, D đúng; B sai.
Chọn B.
Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n - k} \to \left\{ \begin{array}{l} C_{2006}^6 = C_{2006}^{2000}\\ C_{2006}^7 = C_{2006}^{1999} \end{array} \right..$
Suy ra $C_{2007}^7 = C_{2006}^6 + C_{2006}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^{1999} = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^7$. Do đó C, D đúng; B sai.
Chọn B.
A. $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = C_{n + 1}^2.$
B. $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = A_{n + 1}^2.$
C. $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = C_n^1 + C_n^2 + .... + C_n^n.$
D. $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = A_n^1 + A_n^2 + .... + A_n^n.$
Ta có $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ và $C_{n + 1}^2 = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2!\left( {n + 1 - 2} \right)!}} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}.$
Do đó A đúng. Chọn A.
Do đó A đúng. Chọn A.
A. P = 12.
B. P = 5.
C. P = 10.
D. P = 6.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}.$
Ta có ${P_n}A_n^2 + 72 = 6\left( {A_n^2 + 2{P_n}} \right) \Leftrightarrow n!.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + 72 = 6\left[ {\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + 2.n!} \right]$
$ \Leftrightarrow n!.\left( {n - 1} \right).n + 72 = 6\left[ {\left( {n - 1} \right)n + 2.n!} \right] \Leftrightarrow \left( {n! - 6} \right)\left( {{n^2} - n - 12} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {n^2} - n - 12 = 0\\ n! - 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 4\left( {nhan} \right)\\ n = - 3\left( {loai} \right)\\ n = 3\left( {nhan} \right) \end{array} \right. \to P = 4.3 = 12.$
Chọn A.
Ta có ${P_n}A_n^2 + 72 = 6\left( {A_n^2 + 2{P_n}} \right) \Leftrightarrow n!.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + 72 = 6\left[ {\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + 2.n!} \right]$
$ \Leftrightarrow n!.\left( {n - 1} \right).n + 72 = 6\left[ {\left( {n - 1} \right)n + 2.n!} \right] \Leftrightarrow \left( {n! - 6} \right)\left( {{n^2} - n - 12} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {n^2} - n - 12 = 0\\ n! - 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 4\left( {nhan} \right)\\ n = - 3\left( {loai} \right)\\ n = 3\left( {nhan} \right) \end{array} \right. \to P = 4.3 = 12.$
Chọn A.
A. P = 7.
B. P = 4.
C. P = 28.
D. P = 14.
Điều kiện: $x \ge 1$ và $x \in \mathbb{N}$.
Ta có $7\left( {A_{x + 1}^{x - 1} + 2{P_{x - 1}}} \right) = 30{P_x} \Leftrightarrow 7\left[ {\frac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{2!}} + 2\left( {x - 1} \right)!} \right] = 30x!$
$ \Leftrightarrow 7\left[ {\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{2} + 2} \right] = 30x \Leftrightarrow 7{x^2} - 53x + 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\left( {nhan} \right)\\x = \frac{4}{7}\left( {loai} \right)\end{array} \right. \to P = 7.$ Chọn A.
Ta có $7\left( {A_{x + 1}^{x - 1} + 2{P_{x - 1}}} \right) = 30{P_x} \Leftrightarrow 7\left[ {\frac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{2!}} + 2\left( {x - 1} \right)!} \right] = 30x!$
$ \Leftrightarrow 7\left[ {\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{2} + 2} \right] = 30x \Leftrightarrow 7{x^2} - 53x + 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\left( {nhan} \right)\\x = \frac{4}{7}\left( {loai} \right)\end{array} \right. \to P = 7.$ Chọn A.
A. n = 15.
B. n = 17.
C. n = 6.
D. n = 14.
Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n - k}$, ta có $C_{n + 8}^{n + 3} = 5A_{n + 6}^3 \Leftrightarrow C_{n + 8}^5 = 5.A_{n + 6}^3$
$ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 8} \right)\left( {n + 7} \right)}}{{5!}} = 5 \Leftrightarrow {n^2} + 15n - 544 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 17\left( {nhan} \right)\\n = - 32\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
$ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 8} \right)\left( {n + 7} \right)}}{{5!}} = 5 \Leftrightarrow {n^2} + 15n - 544 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 17\left( {nhan} \right)\\n = - 32\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
A. x = 4.
B. x = 3.
C. x = 7.
D. x = 12.
Điều kiện: $x \ge 2$ và $x \in \mathbb{N}$.
Ta có $A_x^2.C_x^{x - 1} = 48 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}}.\frac{{x!}}{{\left( {x - 1} \right)!.1!}} = 48$
$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)x.x = 48 \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow x = 4\left( {tho\^u a ma\~o n} \right).$ Chọn A.
Ta có $A_x^2.C_x^{x - 1} = 48 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}}.\frac{{x!}}{{\left( {x - 1} \right)!.1!}} = 48$
$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)x.x = 48 \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow x = 4\left( {tho\^u a ma\~o n} \right).$ Chọn A.
A. n = 3.
B. n = 5.
C. n = 4.
D. n = 6.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}.$
Ta có $A_n^2 - C_{n + 1}^{n - 1} = 5 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!2!}} = 5 \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right).n - \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 5 = 0$
$ \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 2\;\left( {loai} \right)\\n = 5\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
Ta có $A_n^2 - C_{n + 1}^{n - 1} = 5 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!2!}} = 5 \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right).n - \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 5 = 0$
$ \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 2\;\left( {loai} \right)\\n = 5\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
A. P = 5.
B. P = 6.
C. P = 30.
D. P = 360.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}.$
Ta có $A_n^2 - 3C_n^2 = 15 - 5n \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 3.\frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} = 15 - 5n$
$ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - 3\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 15 - 5n \Leftrightarrow - {n^2} + 11n - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 6\left( {nhan} \right)\\n = 5\left( {nhan} \right)\end{array} \right.$
-> P = 5.6 = 30
Chọn C.
Ta có $A_n^2 - 3C_n^2 = 15 - 5n \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 3.\frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} = 15 - 5n$
$ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - 3\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 15 - 5n \Leftrightarrow - {n^2} + 11n - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 6\left( {nhan} \right)\\n = 5\left( {nhan} \right)\end{array} \right.$
-> P = 5.6 = 30
Chọn C.
A. x = 3.
B. x = 1.
C. x = 5.
D. $x = 1;{\rm{ }}x = 5.$
Điều kiện: $x \ge 4$ và $x \in \mathbb{N}$.
Ta có $3A_x^4 = 24\left( {A_{x + 1}^3 - C_x^{x - 4}} \right) \Leftrightarrow 23.\frac{{x!}}{{\left( {x - 4} \right)!}} = 24.\left[ {\frac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} - \frac{{x!}}{{\left( {x - 4} \right)!.4!}}} \right]$
$ \Leftrightarrow 23.\frac{1}{{\left( {x - 4} \right)!}} = 24.\left[ {\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)!}} - \frac{1}{{\left( {x - 4} \right)!.4!}}} \right] \Leftrightarrow 23.\frac{1}{1} = 24.\left[ {\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{1}{{1.24}}} \right]$
$ \Leftrightarrow 23 = 24.\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} - 1 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {loai} \right)\\x = 5\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn C.
Ta có $3A_x^4 = 24\left( {A_{x + 1}^3 - C_x^{x - 4}} \right) \Leftrightarrow 23.\frac{{x!}}{{\left( {x - 4} \right)!}} = 24.\left[ {\frac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} - \frac{{x!}}{{\left( {x - 4} \right)!.4!}}} \right]$
$ \Leftrightarrow 23.\frac{1}{{\left( {x - 4} \right)!}} = 24.\left[ {\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)!}} - \frac{1}{{\left( {x - 4} \right)!.4!}}} \right] \Leftrightarrow 23.\frac{1}{1} = 24.\left[ {\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{1}{{1.24}}} \right]$
$ \Leftrightarrow 23 = 24.\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} - 1 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {loai} \right)\\x = 5\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn C.
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.
Điều kiện: $n \in \mathbb{N}$.
Ta có $\frac{{A_{n + 4}^4}}{{\left( {n + 2} \right)!}} < \frac{{15}}{{\left( {n - 1} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 4} \right)!}}{{\left( {n + 2} \right)!.n!}} < \frac{{15}}{{\left( {n - 1} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right)}}{n} < 15$
$ \Leftrightarrow \left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right) < 15n \Leftrightarrow {n^2} - 8n + 12 < 0 \Leftrightarrow 2 < n < 6 \to n \in \left\{ {3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5} \right\}.$ Chọn C.
Ta có $\frac{{A_{n + 4}^4}}{{\left( {n + 2} \right)!}} < \frac{{15}}{{\left( {n - 1} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 4} \right)!}}{{\left( {n + 2} \right)!.n!}} < \frac{{15}}{{\left( {n - 1} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right)}}{n} < 15$
$ \Leftrightarrow \left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right) < 15n \Leftrightarrow {n^2} - 8n + 12 < 0 \Leftrightarrow 2 < n < 6 \to n \in \left\{ {3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5} \right\}.$ Chọn C.
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}$.
Ta có $2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 < 0 \Leftrightarrow 2\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2!.\left( {n - 1} \right)!}} + 3.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 20 < 0$
$ \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) + 3\left( {n - 1} \right)n - 20 < 0 \Leftrightarrow 2{n^2} - n - 10 < 0 \Leftrightarrow - 2 < n < \frac{5}{2} \to n = 2.$ Chọn A.
Ta có $2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 < 0 \Leftrightarrow 2\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2!.\left( {n - 1} \right)!}} + 3.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 20 < 0$
$ \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) + 3\left( {n - 1} \right)n - 20 < 0 \Leftrightarrow 2{n^2} - n - 10 < 0 \Leftrightarrow - 2 < n < \frac{5}{2} \to n = 2.$ Chọn A.
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.
Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}$.
Ta có $2C_{n + 1}^2 + {\rm{ }}3A_n^2 < 30 \Leftrightarrow 2.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2!\left( {n - 1} \right)!}} + 3.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} < 30$
$ \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) + 3\left( {n - 1} \right)x < 30 \Leftrightarrow 2{n^2} - n - 15 < 0 \Leftrightarrow - \frac{5}{2} < n < 3 \to n = 2.$ Chọn A.
Ta có $2C_{n + 1}^2 + {\rm{ }}3A_n^2 < 30 \Leftrightarrow 2.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2!\left( {n - 1} \right)!}} + 3.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} < 30$
$ \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) + 3\left( {n - 1} \right)x < 30 \Leftrightarrow 2{n^2} - n - 15 < 0 \Leftrightarrow - \frac{5}{2} < n < 3 \to n = 2.$ Chọn A.
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.
Điều kiện: $n \ge 3$ và $n \in \mathbb{N}$.
Ta có $14.{P_3}C_{n - 1}^{n - 3} < A_{n + 1}^4 \Leftrightarrow 14.3!.\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 3} \right)!.2!}} < \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 3} \right)!}}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 42\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right) < \left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right) \Leftrightarrow 42 < n\left( {n + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {n^2} + n - 42 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n < - 7\\n > 6\end{array} \right.\end{array}$
$ \to \left\{ \begin{array}{l}n \ge 7\\n \in \mathbb{N}\end{array} \right..$ Chọn D.
Ta có $14.{P_3}C_{n - 1}^{n - 3} < A_{n + 1}^4 \Leftrightarrow 14.3!.\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 3} \right)!.2!}} < \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 3} \right)!}}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 42\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right) < \left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right) \Leftrightarrow 42 < n\left( {n + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {n^2} + n - 42 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n < - 7\\n > 6\end{array} \right.\end{array}$
$ \to \left\{ \begin{array}{l}n \ge 7\\n \in \mathbb{N}\end{array} \right..$ Chọn D.
A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = 8\end{array} \right..$
B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = - 8\end{array} \right..$
C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 8\end{array} \right..$
D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 9\end{array} \right..$
Điều kiện: $x \ge y + 1$ và $x,y \in \mathbb{N}$.
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C_x^y - C_x^{y + 1} = 0}&{\left( 1 \right)}\\{4C_x^y - 5C_x^{y - 1} = 0}&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$.
Phương trình $\left( 1 \right) \Leftrightarrow C_x^y = C_x^{y + 1} \Leftrightarrow y + y + 1 = x \Leftrightarrow x - 2y - 1 = 0$.
Phương trình $\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4C_x^y = 5C_x^{y - 1} \Leftrightarrow 4.\frac{{x!}}{{y!.\left( {x - y} \right)!}} = 5.\frac{{x!}}{{\left( {y - 1} \right)!.\left( {x - y + 1} \right)!}}$
$ \Leftrightarrow \frac{4}{y} = \frac{5}{{x - y + 1}} \Leftrightarrow 4x - 9y + 4 = 0.$
Do đó hệ phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y - 1 = 0\\4x - 9y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = 8\end{array} \right.\left( {tho\^u a ma\~o n} \right).$ Chọn A.
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C_x^y - C_x^{y + 1} = 0}&{\left( 1 \right)}\\{4C_x^y - 5C_x^{y - 1} = 0}&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$.
Phương trình $\left( 1 \right) \Leftrightarrow C_x^y = C_x^{y + 1} \Leftrightarrow y + y + 1 = x \Leftrightarrow x - 2y - 1 = 0$.
Phương trình $\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4C_x^y = 5C_x^{y - 1} \Leftrightarrow 4.\frac{{x!}}{{y!.\left( {x - y} \right)!}} = 5.\frac{{x!}}{{\left( {y - 1} \right)!.\left( {x - y + 1} \right)!}}$
$ \Leftrightarrow \frac{4}{y} = \frac{5}{{x - y + 1}} \Leftrightarrow 4x - 9y + 4 = 0.$
Do đó hệ phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y - 1 = 0\\4x - 9y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = 8\end{array} \right.\left( {tho\^u a ma\~o n} \right).$ Chọn A.
A. $\left( {x;y} \right) = \left( {8;3} \right).$
B. $\left( {x;y} \right) = \left( {3;8} \right).$
C. $\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;0} \right).$
D. $\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;0} \right),{\rm{ }}\left( {x;y} \right) = \left( {8;3} \right).$
Điều kiện: $x \ge y + 1$ và $x,y \in \mathbb{N}$.
$\frac{{C_{x + 1}^y}}{6} = \frac{{C_x^{y + 1}}}{5} \Leftrightarrow 5.C_{x + 1}^y = 6.C_x^{y + 1} \Leftrightarrow \frac{{5\left( {x + 1} \right)!}}{{y!\left( {x + 1 - y} \right)!}} = \frac{{6x!}}{{\left( {y + 1} \right)!\left( {x - y - 1} \right)!}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)}} = \frac{6}{{\left( {y + 1} \right)}} \Leftrightarrow 5\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 6\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)$. $\left( 1 \right)$
$\frac{{C_x^{y + 1}}}{5} = \frac{{C_x^{y - 1}}}{2} \Leftrightarrow 2.C_x^{y + 1} = 5.C_x^{y - 1} \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{5.\left( {y + 1} \right)!.\left( {x - y - 1} \right)!}} = \frac{{x!}}{{2.\left( {y - 1} \right)!.\left( {x - y + 1} \right)!}}$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{5.y\left( {y + 1} \right)}} = \frac{1}{{2.\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)}}$ $ \Leftrightarrow 5.y\left( {y + 1} \right) = 2.\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right) \Leftrightarrow 15.y\left( {y + 1} \right) = 6.\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $ \Leftrightarrow 5\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 15.y\left( {y + 1} \right) \Leftrightarrow x + 1 = 3y$. Thay vào $\left( 1 \right)$, ta được
$ \Leftrightarrow 15\left( {y + 1} \right)y = 6\left( {2y - 1} \right)2y \Leftrightarrow 3{y^2} - 9y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0 \to x = - 1\left( {loai} \right)\\y = 3 \to x = 8\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn A.
$\frac{{C_{x + 1}^y}}{6} = \frac{{C_x^{y + 1}}}{5} \Leftrightarrow 5.C_{x + 1}^y = 6.C_x^{y + 1} \Leftrightarrow \frac{{5\left( {x + 1} \right)!}}{{y!\left( {x + 1 - y} \right)!}} = \frac{{6x!}}{{\left( {y + 1} \right)!\left( {x - y - 1} \right)!}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)}} = \frac{6}{{\left( {y + 1} \right)}} \Leftrightarrow 5\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 6\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)$. $\left( 1 \right)$
$\frac{{C_x^{y + 1}}}{5} = \frac{{C_x^{y - 1}}}{2} \Leftrightarrow 2.C_x^{y + 1} = 5.C_x^{y - 1} \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{5.\left( {y + 1} \right)!.\left( {x - y - 1} \right)!}} = \frac{{x!}}{{2.\left( {y - 1} \right)!.\left( {x - y + 1} \right)!}}$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{5.y\left( {y + 1} \right)}} = \frac{1}{{2.\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)}}$ $ \Leftrightarrow 5.y\left( {y + 1} \right) = 2.\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right) \Leftrightarrow 15.y\left( {y + 1} \right) = 6.\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $ \Leftrightarrow 5\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 15.y\left( {y + 1} \right) \Leftrightarrow x + 1 = 3y$. Thay vào $\left( 1 \right)$, ta được
$ \Leftrightarrow 15\left( {y + 1} \right)y = 6\left( {2y - 1} \right)2y \Leftrightarrow 3{y^2} - 9y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0 \to x = - 1\left( {loai} \right)\\y = 3 \to x = 8\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn A.
A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right..$
B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 8\end{array} \right..$
C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right.,{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 8\end{array} \right..$
D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 8\end{array} \right..$
Điều kiện: $y \ge x$ và $x,y \in \mathbb{N}$.
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C_y^x:C_{y + 2}^x = \frac{1}{3}}&{\left( 1 \right)}\\{C_y^x:A_y^x = \frac{1}{{24}}}&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right..$
Phương trình $\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{C_y^x}}{{A_y^x}} = \frac{1}{{24}} \Leftrightarrow 24C_y^x = A_y^x \Leftrightarrow 24.\frac{{y!}}{{x!\left( {y - x} \right)!}} = \frac{{y!}}{{\left( {y - x} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{{24}}{{x!}} = 1 \Leftrightarrow x = 4$.
Thay $x = 4$ vào $\left( 1 \right)$, ta được $\frac{{C_y^4}}{{C_{y + 2}^4}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3C_y^4 = C_{y + 2}^4 \Leftrightarrow 3.\frac{{y!}}{{4!.\left( {y - 4} \right)!}} = \frac{{\left( {y + 2} \right)!}}{{4!.\left( {y - 2} \right)!}}$
$ \Leftrightarrow \frac{3}{1} = \frac{{\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right)}}{{\left( {y - 3} \right)\left( {y - 2} \right)}} \Leftrightarrow {y^2} - 9y + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1 < 4 = x\left( {nhan} \right)\\y = 8 > 4 = x\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C_y^x:C_{y + 2}^x = \frac{1}{3}}&{\left( 1 \right)}\\{C_y^x:A_y^x = \frac{1}{{24}}}&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right..$
Phương trình $\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{C_y^x}}{{A_y^x}} = \frac{1}{{24}} \Leftrightarrow 24C_y^x = A_y^x \Leftrightarrow 24.\frac{{y!}}{{x!\left( {y - x} \right)!}} = \frac{{y!}}{{\left( {y - x} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{{24}}{{x!}} = 1 \Leftrightarrow x = 4$.
Thay $x = 4$ vào $\left( 1 \right)$, ta được $\frac{{C_y^4}}{{C_{y + 2}^4}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3C_y^4 = C_{y + 2}^4 \Leftrightarrow 3.\frac{{y!}}{{4!.\left( {y - 4} \right)!}} = \frac{{\left( {y + 2} \right)!}}{{4!.\left( {y - 2} \right)!}}$
$ \Leftrightarrow \frac{3}{1} = \frac{{\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right)}}{{\left( {y - 3} \right)\left( {y - 2} \right)}} \Leftrightarrow {y^2} - 9y + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1 < 4 = x\left( {nhan} \right)\\y = 8 > 4 = x\left( {nhan} \right)\end{array} \right..$ Chọn B.
A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 2\end{array} \right..$
B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 10\end{array} \right..$
C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right..$
D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 3\end{array} \right..$
Điều kiện: $x \ge y$ và $x,y \in \mathbb{N}$.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = A_x^y\\v = C_x^y\end{array} \right.$, ta được $\left\{ \begin{array}{l}2u + 5v = 90\\5u - 2v = 80\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 20\\v = 10\end{array} \right.$.
Ta có $A_n^k = k!C_n^k \to u = y!.v \Leftrightarrow 20 = y!.10 \Leftrightarrow y! = 2 \Leftrightarrow y = 2.$
Với $u = 20$, suy ra $A_x^y = 20 \Leftrightarrow A_x^2 = 20 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} = 20 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)x = 20 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 4\left( {loai} \right)\end{array} \right..$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 2\end{array} \right..$ Chọn A.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = A_x^y\\v = C_x^y\end{array} \right.$, ta được $\left\{ \begin{array}{l}2u + 5v = 90\\5u - 2v = 80\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 20\\v = 10\end{array} \right.$.
Ta có $A_n^k = k!C_n^k \to u = y!.v \Leftrightarrow 20 = y!.10 \Leftrightarrow y! = 2 \Leftrightarrow y = 2.$
Với $u = 20$, suy ra $A_x^y = 20 \Leftrightarrow A_x^2 = 20 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} = 20 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)x = 20 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 4\left( {loai} \right)\end{array} \right..$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 2\end{array} \right..$ Chọn A.
Sửa lần cuối: