Giải bài 4 trang 44 SGK Giải tích lớp 12. Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Đề bài
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) \({x^3}-3{x^2} + 5 = 0\);
b) \(- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0\) ;
c) \(2{x^2}-{x^4} = - 1\).
thpttranquoctuan Giải​
a) Xét hàm số: \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\)
+) Tập xác định: \(D=R.\)
+) Sự biến thiên:
Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}-6x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right..\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( \infty ;0 \right)\) và \(\left( 2;+\infty \right)\); hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;\ 2 \right).\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\ \ {{y}_{CD}}=5.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2;\ \ {{y}_{CT}}=1.\)
+) Giới hạn: \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty ;\ \ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty .\)
Bảng biến thiên:
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các.png

+) Đồ thị hàm số:
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các_1.png

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm \(\left( 0;\ 5 \right).\)
Số nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\) và trục hoành.
Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

b) \(-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0.\)
Ta có: \(Pt\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-2.\)
Xét hàm số: \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.\)
Tập xác định: \(D=R.\)
Ta có: \(y'=6{{x}^{2}}-6x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right..\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\ 0 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right);\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;\ 1 \right).\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\ \ {{y}_{CD}}=0.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1;\ {{y}_{CT}}=-1.\)
Giới hạn: \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty ;\ \ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty .\)
Bảng biến thiên:
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các_3.png

Đồ thị:
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các_4.png

Số nghiệm của phương trình \(-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1=0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) và đường thẳng \(y=-2.\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y=-2\) cắt đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

c) \(2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1.\)
Xét hàm số: \(y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}.\)
Tập xác định: \(D=R.\)
Sự biến thiên: \(y'=4x-4{{x}^{3}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 4x-4{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{align} \right..\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\ -1 \right)\) và \(\left( 0;\ 1 \right);\) hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -1;\ 0 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right).\)
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=1;\ \ {{y}_{CD}}=1.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;\ {{y}_{CT}}=0.\)
Giới hạn: \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,=-\infty .\)
Bảng biến thiên:
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các_5.png

Đồ thị:
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các_6.png

Số nghiệm của phương trình \(2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}\) và đường thẳng \(y=-1.\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y=-1\) cắt đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}\) tại hai điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Học toán lớp 12​