Phương pháp áp dụng
Bài toán thường được đặt ra dưới dạng: "Cho hàm số y = f(x), hãy giải phương trình g(y, y') = 0". Khi đó, ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Tính đạo hàm y'.
Bước 2: Chuyển phương trình g(y, y') = 0 về phương trình đại số thông thường để giải.
Thí dụ 1: Tìm các nghiệm của phương trình sau:
a. f'(x) = 0 với f(x) = $\frac{1}{3}$x$^3$ - 2x$^2$ - 6x - 1.
b. f'(x) = -5 với f(x) = $\frac{1}{4}$x$^4$ - x$^3$ - $\frac{3}{2}$x$^2$ - 3.
Khi đó, phương trình có dạng: x$^2$ - 4x - 6 = 0 <=> x ≈ 5,162 hoặc x ≈ -1,162.
b. Trước tiên, ta có: f'(x) = x$^3$ - 3x$^2$ - 3x.
Khi đó, phương trình có dạng: x$^3$ - 3x$^2$ - 3x = -5
<=> x$^3$ - 3x$^2$ - 3x + 5 = 0 <=> (x - 1)(x$^2$ - 2x - 5) = 0
<=> x = 1 hoặc x ≈ 3,449 hoặc x ≈ -1,449.
Thí dụ 2. Cho hàm số f(x) = x$^3$ - 3x$^2$ + 2. Hãy giải bất phương trình:
a. f'(x) > 0.
b. f'(x) ≤ 3.
a. Bất phương trình có dạng: 3x$^2$ - 6x > 0 <=> x$^2$ - 2x > 0 <=> x > 2 hoặc x < 0.
b. Bất phương trình có dạng: 3x$^2$ - 6x ≤ 3 <=> x$^2$ - 2x - 1 ≤ 0 <=> 1 - $\sqrt 2 $ ≤ x ≤ 1 + $\sqrt 2 $.
Thí dụ 3: Giải phương trình y' = 0 trong mỗi trường hợp sau:
a. y = sin2x - 2cosx.
b. y = 3sin2x + 4cos2x + 10x.
c. y = cos$^2$x + sinx.
d. y = tanx + cotx.
Khi đó, phương trình có dạng: 2cos2x + 2sinx = 0
<=> cos2x = -sinx = cos(x + $\frac{\pi }{2}$)
<=> $\left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{2} + 2k\pi \\2x = - x - \frac{\pi }{2} + 2k\pi \end{array} \right.$ <=> $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{2k\pi }}{3}\end{array} \right.$, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.
b. Trước tiên, ta có:
y' = 6cos2x - 8sin2x + 10.
Khi đó, phương trình có dạng: 6cos2x - 8sin2x + 10 = 0
<=> 4sin2x - 3cos2x = 5
<=> $\frac{4}{5}$sin2x - $\frac{3}{5}$cos2x = 1.
Đặt $\frac{4}{5}$ = cos2α thì $\frac{3}{5}$ = sin2α, do đó ta được:
sin2xcos2α - sin2α.cos2x = 1 <=> sin(2x - 2α) = 1
<=> 2x - 2α = $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ <=> x = α + $\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
Vậy, phương trình có một họ nghiệm.
c. Trước tiên, ta có: y' = -2sinx.cosx + cosx = -sin2x + cosx.
Khi đó, phương trình có dạng: -sin2x + cosx = 0 <=> sin2x = cosx = sin($\frac{\pi }{2}$ - x)
<=> $\left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} - x + 2k\pi \\2x = \pi - \frac{\pi }{2} + x + 2k\pi \end{array} \right.$ <=> $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{2k\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \end{array} \right.$, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.
d. Trước tiên, ta có: y' = $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ - $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$.
Khi đó, phương trình có dạng:
$\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ - $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ = 0 <=> $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ = $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ <=> tan2x = 1 <=> tanx = 1
<=> x = ± $\frac{\pi }{4}$ + kπ <=> x = $\frac{\pi }{4}$ + $\frac{{k\pi }}{2}$, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
Thí dụ 4: Cho hàm số y = mx$^3$ + x$^2$ + x - 5. Tìm m để:
a. y' bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b. y' có hai nghiệm trái dấu.
c. y' > 0 với mọi x.
a. Để y' bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}3m \ne 0\\1 - 3m = 0\end{array} \right.\) <=> m = $\frac{1}{3}$.
Vậy, với m = $\frac{1}{3}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
b. Để y' có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình:
3mx$^2$ + 2x + 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu
<=> P < 0 <=> 3m < 0 <=> m < 0.
Vậy, với m < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.
c. Để y' > 0 với mọi x khi và chỉ khi: 3mx$^2$ + 2x + 1 > 0 ∀x.
Trường hợp 1: Với m = 0 ta được: 2x + 1 > 0 <=> x > -$\frac{1}{2}$, không thoả mãn với mọi x.
Trường hợp 2: Với m ≠ 0 điều kiện là:
$\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}3m > 0\\1 - 3m < 0\end{array} \right.$
<=> m > $\frac{1}{3}$.
Vậy, với m > $\frac{1}{3}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 4: Cho hàm số y = 4sinx + 3cosx + 5x. Hãy giải phương trình y' = 0.
Khi đó: y' = 0 <=> 4cosx - 3sinx + 5 = 0
<=> 3sinx - 4cosx = 5
<=> $\frac{3}{5}$sinx - $\frac{4}{5}$cosx = 1.
Đặt $\frac{3}{5}$ = cosα và = $\frac{4}{5}$sinα, phương trình được chuyển về dạng:
sinx.cosα - cosx.sinα = 1
<=> sin(x - α) = 1
<=> x - α = $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ
<=> x = α + $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, k ∈ Z.
Vậy, phương trình có nghiệm x = α + $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, k ∈ Z.
Bài toán thường được đặt ra dưới dạng: "Cho hàm số y = f(x), hãy giải phương trình g(y, y') = 0". Khi đó, ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Tính đạo hàm y'.
Bước 2: Chuyển phương trình g(y, y') = 0 về phương trình đại số thông thường để giải.
Thí dụ 1: Tìm các nghiệm của phương trình sau:
a. f'(x) = 0 với f(x) = $\frac{1}{3}$x$^3$ - 2x$^2$ - 6x - 1.
b. f'(x) = -5 với f(x) = $\frac{1}{4}$x$^4$ - x$^3$ - $\frac{3}{2}$x$^2$ - 3.
Giải
a. Trước tiên, ta có: f'(x) = x$^2$ - 4x - 6.Khi đó, phương trình có dạng: x$^2$ - 4x - 6 = 0 <=> x ≈ 5,162 hoặc x ≈ -1,162.
b. Trước tiên, ta có: f'(x) = x$^3$ - 3x$^2$ - 3x.
Khi đó, phương trình có dạng: x$^3$ - 3x$^2$ - 3x = -5
<=> x$^3$ - 3x$^2$ - 3x + 5 = 0 <=> (x - 1)(x$^2$ - 2x - 5) = 0
<=> x = 1 hoặc x ≈ 3,449 hoặc x ≈ -1,449.
Thí dụ 2. Cho hàm số f(x) = x$^3$ - 3x$^2$ + 2. Hãy giải bất phương trình:
a. f'(x) > 0.
b. f'(x) ≤ 3.
Giải
Trước tiên, ta có f'(x) = 3x$^2$ - 6x.a. Bất phương trình có dạng: 3x$^2$ - 6x > 0 <=> x$^2$ - 2x > 0 <=> x > 2 hoặc x < 0.
b. Bất phương trình có dạng: 3x$^2$ - 6x ≤ 3 <=> x$^2$ - 2x - 1 ≤ 0 <=> 1 - $\sqrt 2 $ ≤ x ≤ 1 + $\sqrt 2 $.
Thí dụ 3: Giải phương trình y' = 0 trong mỗi trường hợp sau:
a. y = sin2x - 2cosx.
b. y = 3sin2x + 4cos2x + 10x.
c. y = cos$^2$x + sinx.
d. y = tanx + cotx.
Giải
a. Trước tiên, ta có: y' = 2cos2x + 2sinx.Khi đó, phương trình có dạng: 2cos2x + 2sinx = 0
<=> cos2x = -sinx = cos(x + $\frac{\pi }{2}$)
<=> $\left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{2} + 2k\pi \\2x = - x - \frac{\pi }{2} + 2k\pi \end{array} \right.$ <=> $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{2k\pi }}{3}\end{array} \right.$, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.
b. Trước tiên, ta có:
y' = 6cos2x - 8sin2x + 10.
Khi đó, phương trình có dạng: 6cos2x - 8sin2x + 10 = 0
<=> 4sin2x - 3cos2x = 5
<=> $\frac{4}{5}$sin2x - $\frac{3}{5}$cos2x = 1.
Đặt $\frac{4}{5}$ = cos2α thì $\frac{3}{5}$ = sin2α, do đó ta được:
sin2xcos2α - sin2α.cos2x = 1 <=> sin(2x - 2α) = 1
<=> 2x - 2α = $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ <=> x = α + $\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
Vậy, phương trình có một họ nghiệm.
c. Trước tiên, ta có: y' = -2sinx.cosx + cosx = -sin2x + cosx.
Khi đó, phương trình có dạng: -sin2x + cosx = 0 <=> sin2x = cosx = sin($\frac{\pi }{2}$ - x)
<=> $\left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} - x + 2k\pi \\2x = \pi - \frac{\pi }{2} + x + 2k\pi \end{array} \right.$ <=> $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{2k\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \end{array} \right.$, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.
d. Trước tiên, ta có: y' = $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ - $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$.
Khi đó, phương trình có dạng:
$\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ - $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ = 0 <=> $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ = $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ <=> tan2x = 1 <=> tanx = 1
<=> x = ± $\frac{\pi }{4}$ + kπ <=> x = $\frac{\pi }{4}$ + $\frac{{k\pi }}{2}$, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
Thí dụ 4: Cho hàm số y = mx$^3$ + x$^2$ + x - 5. Tìm m để:
a. y' bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b. y' có hai nghiệm trái dấu.
c. y' > 0 với mọi x.
Giải
Trước tiên, ta có y' = 3mx$^2$ + 2x + 1.a. Để y' bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}3m \ne 0\\1 - 3m = 0\end{array} \right.\) <=> m = $\frac{1}{3}$.
Vậy, với m = $\frac{1}{3}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
b. Để y' có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình:
3mx$^2$ + 2x + 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu
<=> P < 0 <=> 3m < 0 <=> m < 0.
Vậy, với m < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.
c. Để y' > 0 với mọi x khi và chỉ khi: 3mx$^2$ + 2x + 1 > 0 ∀x.
Trường hợp 1: Với m = 0 ta được: 2x + 1 > 0 <=> x > -$\frac{1}{2}$, không thoả mãn với mọi x.
Trường hợp 2: Với m ≠ 0 điều kiện là:
$\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}3m > 0\\1 - 3m < 0\end{array} \right.$
<=> m > $\frac{1}{3}$.
Vậy, với m > $\frac{1}{3}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 4: Cho hàm số y = 4sinx + 3cosx + 5x. Hãy giải phương trình y' = 0.
Giải
Ta có: y' = 4cosx - 3sinx + 5.Khi đó: y' = 0 <=> 4cosx - 3sinx + 5 = 0
<=> 3sinx - 4cosx = 5
<=> $\frac{3}{5}$sinx - $\frac{4}{5}$cosx = 1.
Đặt $\frac{3}{5}$ = cosα và = $\frac{4}{5}$sinα, phương trình được chuyển về dạng:
sinx.cosα - cosx.sinα = 1
<=> sin(x - α) = 1
<=> x - α = $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ
<=> x = α + $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, k ∈ Z.
Vậy, phương trình có nghiệm x = α + $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, k ∈ Z.
Nguồn: Học Lớp