Dạng toán 7: Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác

Thí dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = 5sinx - 3cosx.
b. y = sin(x$^2$ - 3x + 2).
a. Ta có ngay: y' = 5cosx + 3sinx.
b. Ta có ngay: y'= (x2 - 3x + 2)’.cos(x$^2$ - 3x + 2) = (2x - 3).cos(x$^2$ - 3x + 2).

Thí dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = cos$\sqrt {2x + 1} $.
b. y = sin3x.cos5x.
a. Ta có ngay: $y' = \left( {\sqrt {2x + 1} } \right)'.\sin \sqrt {2x + 1} $$ = \frac{2}{{2\sqrt {2x + 1} }}.\sin \sqrt {2x + 1} $$ = - \frac{{\sin \sqrt {2x + 1} }}{{\sqrt {2x + 1} }}.$
b. Ta có các cách thực hiện sau:
Cách 1: Ta có ngay y’ = 3cos3x.cos5x - 5sin3x.sin5x.
Cách 2: Ta biến đổi:
\(y = \frac{1}{2}\left( {\sin 8x - \sin 2x} \right)\) \( \Rightarrow \,\,y' = \frac{1}{2}\left( {8co{\mathop{\rm s}\nolimits} 8x - 2co{\mathop{\rm s}\nolimits} 2x} \right)\)\( = 4co{\mathop{\rm s}\nolimits} 8x - co{\mathop{\rm s}\nolimits} 2x.\)

Thí dụ 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = $\sqrt {1 + 2\tan x} $.
b. y = tan3x - cot3x.
a. Ta có: $y' = \frac{{\left( {2\tan x} \right)'}}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}$$ = \frac{{\frac{2}{{{{\cos }^2}x}}}}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}$$ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x\sqrt {1 + 2\tan x} }}$.
b. Ta có các cách thực hiện sau:
Cách 1: Ta có ngay:
y’ = $\frac{3}{{{{\cos }^2}3x}} + \frac{3}{{{{\sin }^2}3x}}$$ = \frac{3}{{{{\sin }^2}3x.{{\cos }^2}3x}}$$ = \frac{3}{{\frac{1}{4}{{\sin }^2}6x}}$$ = \frac{{12}}{{{{\sin }^2}6x}}$.
Cách 2: Ta biến đổi:
$y = \frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}} - \frac{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} 3x}}{{\sin 3x}}$$ = \frac{{{{\sin }^2}3x - co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^2}3x}}{{\cos 3x.\sin 3x}}$$ = - \frac{{2co{\mathop{\rm s}\nolimits} 6x}}{{\sin 6x}}$ = - 2cot6x
$y' = \frac{{12}}{{{{\sin }^2}6x}}.$

Thí dụ 4. Chứng minh rằng hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: y = sin$^6$x + cos$^6$x + 3sin$^2$x.cos$^2$x.
Viết lại hàm số dưới dạng: y = (sin$^2$x + cos$^2$x)$^3$ - 3sin$^2$x.cos$^2$x(sin$^2$x + cos$^2$x) + 3sin$^2$x.cos$^2$x = 1.
Khi đó: y' = (1)' = 0.
Vậy, hàm số có đạo hàm không phụ thuộc x.
* Nhận xét: Như vậy, nếu các em học sinh không thực hiện việc đơn giản hàm số trước khi lấy đạo hàm thì sẽ phải thực hiệm những phép biến đổi khác, cụ thể:
y’ = 6sin$^5$x.cosx - 6cos$^5$x.cosx + 3(2sinx.cos$^3$x - 2sin$^3$x.cosx)
= 6 sinx.cosx(sin$^4$x - cos$^4$x + cos$^2$x - sin$^2$x)
= 6 sinx.cosx[(sin$^2$x - cos$^2$x)(sin$^2$x + cos$^2$x) + cos$^2$x - sin$^2$x]
= 6 sinx.cosx(sin$^2$x - cos$^2$x + cos$^2$x - sin$^2$x) = 0.

Thí dụ 5. Tính đạo hàm của hàm số: y = $\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} } } $ với x ∈ (0; π).
Biến đổi hàm số về dạng:
y = $\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} } } $ = $\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {{{\cos }^2}\frac{x}{2}} } } $
= $\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}} } $ = $\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {{{\cos }^2}\frac{x}{4}} } $ = $\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{4}} $
= $\sqrt {{{\cos }^2}\frac{x}{8}} $ = cos$\frac{x}{8}$.
Do đó y' = ( cos$\frac{x}{8}$)' = -$\frac{1}{8}$sin$\frac{x}{8}$.

Xem thêm: Lý thuyết đạo hàm và 13 dạng đạo hàm quan trọng