Dạng toán 5: Tính tổng của một cấp số nhân

Phương pháp áp dụng
Thông thường bài toán được chuyển về tính tổng của một cấp số nhân.

Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1. Tính các tổng sau:
a. S = 2 + 6 + 18 + … + 13122.
b. S = 1 + 2.2 + 3.2$^2$ + … + 100.2$^{99}$. (1)
a. Xét cấp số nhân (u$_n$) có u$_1$ = 2 và công bội q = 3, ta được:
13122 = u$_n$ = u$_1$.q$^{n – 1}$ = 2.3$^{n – 1}$ <=> n = 9
S = S$_9$ = u$_1$.$\frac{{{q^9} - 1}}{{q - 1}}$ = 2.$\frac{{{3^9} - 1}}{{3 - 1}}$ = 19682.
b. Ta có ngay: 2S = 1.2 + 2.2$^2$ + 3.2$^3$ + … + 100.2$^{100}$. (2)
Lấy (2) trừ (1), ta được: S = 100.2$^{100}$ - (1 + 2 + 2$^{2}$ + … + 2$^{99}$)
= 100.2$^{100}$ - $\frac{{{2^{100}} - 1}}{{2 - 1}}$ = 99.2$^{100}$ + 1.

Thí dụ 2. Tính tổng S = 1 + 11 + 111 + … .
Xét hai dãy số:
* Cấp số nhân (u$_n$) có u$_1$ = 1 và công bội q = 10.
* Dãy số (s$_n$) = {1, 11, 111, …}.
Suy ra s$_n$ là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (u$_n$), tức là:
s$_n$ = $\frac{{{{10}^n} - 1}}{{10 - 1}}$ = $\frac{1}{9}$(10n - 1).
Khi đó, ta nhận được: S = s$_1$ + s$_2$ + … + s$_n$ = $\sum\limits_{k = 1}^n {{s_k}} $
= $\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{9}({{10}^k} - 1)} $
= $\frac{1}{9}$$\sum\limits_{k = 1}^n {{{10}^k}} $ - $\frac{n}{9}$
= $\frac{1}{9}$.10.$\frac{{{{10}^n} - 1}}{{10 - 1}}$ - $\frac{n}{9}$
$ = \frac{1}{{81}}\left( {{{10}^{n + 1}} - 10 - 9n} \right)$