Dạng toán 4: Tìm các phần tử của một cấp số nhân

Phương pháp áp dụng
Thông thường bài toán được chuyển về xác định u$_{1}$ và công bội q.

Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1. Tìm số hạng đầu u$_{1}$ và công bội q của các cấp số nhân (u$_n$), biết: $\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 72\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right.$.
Ta biến đổi: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 72\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q({q^2} - 1) = 72\\{u_1}.{q^2}({q^2} - 1) = 144\end{array} \right.$
=> q = $\frac{{144}}{{72}}$ = 2
=> u$_1$ = 12.
Vậy, cấp số nhân (u$_n$) có u$_1$ = 12 và q = 2.

Thí dụ 2. Cho cấp số nhân (u$_n$) thoả mãn u$_4$ - u$_2$ = 72 và u$_{5}$ - u$_3$ = 144.
a. Tìm số hạng đầu tiên và công bội.
b. Tính tổng số của 10 số hạng đầu tiên.
c. Tính tổng S’ = u$_{3}$ + u$_{6}$ + … + u$_{12}$.
a. Gọi q là công bội của cấp số nhân (u$_n$), ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 72\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 72\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{u_1}.({q^3} - q) = 72\\{u_1}.({q^4} - {q^2}) = 144\end{array} \right.$
=> $\frac{{{q^3} - q}}{{{q^4} - {q^2}}}$ = $\frac{1}{2}$
<=> q = 2 => u$_1$ = 12.
Vậy, cấp số nhân (u$_n$) có u$_1$ = 12 và q = 2.

b. Ta có: S$_{20}$ = u$_{1}$ + u$_{2}$ + … + u$_{10}$
= u$_{1}$.$\frac{{{q^{10}} - 1}}{{q - 1}}$
= 12.$\frac{{{2^{10}} - 1}}{{2 - 1}}$ = 12276.

c. Ta có: S’ = u$_{3}$ + u$_{6}$ + … + u$_{12}$
= u$_{3}$.$\frac{{{q^{10}} - 1}}{{q - 1}}$
= 12.22.$\frac{{{2^{10}} - 1}}{{2 - 1}}$ = 49104.

Thí dụ 3. Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng: (a + b + c)(a - b + c) = a$^2$ + b$^2$ + c$^2$. Áp dụng: Tìm ba số liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng bằng 21 và tổng bình phương của chúng bằng 189.
Từ giả thiết ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân, ta được: ac = b$^2$.
Khi đó: (a + b + c)(a - b + c)
= (a + c)$^2$ - b$^2$
= a$^2$ + 2ac + c$^2$ - b$^2$
= a$^2$ + 2b$^2$ + c$^2$ - b$^2$
= a$^2$ + b$^2$ + c$^2$, đpcm.
Áp dụng: Với ba số a, b, c thoả mãn điều kiện đầu bài ta được: a + b + c = 21 và a$^2$ + b$^2$ + c$^2$ = 189
Suy ra: a - b + c = $\frac{{189}}{{21}}$ = 9
=> $\left\{ \begin{array}{l}b = 6\\a + c = 15\end{array} \right.$
=>$\left\{ \begin{array}{l}b = 6\\a + c = 15\\{a^2} + {c^2} = 153\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 12\end{array} \right.$.
Vậy, ba số cần tìm là 3, 6, 12.

Thí dụ 4. Biết rằng ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.
Gọi q là công bội của cấp số nhân.
Các số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng, suy ra: x + 3z = 4y
<=> x + 3xq$^2$ = 4xq
<=> $\left[ \begin{array}{l} x = 0\,\left( {loai} \right)\\ 3{q^2} - 4q + 1 = 0 \end{array} \right.$
<=> $\left[ \begin{array}{l}q = 1\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right.$
Vậy, cấp số nhân có công bội q = 1 hoặc q = $\frac{1}{3}$.