Thí dụ 1: Rút gọn các biểu thức: A = $C_n^1$ + 2$C_n^2$ + ... + (n - 1)$C_n^{n - 1}$ + n$C_n^n$.
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1), ta được:
n(1 + x)$^{n-1}$ = $C_n^1$ + 2$C_n^2$x + ... + (n - 1)$C_n^{n - 1}$x$^{n-2}$ + n$C_n^n$x$^{n-1}$. (2)
Thay x = 1 vào (2), ta được:
n.2$^{n-1}$ = $C_n^1$ + 2$C_n^2$ + ... + (n - 1)$C_n^{n - 1}$ + n$C_n^n$ <=> A = n.2$^{n-1}$.
Nhận xét: Như vậy, trong lời giải của thí dụ trên, chúng ta đã sử dụng khai triển Newton dạng (1 + x)$^{n}$, sau đó thực hiện phép lấy đạo hàm theo x để làm xuất hiện các hệ số tương ứng. Và với cách làm tương tự, ta nhận được $C_n^1$ - 2$C_n^2$ + ... + n(-1)$^{n-1}$$C_n^n$ = 0.
Thí dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = 3.2$C_n^0$ + 4.3$C_n^1$ + 5.4$C_n^2$ + ... + (n + 3)(n + 2)$C_n^n$.
<=> x$^{3}$(1 + x)$^{n}$ = x$^{3}$$C_n^0$ + $C_n^1$x$^{4}$ + $C_n^2$x$^{5}$ + ... + $C_n^n$x$^{n + 3}$. (1)
Lấy đạo hàm bậc 2 theo x hai vế của (1), ta được:
x$^{2}$(1 + x)$^n$ + nx$^{3}$(1 + xx$^{n - 1}$ =
= 3x$^{2}$$C_n^0$ + 4$C_n^1$x$^{3}$ + 5$C_n^2$x$^{4}$ + ... + (n + 3)$C_n^n$xn + 2
2x(1 + x)$^n$ + nx$^{2}$(1 + x)$^n$-1 + 3nx$^{2}$(1 + xx$^{n - 1}$ + n(n - 1)x$^{3}$(1 + x)$^{n-2}$
= 3.2x$C_n^0$ + 4.3$C_n^1$x$^{2}$ + 5.4$C_n^2$x$^{3}$ + ... + (n + 3)(n + 2)$C_n^n$x$^{n + 1}$. (2)
Thay x = 1 vào (2), ta được:
2$^{n}$ + 1 + 4n.2$^{n-1}$ + n(n - 1).2$^{n-2}$ = 3.2$C_n^0$ + 4.3$C_n^1$ + 5.4$C_n^2$ + ... + (n + 3)(n + 2)$C_n^n$
<=> A = 2$^{n}$ + 1 + 4n.2$^{n-1}$ + n(n - 1).2$^{n-2}$.
Thí dụ 3:Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng: $C_n^2$ + 2$C_n^3$ + ... + (n - 1)$C_n^n$ > (n - 2)2$^{n - 1}$.
Với mọi x, và với n là số nguyên dương ta có:
(1 + x)$^n$ = $C_n^0$ + $C_n^1$x + $C_n^2$x$^{2}$ + ... + $C_n^{n - 1}$x$^{n - 1}$ + $C_n^n$xn. (1)
Thay x = 1 vào (1), ta được:
2$^{n}$ = $C_n^0$ + $C_n^1$ + $C_n^2$ + ... + $C_n^{n - 1}$ + n$C_n^n$. (2)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1), ta được:
n(1 + x$^{n - 1}$ = $C_n^1$ + 2$C_n^2$x + ... + (n - 1)$C_n^{n - 1}$xn - 2 + n$C_n^n$x$^{n - 1}$. (3)
Thay x = 1 vào (3), ta được: n.2$^{n - 1}$ = $C_n^1$ + 2$C_n^2$ + ... + (n - 1)$C_n^{n - 1}$ + n$C_n^n$. (4)
Lấy (4) - (3), ta được:
n.2$^{n - 1}$ - 2$^{n}$ = - $C_n^0$ + $C_n^2$ + ... + (n - 2)$C_n^{n - 1}$ + (n - 1)$C_n^n$
<=> $C_n^2$ + 2$C_n^3$ + ... + (n - 1)$C_n^n$ = (n - 2)2$^{n - 1}$ + 1 > (n - 2)2$^{n - 1}$, đpcm.
Giải
Ta có: (1 + x)$^n$ = $C_n^0$ + $C_n^1$x + $C_n^2$x$^2$ + ... + $C_n^{n - 1}$x$^{n-1}$ + $C_n^n$x$^n$. (1)Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1), ta được:
n(1 + x)$^{n-1}$ = $C_n^1$ + 2$C_n^2$x + ... + (n - 1)$C_n^{n - 1}$x$^{n-2}$ + n$C_n^n$x$^{n-1}$. (2)
Thay x = 1 vào (2), ta được:
n.2$^{n-1}$ = $C_n^1$ + 2$C_n^2$ + ... + (n - 1)$C_n^{n - 1}$ + n$C_n^n$ <=> A = n.2$^{n-1}$.
Nhận xét: Như vậy, trong lời giải của thí dụ trên, chúng ta đã sử dụng khai triển Newton dạng (1 + x)$^{n}$, sau đó thực hiện phép lấy đạo hàm theo x để làm xuất hiện các hệ số tương ứng. Và với cách làm tương tự, ta nhận được $C_n^1$ - 2$C_n^2$ + ... + n(-1)$^{n-1}$$C_n^n$ = 0.
Thí dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = 3.2$C_n^0$ + 4.3$C_n^1$ + 5.4$C_n^2$ + ... + (n + 3)(n + 2)$C_n^n$.
Giải
Ta có: (1 + x)$^{n}$ = $C_n^0$ + $C_n^1$x + $C_n^2$x$^{2}$ + ... + $C_n^{n - 1}$x$^{n-1}$ + $C_n^n$x$^{n}$<=> x$^{3}$(1 + x)$^{n}$ = x$^{3}$$C_n^0$ + $C_n^1$x$^{4}$ + $C_n^2$x$^{5}$ + ... + $C_n^n$x$^{n + 3}$. (1)
Lấy đạo hàm bậc 2 theo x hai vế của (1), ta được:
x$^{2}$(1 + x)$^n$ + nx$^{3}$(1 + xx$^{n - 1}$ =
= 3x$^{2}$$C_n^0$ + 4$C_n^1$x$^{3}$ + 5$C_n^2$x$^{4}$ + ... + (n + 3)$C_n^n$xn + 2
2x(1 + x)$^n$ + nx$^{2}$(1 + x)$^n$-1 + 3nx$^{2}$(1 + xx$^{n - 1}$ + n(n - 1)x$^{3}$(1 + x)$^{n-2}$
= 3.2x$C_n^0$ + 4.3$C_n^1$x$^{2}$ + 5.4$C_n^2$x$^{3}$ + ... + (n + 3)(n + 2)$C_n^n$x$^{n + 1}$. (2)
Thay x = 1 vào (2), ta được:
2$^{n}$ + 1 + 4n.2$^{n-1}$ + n(n - 1).2$^{n-2}$ = 3.2$C_n^0$ + 4.3$C_n^1$ + 5.4$C_n^2$ + ... + (n + 3)(n + 2)$C_n^n$
<=> A = 2$^{n}$ + 1 + 4n.2$^{n-1}$ + n(n - 1).2$^{n-2}$.
Thí dụ 3:Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng: $C_n^2$ + 2$C_n^3$ + ... + (n - 1)$C_n^n$ > (n - 2)2$^{n - 1}$.
Giải
Ta lần lượt thực hiện:Với mọi x, và với n là số nguyên dương ta có:
(1 + x)$^n$ = $C_n^0$ + $C_n^1$x + $C_n^2$x$^{2}$ + ... + $C_n^{n - 1}$x$^{n - 1}$ + $C_n^n$xn. (1)
Thay x = 1 vào (1), ta được:
2$^{n}$ = $C_n^0$ + $C_n^1$ + $C_n^2$ + ... + $C_n^{n - 1}$ + n$C_n^n$. (2)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1), ta được:
n(1 + x$^{n - 1}$ = $C_n^1$ + 2$C_n^2$x + ... + (n - 1)$C_n^{n - 1}$xn - 2 + n$C_n^n$x$^{n - 1}$. (3)
Thay x = 1 vào (3), ta được: n.2$^{n - 1}$ = $C_n^1$ + 2$C_n^2$ + ... + (n - 1)$C_n^{n - 1}$ + n$C_n^n$. (4)
Lấy (4) - (3), ta được:
n.2$^{n - 1}$ - 2$^{n}$ = - $C_n^0$ + $C_n^2$ + ... + (n - 2)$C_n^{n - 1}$ + (n - 1)$C_n^n$
<=> $C_n^2$ + 2$C_n^3$ + ... + (n - 1)$C_n^n$ = (n - 2)2$^{n - 1}$ + 1 > (n - 2)2$^{n - 1}$, đpcm.
Nguồn: Học Lớp