Phương pháp áp dụng
Ta đã biết nếu một hàm số không đổi trong khoảng (a, b) thì đạo hàm luôn triệt tiêu trong khoảng đó. Đảo lại ta có định lí sau:
Định lí 1. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a, b) và f'(x) = 0, ∀x ∈ (a, b) thì hàm số y = f(x) không đổi trong khoảng (a, b).
Từ đó, để thực hiện các dạng toán:
Thí dụ 1: Chứng minh rằng với mọi x ta đều có: cos$^2$(x - a) + sin$^2$(x - b) - 2cos(x - a).sin(x - b).sin(a - b) = cos$^2$(a - b).
Ta có:
y' = - 2sin(x - a)cos(x - a) + 2sin(x - b)cos(x - b) +
+ 2sin(a - b)[sin(x - a).sin(x - b) - cos(x - a).cos(x - b)]
= - sin2(x - a) + sin2(x - b) - 2sin(a - b).cos(2x - a - b)
= 2cos(2x - a - b).sin(a - b) - 2sin(a - b).cos(2x - a - b) = 0
<=> Hàm số không đổi.
Ngoài ra ta còn có y = y(b) = cos$^2$(a - b).
Vậy y = cos$^2$(a - b).
Thí dụ 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = sin$^2$(x - $\frac{{2\pi }}{3}$) + sin2x + sin$^2$(x + $\frac{{2\pi }}{3}$).
A = sin$^2$(x - $\frac{{2\pi }}{3}$) + sin2x + sin$^2$(x + $\frac{{2\pi }}{3}$).
Ta có: $A_x^'$= 2sin(x -$\frac{{2\pi }}{3}$).cos(x -$\frac{{2\pi }}{3}$) + 2sinx.cosx + 2sin(x +$\frac{{2\pi }}{3}$).cos(x +$\frac{{2\pi }}{3}$)
= sin(2x - $\frac{{4\pi }}{3}$) + sin2x + sin(2x + $\frac{{4\pi }}{3}$)
= 2sin2x.cos$\frac{{4\pi }}{3}$ + sin2x = - sin2x + sin2x = 0
<=> Hàm số không đổi.
Ngoài ra ta còn có A = A(0) = $\frac{3}{2}$.
Vậy A = $\frac{3}{2}$ không phụ thuộc vào x.
Ta đã biết nếu một hàm số không đổi trong khoảng (a, b) thì đạo hàm luôn triệt tiêu trong khoảng đó. Đảo lại ta có định lí sau:
Định lí 1. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a, b) và f'(x) = 0, ∀x ∈ (a, b) thì hàm số y = f(x) không đổi trong khoảng (a, b).
Từ đó, để thực hiện các dạng toán:
Dạng 1: Chứng minh rằng A(x) = c, ∀x ∈ D
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tính A'(x), rồi khẳng định A'(x) = 0, ∀x ∈ D.
Bước 2: Chọn x$_0$ ∈ D => A(x$_0$) = c.
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để biểu thức A(x) không phụ thuộc vào x.
Ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Tính A'(x), rồi tìm điều kiện để A'(x) = 0, ∀x.
Bước 2: Kết luận.
Thí dụ 1: Chứng minh rằng với mọi x ta đều có: cos$^2$(x - a) + sin$^2$(x - b) - 2cos(x - a).sin(x - b).sin(a - b) = cos$^2$(a - b).
Giải
Xét hàm số y = cos$^2$(x - a) + sin$^2$(x - b) - 2cos(x - a).sin(x - b).sin(a - b).Ta có:
y' = - 2sin(x - a)cos(x - a) + 2sin(x - b)cos(x - b) +
+ 2sin(a - b)[sin(x - a).sin(x - b) - cos(x - a).cos(x - b)]
= - sin2(x - a) + sin2(x - b) - 2sin(a - b).cos(2x - a - b)
= 2cos(2x - a - b).sin(a - b) - 2sin(a - b).cos(2x - a - b) = 0
<=> Hàm số không đổi.
Ngoài ra ta còn có y = y(b) = cos$^2$(a - b).
Vậy y = cos$^2$(a - b).
Thí dụ 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = sin$^2$(x - $\frac{{2\pi }}{3}$) + sin2x + sin$^2$(x + $\frac{{2\pi }}{3}$).
Giải
Xét hàm sốA = sin$^2$(x - $\frac{{2\pi }}{3}$) + sin2x + sin$^2$(x + $\frac{{2\pi }}{3}$).
Ta có: $A_x^'$= 2sin(x -$\frac{{2\pi }}{3}$).cos(x -$\frac{{2\pi }}{3}$) + 2sinx.cosx + 2sin(x +$\frac{{2\pi }}{3}$).cos(x +$\frac{{2\pi }}{3}$)
= sin(2x - $\frac{{4\pi }}{3}$) + sin2x + sin(2x + $\frac{{4\pi }}{3}$)
= 2sin2x.cos$\frac{{4\pi }}{3}$ + sin2x = - sin2x + sin2x = 0
<=> Hàm số không đổi.
Ngoài ra ta còn có A = A(0) = $\frac{3}{2}$.
Vậy A = $\frac{3}{2}$ không phụ thuộc vào x.
Nguồn: Học Lớp