Phương pháp áp dụng
Sử dụng bảng các đạo hàm và bảng các quy tắc.
Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (a và b là hằng số):
a. y = $\frac{1}{4}$x$^4$ - $\frac{1}{3}$x$^3$ + $\frac{1}{2}$x$^2$ - x + a$^3$.
b. y = $\frac{1}{{{{({x^2} - x + 1)}^5}}}$.
y' = x$^3$ - x$^2$ + x - 1.
b. Viết lại hàm số dưới dạng:
y = (x$^2$ - x + 1)$^{-5}$ => y' = -5(2x - 1)(x$^2$ - x + 1)$^{-6}$ = -$\frac{{5(2x - 1)}}{{{{({x^2} - x + 1)}^6}}}$.
Thí dụ 2 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = $3{x^5}(8 - 3{x^2}).$
b. y = (x + 1)(x + 2)(x + 3).
Khi đó: y' = 120x$^4$ - 63x$^6$.
Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm của một tích, ta có: y' = 15x$^4$(8 - 3x$^2$) - 3x$^5$.6x = 120x$^4$ - 63x$^6$.
b. Ta có thể thực hiện theo ba cách sau:
Cách 1: (Sử dụng quy tắc cho hàm số dạng y = u.v.w): Ta có:
y' = [(x + 1)(x + 2)(x + 3)]'
= (x + 1)'(x + 2)(x + 3) + (x + 1)(x + 2)'(x + 3) + (x + 1)(x + 2)(x + 3)'
= 1.(x + 2)(x + 3) + (x + 1).1.(x + 3) + (x + 1)(x + 2).1
= 3x$^2$ + 12x + 11.
Cách 2: (Sử dụng quy tắc cho hàm số dạng y = u.v): Viết lại hàm số dưới dạng có:
y = (x$^2$ + 3x + 2)(x + 3)
suy ra: y' = [(x$^2$ + 3x + 2)(x + 3)]' = (x$^2$ + 3x + 2)'(x + 3) + (x$^2$ + 3x + 2)(x + 3)'
= (2x + 3)(x + 3) + (x$^2$ + 3x + 2).1 = 3x$^2$ + 12x + 11.
Cách 3: Viết lại hàm số dưới dạng có: y = x$^3$ + 6x$^2$ + 11x + 6
suy ra: y' = (x$^3$ + 6x$^2$ + 11x + 6)' = 3x$^2$ + 12x + 11.
Thí dụ 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = $\frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}$.
b. y = $\frac{{5x - 3}}{{{x^2} + x + 1}}$.
b. Ta có: y' = $\frac{{5({x^2} + x + 1) - (2x + 1)(5x - 3)}}{{{{({x^2} + x + 1)}^2}}}$ = $\frac{{ - 5{x^2} + 6x + 8}}{{{{({x^2} + x + 1)}^2}}}$.
Thí dụ 4 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = $\frac{1}{{x\sqrt x }}$.
b. y = x$^{2}$ + $x\sqrt x $ + 1.
y = $\frac{1}{{x\sqrt x }}$ = x$^{-3/2}$ => y' = -$\frac{3}{2}$x-5/2 = -$\frac{3}{{2{x^2}\sqrt x }}$.
b. Viết lại hàm số dưới dạng: y = x$^2$ + x$^{3/2}$ + 1 => y' = 2x + $\frac{3}{2}$x$^{1/2}$ = 2x + $\frac{3}{2}$$\sqrt x $.
Thí dụ 5: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = $\sqrt {2 - 5x - {x^2}} $.
b. y = $\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} $.
b. Ta có thể thực hiện theo các cách sau:
Cách 1: Ta có:
$y' = \frac{{\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)'}}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}$
$ = \frac{{\frac{{2{x^2} - ({x^2} + 1)}}{{{x^2}}}}}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}$
$ = \frac{{{x^2} - 1}}{{2{x^2}\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}$
= $\frac{{{x^2} - 1}}{{2\sqrt {{x^3}({x^2} + 1)} }}$.
Cách 2: Viết lại hàm số dưới dạng:
y = $\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} $
= ${\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)^{1/2}}$
=> y' = $\frac{1}{2}$.$\frac{{2{x^2} - ({x^2} + 1)}}{{{x^2}}}$.${\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)^{ - 1/2}}$ = $\frac{{{x^2} - 1}}{{2\sqrt {{x^3}({x^2} + 1)} }}$.
Thí dụ 6: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = $\frac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - x} }}$.
b. y = $\frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}$.
b. Ta có: y' = $\frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{a^2} - {x^2}}}$ = $\frac{{{a^2}}}{{({a^2} - {x^2})\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}$.
* Chú ý: Để tính đạo hàm của hàm số y = |f(x)| trên miền E sao cho f(x) ≠ 0 ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:
a. Viết lại hàm số dưới dạng y = $\sqrt {{f^2}(x)} $.
b. Ta được:
y’ = $\frac{{f'(x).f(x)}}{{\sqrt {{f^2}(x)} }}$ = $\frac{{f'(x).f(x)}}{{|f(x)|}}$.
Cách 2: Thực hiện theo các bước sau:
Viết lại hàm số dưới dạng: y = $\left\{ \begin{array}{l}f(x)\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,\,\,f(x) \ge 0\\ - f(x)\,\,\,\,\,voi\,\,\,\,f(x) < 0\end{array} \right.$.
Ta được: y’ = $\left\{ \begin{array}{l}f'(x)\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,\,\,f(x) > 0\\ - f'(x)\,\,\,\,voi\,\,\,f(x) < 0\end{array} \right.$.
Thí dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số y = |x - 1| tại các điểm x ≠ 1.
Cách 1: Viết lại hàm số dưới dạng: y = $\sqrt {{{(x - 1)}^2}} $.
Ta được: y’ = $\frac{{2(x - 1)'.(x - 1)}}{{2\sqrt {{{(x - 1)}^2}} }}$ = $\frac{{x - 1}}{{|x - 1|}}$ = $\left\{ \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,\,x > 1\\ - 1\,\,\,\,\,voi\,\,\,\,x < 1\end{array} \right.$.
Cách 2: Viết lại hàm số dưới dạng: y = $\left\{ \begin{array}{l}x - 1\,\,\,\,voi\,\,\,x > 1\\1 - x\,\,\,\,\,voi\,\,x < 1\end{array} \right.$.
Ta được: y’ = $\left\{ \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,\,x > 1\\ - 1\,\,\,\,\,voi\,\,\,x < 1\end{array} \right.$.
Sử dụng bảng các đạo hàm và bảng các quy tắc.
Thí dụ 1: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (a và b là hằng số):
a. y = $\frac{1}{4}$x$^4$ - $\frac{1}{3}$x$^3$ + $\frac{1}{2}$x$^2$ - x + a$^3$.
b. y = $\frac{1}{{{{({x^2} - x + 1)}^5}}}$.
Giải
a. Ta có ngay:y' = x$^3$ - x$^2$ + x - 1.
b. Viết lại hàm số dưới dạng:
y = (x$^2$ - x + 1)$^{-5}$ => y' = -5(2x - 1)(x$^2$ - x + 1)$^{-6}$ = -$\frac{{5(2x - 1)}}{{{{({x^2} - x + 1)}^6}}}$.
Thí dụ 2 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = $3{x^5}(8 - 3{x^2}).$
b. y = (x + 1)(x + 2)(x + 3).
Giải
a. Ta có thể thực hiện theo hai cách sau: Cách 1: Viết lại hàm số dưới dạng: y = 24x$^5$ - 9x$^7$.Khi đó: y' = 120x$^4$ - 63x$^6$.
Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm của một tích, ta có: y' = 15x$^4$(8 - 3x$^2$) - 3x$^5$.6x = 120x$^4$ - 63x$^6$.
b. Ta có thể thực hiện theo ba cách sau:
Cách 1: (Sử dụng quy tắc cho hàm số dạng y = u.v.w): Ta có:
y' = [(x + 1)(x + 2)(x + 3)]'
= (x + 1)'(x + 2)(x + 3) + (x + 1)(x + 2)'(x + 3) + (x + 1)(x + 2)(x + 3)'
= 1.(x + 2)(x + 3) + (x + 1).1.(x + 3) + (x + 1)(x + 2).1
= 3x$^2$ + 12x + 11.
Cách 2: (Sử dụng quy tắc cho hàm số dạng y = u.v): Viết lại hàm số dưới dạng có:
y = (x$^2$ + 3x + 2)(x + 3)
suy ra: y' = [(x$^2$ + 3x + 2)(x + 3)]' = (x$^2$ + 3x + 2)'(x + 3) + (x$^2$ + 3x + 2)(x + 3)'
= (2x + 3)(x + 3) + (x$^2$ + 3x + 2).1 = 3x$^2$ + 12x + 11.
Cách 3: Viết lại hàm số dưới dạng có: y = x$^3$ + 6x$^2$ + 11x + 6
suy ra: y' = (x$^3$ + 6x$^2$ + 11x + 6)' = 3x$^2$ + 12x + 11.
Thí dụ 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = $\frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}$.
b. y = $\frac{{5x - 3}}{{{x^2} + x + 1}}$.
Giải
a. Ta có: y' = $\frac{{2({x^2} - 1) - 2x.2x}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}}$ = $\frac{{ - 2{x^2} - 2}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}}$.b. Ta có: y' = $\frac{{5({x^2} + x + 1) - (2x + 1)(5x - 3)}}{{{{({x^2} + x + 1)}^2}}}$ = $\frac{{ - 5{x^2} + 6x + 8}}{{{{({x^2} + x + 1)}^2}}}$.
Thí dụ 4 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = $\frac{1}{{x\sqrt x }}$.
b. y = x$^{2}$ + $x\sqrt x $ + 1.
Giải
a. Viết lại hàm số dưới dạng:y = $\frac{1}{{x\sqrt x }}$ = x$^{-3/2}$ => y' = -$\frac{3}{2}$x-5/2 = -$\frac{3}{{2{x^2}\sqrt x }}$.
b. Viết lại hàm số dưới dạng: y = x$^2$ + x$^{3/2}$ + 1 => y' = 2x + $\frac{3}{2}$x$^{1/2}$ = 2x + $\frac{3}{2}$$\sqrt x $.
Thí dụ 5: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = $\sqrt {2 - 5x - {x^2}} $.
b. y = $\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} $.
Giải
a. Ta có ngay: $y' = \frac{{\left( {2 - 5x - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {2 - 5x - {x^2}} }} = \frac{{ - 5 - 2x}}{{2\sqrt {2 - 5x - {x^2}} }}$.b. Ta có thể thực hiện theo các cách sau:
Cách 1: Ta có:
$y' = \frac{{\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)'}}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}$
$ = \frac{{\frac{{2{x^2} - ({x^2} + 1)}}{{{x^2}}}}}{{2\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}$
$ = \frac{{{x^2} - 1}}{{2{x^2}\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}$
= $\frac{{{x^2} - 1}}{{2\sqrt {{x^3}({x^2} + 1)} }}$.
Cách 2: Viết lại hàm số dưới dạng:
y = $\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} $
= ${\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)^{1/2}}$
=> y' = $\frac{1}{2}$.$\frac{{2{x^2} - ({x^2} + 1)}}{{{x^2}}}$.${\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)^{ - 1/2}}$ = $\frac{{{x^2} - 1}}{{2\sqrt {{x^3}({x^2} + 1)} }}$.
Thí dụ 6: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = $\frac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - x} }}$.
b. y = $\frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}$.
Giải
a. Ta có: y' = $\frac{{\sqrt {1 - x} + \frac{{1 + x}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{1 - x}}$ = $\frac{{3 - x}}{{(1 - x)\sqrt {1 - x} }}$.b. Ta có: y' = $\frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{a^2} - {x^2}}}$ = $\frac{{{a^2}}}{{({a^2} - {x^2})\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}$.
* Chú ý: Để tính đạo hàm của hàm số y = |f(x)| trên miền E sao cho f(x) ≠ 0 ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:
a. Viết lại hàm số dưới dạng y = $\sqrt {{f^2}(x)} $.
b. Ta được:
y’ = $\frac{{f'(x).f(x)}}{{\sqrt {{f^2}(x)} }}$ = $\frac{{f'(x).f(x)}}{{|f(x)|}}$.
Cách 2: Thực hiện theo các bước sau:
Viết lại hàm số dưới dạng: y = $\left\{ \begin{array}{l}f(x)\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,\,\,f(x) \ge 0\\ - f(x)\,\,\,\,\,voi\,\,\,\,f(x) < 0\end{array} \right.$.
Ta được: y’ = $\left\{ \begin{array}{l}f'(x)\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,\,\,f(x) > 0\\ - f'(x)\,\,\,\,voi\,\,\,f(x) < 0\end{array} \right.$.
Thí dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số y = |x - 1| tại các điểm x ≠ 1.
Giải
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:Cách 1: Viết lại hàm số dưới dạng: y = $\sqrt {{{(x - 1)}^2}} $.
Ta được: y’ = $\frac{{2(x - 1)'.(x - 1)}}{{2\sqrt {{{(x - 1)}^2}} }}$ = $\frac{{x - 1}}{{|x - 1|}}$ = $\left\{ \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,\,x > 1\\ - 1\,\,\,\,\,voi\,\,\,\,x < 1\end{array} \right.$.
Cách 2: Viết lại hàm số dưới dạng: y = $\left\{ \begin{array}{l}x - 1\,\,\,\,voi\,\,\,x > 1\\1 - x\,\,\,\,\,voi\,\,x < 1\end{array} \right.$.
Ta được: y’ = $\left\{ \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,\,x > 1\\ - 1\,\,\,\,\,voi\,\,\,x < 1\end{array} \right.$.
nguồn: thpttranquoctuan
Sửa lần cuối: