Phương pháp:
Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng a không vuông góc với (α).Xác định mặt phẳng (β) chứa a và vuông góc với (α).
Để giải bài toán này ta làm theo các bước sau:
Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng a không vuông góc với (α).Xác định mặt phẳng (β) chứa a và vuông góc với (α).
Để giải bài toán này ta làm theo các bước sau:
- Chọn một điểm $A \in a$
- Dựng đường thẳng b đi qua A và vuông góc với (α). Khi đó $mp\left( {a,b} \right)$ chính là mặt phẳng (β).
Ví dụ vận dụng
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Gọi (α)
là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (SCD), (α)
cắt chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
A. hình bình hành.
B. hình thang vuông.
C. hình thang không vuông.
D. hình chữ nhật.
Dựng $AH \bot CD$
Ta có $\left. \begin{array}{l}CD \bot SA\\CD \bot AD\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot (SAD)$.
Suy ra $CD \bot AH$
mà $AH \subset (SCD)$ suy ra $AH \subset (\alpha )$
Do đó $\left( \alpha \right) \equiv (AHB)$
Vì $\left( \alpha \right){\rm{//}}CD$ nên $\left( \alpha \right) \cap (SAD) = HK{\rm{//}}CD(K \in SC)$.
Từ đó thiết diện là hình thang ABKH
Mặt khác $AB \bot (SAD)$ nên $AB \bot AH$
Vậy thiết diện là hình thang vuông tại A và H.
Chọn đáp án B.
Ta có $AC = a\sqrt 2 ,OC = \frac{a}{{\sqrt 2 }},SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}$, mà $SO \bot OC \Rightarrow OM = \frac{1}{2}SC = \frac{a}{2}$. Chon A
A. ${a^2}\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
B. ${a^2}\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\frac{{{a^2}}}{2}$.
D. ${a^2}$.
Gọi MN là đoạn thẳng qua O vuông góc $AD$ ($M,{\rm{ }}N{\rm{ }}$ thuộc ${\rm{ }}AD,{\rm{ }}BC$) ta có nên $SMN$ là thiết diện cần tìm.
Δ$SMN$ vuông tại M nên ${S_{SMN}} = \frac{{SM.MN}}{2} = {a^2}\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Chọn B.
Δ$SMN$ vuông tại M nên ${S_{SMN}} = \frac{{SM.MN}}{2} = {a^2}\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Chọn B.
đi qua A và vuông góc với CD là?
A. $\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{{12}}$
B. $\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{8}$
C. $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}$
D. $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}$
Chọn C.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}(P) \bot (Q)\$P) \cap (Q) = \Delta \\BD \subset (Q),BD \bot \Delta \end{array} \right. \Rightarrow BD \bot (P)$
Gọi H là trung điểm BC, ta có $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot CD$
Trong mặt phẳng (BCD), kẻ $HI \bot CD$ thì ta có $CD \bot (AHI)$
Khi đó mặt phẳng (α)cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là tam giác $AHI$
Mặt khác tam giác ABC vuông cân tại A nên $BC = a\sqrt 2 $.
Trong tam giác vuông BCD, kẻ đường cao BK thì $BK = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}$ và $HI = \frac{a}{{\sqrt 6 }}$
Vậy: thiết diện cần tìm là tam giác $AHI$ vuông tại H và có diện tích $S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}(P) \bot (Q)\$P) \cap (Q) = \Delta \\BD \subset (Q),BD \bot \Delta \end{array} \right. \Rightarrow BD \bot (P)$
Gọi H là trung điểm BC, ta có $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot CD$
Trong mặt phẳng (BCD), kẻ $HI \bot CD$ thì ta có $CD \bot (AHI)$
Khi đó mặt phẳng (α)cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là tam giác $AHI$
Mặt khác tam giác ABC vuông cân tại A nên $BC = a\sqrt 2 $.
Trong tam giác vuông BCD, kẻ đường cao BK thì $BK = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}$ và $HI = \frac{a}{{\sqrt 6 }}$
Vậy: thiết diện cần tìm là tam giác $AHI$ vuông tại H và có diện tích $S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}$
A. h1 và h2.
B. h2 và h3.
C. h.2.
D. h.1.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A' và vuông góc với BC. Từ A' ta dựng $A'K' \bot B'C'$, Vì $(ABC) \bot (BCC'B')$ nên $A'K' \bot B'C' \Rightarrow A'K' \bot (BCC'B') \Rightarrow A'K' \bot BC'$ (1).
Mặt khác trong mặt phẳng (BCC'B') dựng $K'x \bot B'C$ và cắt B'B tại 1 điểm N(2) (điểm gì đề chưa có cho nên cho tạm điểm N).
Từ (1)và (2)ta có : $\left\{ \begin{array}{l}BC' \bot A'K'\\BC' \bot K'N\end{array} \right. \Rightarrow BC' \bot (A'K'N)$
Chọn đáp án A
Mặt khác trong mặt phẳng (BCC'B') dựng $K'x \bot B'C$ và cắt B'B tại 1 điểm N(2) (điểm gì đề chưa có cho nên cho tạm điểm N).
Từ (1)và (2)ta có : $\left\{ \begin{array}{l}BC' \bot A'K'\\BC' \bot K'N\end{array} \right. \Rightarrow BC' \bot (A'K'N)$
Chọn đáp án A
A. Hình vuông.
B. Lục giác đều.
C. Ngũ giác đều.
D. Tam giác đều.
Ta có AB là hình chiếu của AC' lên (ABCD).
mà $AC \bot BD$ nên $AC' \bot BD,{\rm{ }}(1)$
Ta có $\left. \begin{array}{l}AD \bot (AA'B'B)\\A'B \subset (AA'B'B\end{array} \right\} \Rightarrow A'B \bot AD$
Lại có $A'B \bot AB'$ suy ra $\left. \begin{array}{l}A'B \bot (AB'C'D)\\AC' \subset (AB'C'D)\end{array} \right\} \Rightarrow AC' \bot A'B,{\rm{ }}(2)$
Từ (1) và (2) suy ra $AC' \bot (A'BD),{\rm{ }}(3)$
Mặt phẳng trung trực AC' là mặt phẳng (α)
đi qua trung điểm I của AC' và $(\alpha ) \bot AC',{\rm{ }}(4)$
Từ (3) và (4) suy ra $\left\{ \begin{array}{l}mp(\alpha ){\rm{ qua }}I\$\alpha ){\rm{//}}(A'BD)\end{array} \right.$
Do đó
Qua I dựng $MQ{\rm{//}}BD$
Dựng $\begin{array}{l}MN{\rm{//A'D}}\\{\rm{NP//}}B'D'{\rm{//}}BD\\QK{\rm{//B'C//A'D}}\\KH{\rm{//}}BD\end{array}$
Mà $MN = NP = PQ = QK = KM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Suy ra thiết diện là lục giác đều.
Chọn đáp án B.
A. $S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
B. $S = {a^2}.$
C. $S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$
D. AB
Ta có mặt phẳng trung trực của AC'cắt hình lập phương ABCD.A'B'C'D'theo thiết diện là lục giác đều $MNPQRDS$ cạnh $\frac{1}{2}B'C = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Khi đó $S = 6.\frac{1}{2}\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {a^2}\frac{{3\sqrt 3 }}{4}$
Bản đầy đủ các dạng vecto trong không gian Bản đầy đủ các dạng vecto trong không gian
Sửa lần cuối: