Phương pháp áp dụng
Sử dụng các kết quả:
1. Hệ số góc k của cát tuyến MN với đường cong (C): y = f(x), biết M, N theo thứ tự có hoành độ là x$_M$, x$_n$, được cho bởi:
k = $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\frac{{f({x_M}) - f({x_N})}}{{{x_M} - {x_N}}}$.
2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M0(x$_0$, f(x$_0$)) là: (d): y - y$_0$ = y'(x$_0$)(x - x$_0$).
Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1: Cho Parabol y = x$^2$ và hai điểm A(2; 4) và B(2 + Δx; 4 + Δy) trên Parabol đó.
a. Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết Δx lần lượt bằng 1; 0,1 và 0,01.
b. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của Parabol đã cho tại điểm A.
k = $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\frac{{f({x_A}) - f({x_B})}}{{{x_A} - {x_B}}}$ = $\frac{{2 - (4 + \Delta y)}}{{2 - 2 - \Delta x}}$ = 4 + Δx.
Khi đó:
* Với Δx = 1, ta được k = 4 + 1 = 5.
* Với Δx = 0,1, ta được k = 4 + 0,1 = 4,1.
* Với Δx = 0,01, ta được k = 4 + 0,01 = 4,01.
b. Hệ số góc của tiếp tuyến của Parabol đã cho tại điểm A được cho bởi:
f'(2) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 2)$ = 4.
Thí dụ 2: Tìm hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong (C), biết:
a. (C): y = x$^2$ - 2x và hoành độ M, N theo thứ tự là x$_M$ = 2, x$_n$ = 1.
b. (C): y = $\frac{{{x^2} + x + 1}}{x}$ và hoành độ M, N theo thứ tự là x$_M$ = 1, x$_n$ = 3.
a. Ta có ngay: k = $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\frac{{f({x_M}) - f({x_N})}}{{{x_M} - {x_N}}}$ = $\frac{{({2^2} - 2.2) - ({1^2} - 2.1)}}{{2 - 1}}$ = 1.
b. Ta có ngay: k = $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\frac{{f({x_M}) - f({x_N})}}{{{x_M} - {x_N}}}$ = $\frac{{\frac{{{1^2} + 1 + 1}}{1} - \frac{{{3^2} + 3 + 1}}{3}}}{{1 - 3}}$ = $\frac{2}{3}$.
Thí dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x$^3$, biết:
a. Tiếp điểm có hoành độ bằng -1.
b. Tiếp điểm có tung độ bằng 8.
c. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
a. Tại điểm có hoành độ bằng -1 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d1): y - y(-1) = y'(-1)(x + 1) <=> (d1): y = 3x + 2.
b. Trước tiên, tiếp điểm có tung độ y$_0$ = 8 thì: $x_0^3$ = 8 <=> x$_0$ = 2.
Do đó, phương trình tiếp tuyến có dạng: (d2): y - 8 = y'(2)(x - 2) <=> (d2): y = 12x - 16.
c. Hê số góc của tiếp tuyến bằng 3, suy ra:
3$x_0^2$ = 3 <=> $x_0^2$ = 1 <=> x$_0$ = ±1.
Khi đó:
* Tại x$_0$ = 1 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d3): y - y(1) = y'(1)(x - 1) <=> (d3): y = 3x - 2.
* Tại x$_0$ = -1 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d4): y - (-1) = y'(-1)[x - (-1)] <=> (d4): y = 3x + 2.
Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y = $\frac{1}{x}$:
a. Tại điểm $\left( {\frac{1}{2};\,\,2} \right)$.
b. Tại điểm có hoành độ bằng -1.
c. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -$\frac{1}{4}$.
y’=$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\frac{{\frac{{ - \Delta x}}{{x(x + \Delta x)}}}}{{\Delta x}}$ = -$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\frac{1}{{x(x + \Delta x)}}$ = -$\frac{1}{{{x^2}}}$.
a. Tại điểm $\left( {\frac{1}{2};\,\,2} \right)$ phương trình tiếp tuyến có dạng:
(d1): y - $\frac{1}{2}$ = y'($\frac{1}{2}$)(x - $\frac{1}{2}$) <=> (d1): y = -4x + 4.
b. Tại điểm có hoành độ bằng -1 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d2): y - y(-1) = y'(-1)[x - (-1)] <=> (d2): y = -x - 2.
c. Hê số góc của tiếp tuyến bằng 3, suy ra: -$\frac{1}{{x_0^2}}$ = -$\frac{1}{4}$ <=> $x_0^2$ = 4 <=> x$_0$ = ±2.
Khi đó:
* Tại x$_0$ = 2 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d3): y - y(2) = y'(2)(x - 2) <=> (d3): y = -$\frac{1}{4}$x + 1.
* Tại x$_0$ = -2 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d4): y - (-2) = y'(-2)[x - (-2)] <=> (d4): y = -$\frac{1}{4}$x - 1.
Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 5: Cho đường cong (C): y = $\sqrt x $. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):
a. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1.
b. Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng (Δ): x - 4y + 3 = 0.
a. Từ điều kiện hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1, ta được: $\frac{1}{{2\sqrt x }}$ = 1 <=> $\sqrt x $ = $\frac{1}{2}$ <=> x = $\frac{1}{4}$.
Khi đó, phương trình tiếp tuyến có dạng:
(d): y - y($\frac{1}{4}$) = 1.(x - $\frac{1}{4}$) <=> (d): y - $\frac{1}{2}$ = x - $\frac{1}{4}$ <=> (d): y = x + $\frac{1}{4}$.
b. Đường thẳng (Δ) có hệ số góc k = $\frac{1}{4}$.
Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (Δ) nên có hệ số góc k = $\frac{1}{4}$ , do đó: $\frac{1}{{2\sqrt x }}$ = $\frac{1}{4}$ <=> $\sqrt x $ = 2 <=> x = 4.
Khi đó, phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): y - y(4) = $\frac{1}{4}$.(x - 4) <=> (d): 4(y - 2) = x - 4 <=> (d): x - 4y + 4 = 0.
Sử dụng các kết quả:
1. Hệ số góc k của cát tuyến MN với đường cong (C): y = f(x), biết M, N theo thứ tự có hoành độ là x$_M$, x$_n$, được cho bởi:
k = $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\frac{{f({x_M}) - f({x_N})}}{{{x_M} - {x_N}}}$.
2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M0(x$_0$, f(x$_0$)) là: (d): y - y$_0$ = y'(x$_0$)(x - x$_0$).
Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1: Cho Parabol y = x$^2$ và hai điểm A(2; 4) và B(2 + Δx; 4 + Δy) trên Parabol đó.
a. Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết Δx lần lượt bằng 1; 0,1 và 0,01.
b. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của Parabol đã cho tại điểm A.
Giải
a. Gọi k là hệ số góc của cát tuyến AB với đường cong (C), ta có ngay:k = $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\frac{{f({x_A}) - f({x_B})}}{{{x_A} - {x_B}}}$ = $\frac{{2 - (4 + \Delta y)}}{{2 - 2 - \Delta x}}$ = 4 + Δx.
Khi đó:
* Với Δx = 1, ta được k = 4 + 1 = 5.
* Với Δx = 0,1, ta được k = 4 + 0,1 = 4,1.
* Với Δx = 0,01, ta được k = 4 + 0,01 = 4,01.
b. Hệ số góc của tiếp tuyến của Parabol đã cho tại điểm A được cho bởi:
f'(2) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 2)$ = 4.
Thí dụ 2: Tìm hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong (C), biết:
a. (C): y = x$^2$ - 2x và hoành độ M, N theo thứ tự là x$_M$ = 2, x$_n$ = 1.
b. (C): y = $\frac{{{x^2} + x + 1}}{x}$ và hoành độ M, N theo thứ tự là x$_M$ = 1, x$_n$ = 3.
Giải
Gọi k là hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong (C).a. Ta có ngay: k = $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\frac{{f({x_M}) - f({x_N})}}{{{x_M} - {x_N}}}$ = $\frac{{({2^2} - 2.2) - ({1^2} - 2.1)}}{{2 - 1}}$ = 1.
b. Ta có ngay: k = $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\frac{{f({x_M}) - f({x_N})}}{{{x_M} - {x_N}}}$ = $\frac{{\frac{{{1^2} + 1 + 1}}{1} - \frac{{{3^2} + 3 + 1}}{3}}}{{1 - 3}}$ = $\frac{2}{3}$.
Thí dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x$^3$, biết:
a. Tiếp điểm có hoành độ bằng -1.
b. Tiếp điểm có tung độ bằng 8.
c. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
Giải
Trước tiên, ta đi tính đạo hàm của hàm số y = x$^3$: y' = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\frac{{{{(x + \Delta x)}^3} - {x^3}}}{{\Delta x}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$(3{x^2} + 3x\Delta x + {\Delta ^2}x)$ = 3x$^2$.a. Tại điểm có hoành độ bằng -1 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d1): y - y(-1) = y'(-1)(x + 1) <=> (d1): y = 3x + 2.
b. Trước tiên, tiếp điểm có tung độ y$_0$ = 8 thì: $x_0^3$ = 8 <=> x$_0$ = 2.
Do đó, phương trình tiếp tuyến có dạng: (d2): y - 8 = y'(2)(x - 2) <=> (d2): y = 12x - 16.
c. Hê số góc của tiếp tuyến bằng 3, suy ra:
3$x_0^2$ = 3 <=> $x_0^2$ = 1 <=> x$_0$ = ±1.
Khi đó:
* Tại x$_0$ = 1 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d3): y - y(1) = y'(1)(x - 1) <=> (d3): y = 3x - 2.
* Tại x$_0$ = -1 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d4): y - (-1) = y'(-1)[x - (-1)] <=> (d4): y = 3x + 2.
Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y = $\frac{1}{x}$:
a. Tại điểm $\left( {\frac{1}{2};\,\,2} \right)$.
b. Tại điểm có hoành độ bằng -1.
c. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -$\frac{1}{4}$.
Giải
Trước tiên ta đi tính đạo hàm của hàm số:y’=$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\frac{{\frac{{ - \Delta x}}{{x(x + \Delta x)}}}}{{\Delta x}}$ = -$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\frac{1}{{x(x + \Delta x)}}$ = -$\frac{1}{{{x^2}}}$.
a. Tại điểm $\left( {\frac{1}{2};\,\,2} \right)$ phương trình tiếp tuyến có dạng:
(d1): y - $\frac{1}{2}$ = y'($\frac{1}{2}$)(x - $\frac{1}{2}$) <=> (d1): y = -4x + 4.
b. Tại điểm có hoành độ bằng -1 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d2): y - y(-1) = y'(-1)[x - (-1)] <=> (d2): y = -x - 2.
c. Hê số góc của tiếp tuyến bằng 3, suy ra: -$\frac{1}{{x_0^2}}$ = -$\frac{1}{4}$ <=> $x_0^2$ = 4 <=> x$_0$ = ±2.
Khi đó:
* Tại x$_0$ = 2 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d3): y - y(2) = y'(2)(x - 2) <=> (d3): y = -$\frac{1}{4}$x + 1.
* Tại x$_0$ = -2 phương trình tiếp tuyến có dạng: (d4): y - (-2) = y'(-2)[x - (-2)] <=> (d4): y = -$\frac{1}{4}$x - 1.
Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 5: Cho đường cong (C): y = $\sqrt x $. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):
a. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1.
b. Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng (Δ): x - 4y + 3 = 0.
Giải
Hàm số y = $\sqrt x $ có y' = $\frac{1}{{2\sqrt x }}$.a. Từ điều kiện hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1, ta được: $\frac{1}{{2\sqrt x }}$ = 1 <=> $\sqrt x $ = $\frac{1}{2}$ <=> x = $\frac{1}{4}$.
Khi đó, phương trình tiếp tuyến có dạng:
(d): y - y($\frac{1}{4}$) = 1.(x - $\frac{1}{4}$) <=> (d): y - $\frac{1}{2}$ = x - $\frac{1}{4}$ <=> (d): y = x + $\frac{1}{4}$.
b. Đường thẳng (Δ) có hệ số góc k = $\frac{1}{4}$.
Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (Δ) nên có hệ số góc k = $\frac{1}{4}$ , do đó: $\frac{1}{{2\sqrt x }}$ = $\frac{1}{4}$ <=> $\sqrt x $ = 2 <=> x = 4.
Khi đó, phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): y - y(4) = $\frac{1}{4}$.(x - 4) <=> (d): 4(y - 2) = x - 4 <=> (d): x - 4y + 4 = 0.
Xem thêm: 13 dạng đạo hàm
Sửa lần cuối: