Phương pháp:
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b. Khi đó $d\left( {a,b} \right) = MN$. Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng :
Phương pháp 1 Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆'. Khi đó $d(\Delta ,\Delta ') = d(\Delta ',(\alpha ))$
Phương pháp 2 Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.
Phương pháp 3 Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.
Trường hợp 1: ∆ và ∆' vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau
Trường hợp 2: ∆ và ∆' chéo nhau mà không vuông góc với nhau
Hoặc
Sử dụng phương pháp vec tơ
a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CDkhi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {CN} = y\overrightarrow {CD} \\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CD} = 0\end{array} \right.$
b) Nếu trong (α) có hai vec tơ không cùng phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $ thì $OH = d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {{u_2}} \\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.$.
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b. Khi đó $d\left( {a,b} \right) = MN$. Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng :
Phương pháp 1 Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆'. Khi đó $d(\Delta ,\Delta ') = d(\Delta ',(\alpha ))$
Trường hợp 1: ∆ và ∆' vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau
- Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆' và vuông góc với ∆ tại I.
- Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ $IJ \bot \Delta '$.
- Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆' và song song với ∆.
- Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống (α) bằng cách lấy điểm $M \in \Delta $ dựng đoạn $MN \bot \left( \alpha \right)$, lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với ∆.
- Bước 3: Gọi $H = d \cap \Delta '$, dựng $HK\parallel MN$
- Bước 1: Chọn mặt phẳng $(\alpha ) \bot \Delta $ tại I.
- Bước 2: Tìm hình chiếu d của ∆' xuống mặt phẳng (α).
- Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng $IJ \bot d$, từ J dựng đường thẳng song song với ∆ cắt ∆' tại H, từ H dựng $HM\parallel IJ$.
a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CDkhi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {CN} = y\overrightarrow {CD} \\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CD} = 0\end{array} \right.$
b) Nếu trong (α) có hai vec tơ không cùng phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $ thì $OH = d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {{u_2}} \\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.$.
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm $O,{\rm{ }}SA$ vuông góc với đáy $\left( {ABCD} \right).$ Gọi $K,{\rm{ }}H$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên $S
D.$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK.
B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD.
C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH.
D. Các khẳng định trên đều sai.
Nếu $AK \bot AC,{\rm{ do }}AK \bot AB \Rightarrow AK \bot (ABC)$
$ \Rightarrow AK \equiv SA$ (vì $SA \bot (ABC)$ $ \Rightarrow SA \bot SD \Rightarrow \Delta SAD$ có 2 góc vuông (vô lý).
Theo tính chất của hình vuông $CD\not \bot AC$.
Nếu $AC \bot OH,{\rm{ do }}AC \bot BD \Rightarrow AC \bot (SBD) \Rightarrow AC \bot SO \Rightarrow \Delta SOA$ có 2 góc vuông (vô lý)
Như vậy $AC\not \bot AK,{\rm{ }}AC\not \bot CD,{\rm{ }}AC\not \bot OH$
Chọn đáp án D.
A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$.
C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Chọn C.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Khi đó $NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ nên tam giác ANB cân, suy ra $NM \bot AB$. Chứng minh tương tự ta có $NM \bot DC$, nên $d\left( {AB;CD} \right) = MN$.
Ta có: ${S_{ABN}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BN} \right)\left( {p - AN} \right)} $ (p là nửa chu vi).
$ = \sqrt {\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}} = \frac{{\sqrt 2 a}}{4}$.
Mặt khác: ${S_{ABN}} = \frac{1}{2}A
B.MN = \frac{1}{2}a.MN$ $ \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}$.
Cách khác. Tính $MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Khi đó $NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ nên tam giác ANB cân, suy ra $NM \bot AB$. Chứng minh tương tự ta có $NM \bot DC$, nên $d\left( {AB;CD} \right) = MN$.
Ta có: ${S_{ABN}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BN} \right)\left( {p - AN} \right)} $ (p là nửa chu vi).
$ = \sqrt {\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}} = \frac{{\sqrt 2 a}}{4}$.
Mặt khác: ${S_{ABN}} = \frac{1}{2}A
B.MN = \frac{1}{2}a.MN$ $ \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}$.
Cách khác. Tính $MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
A. $\frac{{3a}}{4}$.
B. $\frac{{2a}}{3}$.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
D. $a\sqrt 3 $.
Chọn D.
Ta có: $BC$//$\left( {SAD} \right)$
$ \Rightarrow d\left( {BC;SD} \right) = d\left( {BC;\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right)$.
Mà $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right) = AB$.
Ta có: $AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {5{a^2} - 2{a^2}} = \sqrt 3 a$.
Ta có: $BC$//$\left( {SAD} \right)$
$ \Rightarrow d\left( {BC;SD} \right) = d\left( {BC;\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right)$.
Mà $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right) = AB$.
Ta có: $AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {5{a^2} - 2{a^2}} = \sqrt 3 a$.
A. $\frac{a}{2}$.
B. $\frac{a}{3}$.
C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Chọn C.
Ta có: $d\left( {BB';AC} \right) = d\left( {BB';\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \frac{1}{2}DB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Ta có: $d\left( {BB';AC} \right) = d\left( {BB';\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \frac{1}{2}DB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
B. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\frac{{2\sqrt 2 }}{5}$.
D. $\frac{{3\sqrt 5 }}{7}$.
Chọn B.
Ta có: $d\left( {AA';BD'} \right) = d\left( {BB';\left( {DBB'D'} \right)} \right) = \frac{1}{2}AC = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Ta có: $d\left( {AA';BD'} \right) = d\left( {BB';\left( {DBB'D'} \right)} \right) = \frac{1}{2}AC = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
C. $\frac{a}{2}$.
D. $\frac{a}{3}$.
Chọn A.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Khi đó $NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ nên tam giác ANB cân, suy ra $NM \bot AB$. Chứng minh tương tự ta có $NM \bot DC$, nên $d\left( {AB;CD} \right) = MN$.
Ta có: ${S_{ABN}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BN} \right)\left( {p - AN} \right)} $ (p là nửa chu vi).
$ = \sqrt {\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}} = \frac{{\sqrt 2 a}}{4}$.
Mặt khác: ${S_{ABN}} = \frac{1}{2}A
B.MN = \frac{1}{2}a.MN$ $ \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}$.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Khi đó $NA = NB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ nên tam giác ANB cân, suy ra $NM \bot AB$. Chứng minh tương tự ta có $NM \bot DC$, nên $d\left( {AB;CD} \right) = MN$.
Ta có: ${S_{ABN}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BN} \right)\left( {p - AN} \right)} $ (p là nửa chu vi).
$ = \sqrt {\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a + a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}} = \frac{{\sqrt 2 a}}{4}$.
Mặt khác: ${S_{ABN}} = \frac{1}{2}A
B.MN = \frac{1}{2}a.MN$ $ \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}$.
A. AA'.
B. BB'.
C. DA'.
D. DD'.
$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\\A'C' \subset \left( {A'B'C'D'} \right)\end{array} \right. \to AA' \bot A'C'\\\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot \left( {ABCD} \right)\\AD \subset (ABCD\end{array} \right.{\rm{ }} \to AA' \bot AD\end{array}$
Chọn đáp án A.
A. a.
B. $a\sqrt 2 .$
C. $a\sqrt 3 .$
D. 2a.
Ta có:$d\left( {CD,SB} \right) = d\left( {CD,\left( {SAB} \right)} \right) = AD = a.$
Chọn phương án A.
A. a
B. $\frac{a}{{\sqrt 5 }}$
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
D. $\frac{a}{2}$
Gọi J là trung điểm OB. Kẻ OH vuông góc AJ tạiH.
Tam giác AOJ vuông tại O, có OH là đường cao $OH = \frac{{OA.OJ}}{{\sqrt {O{A^2} + O{J^2}} }} = \frac{{a.\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}$
Ta có: $OC{\rm{//}}IJ$ nên $OC{\rm{//}}\left( {AIJ} \right)$
Do đó: $d\left( {AI,OC} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}d\left( {OC,\left( {AIJ} \right)} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}d\left( {O,\left( {AIJ} \right)} \right) = OH = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}.$ Chọn đáp án B.
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{4}$.
B. $\frac{a}{2}$.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Gọi H là trung điểm AD ta có: $d(CD;SB) = d(D;(SBH)) = d(A;(SBH))$
Mà $\frac{1}{{{d^2}(A;(SBH))}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} \to d(CD;SB) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$
Chọn đáp án $C$
A. $\frac{{a\sqrt {21} }}{3}$.
B. $\frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.
C. $\frac{{a\sqrt {15} }}{5}$.
D. $\frac{{a\sqrt {15} }}{3}$.
Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm AD,BC. Ta có: $AD,BC \bot (SFE)$, suy ra $SF$ là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SEF)
Nên $d(AD;SB) = d(E;SF) = \frac{{SE.FE}}{{\sqrt {S{E^2} + F{E^2}} }} = \frac{{a\frac{{\sqrt 3 }}{2}a}}{{\sqrt {\frac{3}{4}{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}a$
Chọn đáp án B
A. 3a.
B. $2a\sqrt 2 .$
C. $a\sqrt 2 .$
D. 2a.
Ta có ${A_1}{B_1}{\rm{//}}{C_1}{D_1}$ suy ra
$d\left( {{A_1}{B_1},{C_1}M} \right) = d\left( {{A_1}{B_1},\left( {{C_1}{D_1}M} \right)} \right) = d\left( {{A_1},\left( {{C_1}{D_1}M} \right)} \right)$
Vì $A{A_1} = 2a,{\rm{ }}AD = 4a$ và M là trung điểmAD nên ${A_1}M \bot {D_1}M$, suy ra ${A_1}M \bot \left( {{C_1}{D_1}M} \right)$
$ \Rightarrow d\left( {{A_1},\left( {{C_1}{D_1}M} \right)} \right) = {A_1}M = 2a\sqrt 2 $.
Chọn đáp án B.
A. $a\sqrt 2 $.
B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}A'B' \bot A'A\\A'B' \bot A'D'\end{array} \right. \Rightarrow A'B' \bot \left( {ADD'A'} \right)$.
Gọi H là giao điểm của AD' với A'
D. $ \Rightarrow A'H \bot AD'$
$\left\{ \begin{array}{l}A'H \bot AD'\\A'H \bot A'B'\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {A'B';AD'} \right) = A'H = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Chọn B.
A. $\frac{a}{2}$.
B. $\frac{a}{3}$.
C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {AA'C'C} \right) \supset AC}\\{\left( {AA'C'C} \right){\rm{//}}BB'}\end{array}} \right.$ nên $d\left( {BB';AC} \right) = d\left( {BB';\left( {AA'C'C} \right)} \right)$.
Gọi $I = AC \cap BD$. Vì ABCD.A'B'C'D' là hình
lập phương nên $BI \bot \left( {AA'C'C} \right)$.
Suy ra $d\left( {BB';AC} \right) = d\left( {BB';\left( {AA'C'C} \right)} \right) = IB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Chọn đáp án C.
Bản đầy đủ các dạng vecto trong không gian
Sửa lần cuối: