Dạng 4: Tính đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Để tính đạo hàm của hàm số: y = f(x)trên khoảng (a, b), bằng định nghĩa, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tính Δy = f(x + Δx) - f(x).
Bước 2: Lập tỉ số $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.
Bước 3: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.
* Chú ý:
1. Cần lưu ý rằng trong các phép tính này, điểm x coi như cố định còn Δx thì tiến tới 0.
2. Nếu khoảng (a; b) bằng đoạn [a; b], ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) trong khoảng (a; b)
Bước 2: Tính đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm a.
Bước 3: Tính đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm b.

Thí dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x$_0$ (a là hằng số):
a. y = ax + 3.
b. y = $\frac{1}{2}$ax$^2$.
Giải​
a. Ta có: y'(x$_0$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ax + 3 - a{x_0} - 2}}{{x - {x_0}}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} a$ = a.
b. Ta có:
y'(x$_0$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{1}{2}a{x^2} - \frac{1}{2}ax_0^2}}{{x - {x_0}}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{2}a(x + {x_0})$ = ax$_0$.

Thí dụ 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a. y = $\frac{1}{{2x - 1}}$ với x ≠ $\frac{1}{2}$.
b. y = $\sqrt {3 - x} $ với x < 3.
Giải​
a. Ta có:
y' =$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\frac{{\frac{1}{{2(x + \Delta x) - 1}} - \frac{1}{{2x - 1}}}}{{\Delta x}}$
= $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\frac{{ - 2}}{{[2(x + \Delta x) - 1](2x - 1)}}$ = -$\frac{2}{{{{(2x - 1)}^2}}}$.
b. Ta có:
y' =$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\frac{{\sqrt {3 - (x + \Delta x)} - \sqrt {3 - x} }}{{\Delta x}}$
= -$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\frac{1}{{\sqrt {3 - (x + \Delta x)} + \sqrt {3 - x} }}$ = -$\frac{1}{{2\sqrt {3 - x} }}$.

Thí dụ 3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số f(x) = cos2x.
Giải​
Cho x một số gia Δx, ta có: Δy = f(x + Δx) - f(x) = cos2(x + Δx) - cos2x
=> $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\frac{{\cos 2(x + \Delta x) - \cos 2x}}{{\Delta x}}$ = -$\frac{{2\sin (2x + \Delta x).\sin \Delta x}}{{\Delta x}}$.
Do đó: $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} $$\left[ { - 2\sin (2x + \Delta x).\frac{{\sin \Delta x}}{{\Delta x}}} \right]$ = - 2sin2x.
Vậy, ta được f '(x) = - 2sin2x.

Thí dụ 4: Cho hàm số: f(x) = $\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\sin \frac{1}{x}\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$.
a. Tính đạo hàm của f tại mỗi x∈\(\mathbb{R}\).
b. Chứng tỏ rằng đạo hàm f' không liên tục tại x$_0$ = 0.
Giải​
a. Ta xét hai trường hợp:
* Với x ≠ 0, ta có f '(x) = 2xsin$\frac{1}{x}$ - cos$\frac{1}{x}$.
* Với x = 0, ta có:
f '(0) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $x.sin$\frac{1}{x}$.
Ta có:
- Với mọi x ≠ 0 thuộc lân cận của điểm 0 luôn có: |xsin$\frac{1}{x}$| ≤ |x| <=> - |x| ≤ xsin$\frac{1}{x}$ ≤ |x|.
- Mặt khác $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $( - |x|) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $|x| = 0.
Suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.\sin \frac{1}{x}$ = 0 => f'(0) = 0.
Vậy, ta được: f '(x) = $\left\{ \begin{array}{l}2x\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$.

b. Chứng tỏ rằng đạo hàm f' không liên tục tại x$_0$ = 0.
Đặt g(x) = 2x.sin$\frac{1}{x}$ - cos$\frac{1}{x}$.
Chọn hai dãy số {x$_n$} và {y$_n$} với:
* x$_n$ = $\frac{1}{{2n\pi }}$ => x$_n$→ 0 khi n→ ∞ và ta được: g(x$_n$) = 2x$_n$.sin$\frac{1}{{{x_n}}}$ - cos$\frac{1}{{{x_n}}}$ khi →- 1.
* y$_n$ = $\frac{1}{{\pi + 2n\pi }}$=> y$_n$→ 0 khi n→ ∞ và ta được: f(y$_n$) = 2y$_n$.sin$\frac{1}{{{y_n}}}$ - cos$\frac{1}{{{y_n}}}$ → 1.
Tức $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $g(x) không tồn tại. Suy ra: f '(x) không có giới hạn khi x→0 => f ' không liên tục tại x$_0$ = 0.

 
Sửa lần cuối: