Dạng 4: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Trong không gian Oxyz, ta giả sử gọi d là khoảng cách giữa 2 mặt phẳng. Khi đó d được tính theo công thức như nào? Có những khả năng nào xảy ra?

Ta biết, vị trí tương đối của 2 mặt phẳng có 3 khả năng xảy ra:
  • Hai mặt phẳng trùng nhau => d = 0
  • Hai mặt phẳng cắt nhau => d = 0
  • Hai mặt phẳng song song với nhau (d ≠ 0) => Bài viết này sẽ tập trung vào chủ đề này

Phương pháp tìm khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song


Để tìm khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng ta làm như sau
Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng.png
Trường hợp 1: Khi $\left[ \begin{array}{l} \left( P \right) \cap \left( Q \right)\\ \,\left( P \right) \equiv \left( Q \right) \end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow d\left( {\left( P \right)\,,\,\left( Q \right)} \right) = 0$ .
Trường hợp 2: Khi $\left( P \right)//\left( Q \right) \Rightarrow d\left( {\left( P \right)\,,\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {M\,,\,\left( Q \right)} \right)$
với $A \in \left( P \right)\,$.

Ví dụ vận dụng tìm khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song


Câu
1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A'D'. Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {ACC'} \right)$.
A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
B. $\frac{a}{4}$.
C. $\frac{a}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{4}$.
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 01.png

Chọn D.
Ta có: $\left( {MNP} \right)$//$\left( {ACA'} \right)$$ \Rightarrow d\left( {\left( {MNP} \right);\left( {ACA'} \right)} \right) = d\left( {P;\left( {ACA'} \right)} \right) = \frac{1}{2}OD' = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}$.
Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng $60^\circ $, đáy $ABC$ là tam giác đều và $A'$ cách đều A, B, $C$. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.
A. a.
B. $a\sqrt 2 $.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
D. $\frac{{2a}}{3}$.
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 02.png

Chọn A.
Vì ∆ABC đều và$AA' = A'B = A'C \Rightarrow A'ABC$ là hình chóp đều.
Gọi A'H là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm ∆ABC , $A'\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} H = 60^\circ $.
$A'H = AH.\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\sqrt 3 = a$.
Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.{A_1}{B_1}{C_1}$ có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc ${60^{\rm{o}}}.$ Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)$ là trung điểm của ${B_1}{C_1}.$ Khoảng cách giữa 2 mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?
A. $a\frac{{\sqrt 3 }}{2}.$
B. $\frac{a}{3}.$
C. $a\frac{{\sqrt 2 }}{2}.$
D. $\frac{a}{2}.$
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 03.png

Ta có: $A'H \bot \left( {ABC} \right) \to \widehat {A'AH} = {60^{\rm{o}}}.$
$d\left( {\left( {A'B'C'} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = A'H = A'A.cos{60^{\rm{o}}} = a\frac{{\sqrt 3 }}{2}.$
Chọn đáp án A.
Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $30^\circ $. Hình chiếu H của A trên mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ thuộc đường thẳng$B'C'$. Tìm khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đáy
A. $\frac{a}{3}.$
B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
C. $\frac{a}{2}.$
D. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 04.png

Do hình lăng trụ ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a suy ra $AB' = AC' \Rightarrow B'H = HC' \Rightarrow A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \frac{a}{2}.$
Chọn đáp án C.
Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khoảng cách giữa (AB'C) và (A'DC') bằng
A. $a\sqrt 3 $.
B. $a\sqrt 2 $.
C. $\frac{a}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 05.png

Ta có $d\left( {\left( {AB'C} \right),\left( {A'DC'} \right)} \right) = d\left( {B',\left( {A'DC'} \right)} \right) = d\left( {D',\left( {A'DC'} \right)} \right)$
Gọi $O'$ là tâm của hình vuông A'B'C'D'. Gọi I là hình
Chiếu của D' trên O'D, suy ra I là hình chiếu của D'
trên $\left( {A'DC'} \right)$.
$\begin{array}{l}d\left[ {\left( {AB'C} \right),\left( {A'DC'} \right)} \right] = d\left[ {D',\left( {A'DC'} \right)} \right] = \\D'I = \frac{{D'O'.D'D}}{{\sqrt {D'{{O'}^2} + D'{D^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\end{array}$
Chọn đáp án D.
Câu 6: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ACC')
A. $\frac{a}{3}.$
B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{4}.$
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$
D. $\frac{a}{4}.$
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 06.png

Nhận xét $(ACC') \equiv (ACC'A')$
Gọi $O = AC \cap BD,{\rm{ }}I = MN \cap BD$
Khi đó, $OI \bot AC,{\rm{ }}OI \bot AA' \Rightarrow OI \bot (ACC'A')$
Suy ra $d\left( {(MNP),(ACC')} \right) = OI = \frac{1}{4}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}$
Chọn đáp án B.
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD') và (BA'C') bằng
A. khoảng cách từ điểm D' đến đường thẳng A'C'.
B. khoảng cách giữa hai điểm B và D'.
C. khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và A'C'.
D. khoảng cách giữa trọng tâm của hai tam giác ACD' và BA'C'
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 07.png

Ta có $(ACD')//(BA'C')$.
$\begin{array}{l}DB' \bot (ACD')\\DB' \bot (BA'C')\end{array}$(đã chứng minh trong SGK)
Đáp án D.
Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(CB'D')$ và $(BDA')$ bằng
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 08.png

Vì $\left( {A'BD} \right)//(B'CD')$ nên ta có:
$d\left( {\left( {A'BD} \right),\left( {B'CD'} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {A'BD} \right)} \right)$.
Vì AB = AD = AA' = a và $A'B = A'D = BD = a\sqrt 2 $ nên
A.A'BD là hình chóp tam giác đều.
Gọi I là trung điểm $A'B,\,\,G$là trọng tâm tam giác A'BD.
Khi đó ta có: $d\left( {A;\left( {A'BD} \right)} \right) = AG$
Vì tam giác A'BD đều nên $DI = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
Theo tính chất trọng tâm ta có: $DG = \frac{2}{3}DI = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Trong tam giác vuông $AGD$ có:
$AG = \sqrt {A{D^2} - D{G^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{6{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$. Chọn B
Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khoảng cách giữa (ACB') và (DA'C') bằng
A. $a\sqrt 3 $.
B. $a\sqrt 2 $.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{a}{3}$.
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 09.png

Vì $\left( {ACB'} \right)//(DA'C')$ nên ta có:
$d\left( {\left( {ACB'} \right),\left( {DA'C'} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {ACB'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {ACB'} \right)} \right)$.
Vì BA = BB' = BC = a và $AB' = AC = CB' = a\sqrt 2 $ nên
B.ACB' là hình chóp tam giác đều.
Gọi I là trung điểm $AC,\,\,G$là trọng tâm tam giác ACB'.
Khi đó ta có: $d\left( {B;\left( {ACB'} \right)} \right) = BG$
Vì tam giác ACB' đều nên $B'I = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
Theo tính chất trọng tâm ta có: $B'G = \frac{2}{3}B'I = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Trong tam giác vuông BGB' có:
$BG = \sqrt {BB{'^2} - B'{G^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{6{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$. Chọn C.
Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có $AB = 4,{\rm{ }}AD = 3.$ Mặt phẳng $(ACD')$ tạo với mặt đáy một góc ${60^ \circ }.$ Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.
A. $\frac{{6\sqrt 3 }}{5}$.
B. $\frac{{12\sqrt 3 }}{5}$.
C. $\frac{{4\sqrt 3 }}{5}$.
D. $\frac{{5\sqrt 3 }}{3}$.
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 10.png

Gọi O là hình chiếu của $D$ lên AC.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACD'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\AC \bot DO\\AC \bot D'O\left( {AC \bot \left( {ODD'} \right) \supset OD'} \right)\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {D'AC} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {D'OD} = {60^0}$
$AC = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$ ; $DO = \frac{{A
D.DC}}{{AC}} = \frac{{12}}{5}$
Khoảng cách giữa hai mặt đáy là $DD' = DO.\tan {60^0} = \frac{{12\sqrt 3 }}{5}$
Chọn đáp án B.
 
Sửa lần cuối:

Chương 8: Vector trong không gian

Các dạng toán liên quan giữa hai đường thẳng trong không gian Các dạng toán liên quan giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Các dạng toán liên quan giữa hai mặt phẳng trong không gian Các dạng toán tính khoảng cách trong không gian