Ta hay gặp bài toán chứng minh một đường thẳng đi qua một điểm cố định , hay một điểm nằm trên một đường tròn cố định , một hình vuông …tóm lại một hình H cố định nào đó . Khi đó ta chỉ cần chứng minh đường thẳng đó đi qua tâm vị tự của hai hình H và H’ hoặc chứng minh M nằm trên một đường tròn ảnh của một hình H qua một phép vị tự tâm I tỉ số k
Ví dụ 1. Cho hai đường tròn (O\(_1\)) và (\({O_2}\)) ngoài nhau , một đường tròn (O) thay đổi tiếp xúc ngoài với \(\left( {{O_1};{R_1}} \right)\) và tiếp xúc ngoài với \(\left( {{O_2};{R_2}} \right)\) . Chứng minh đường thẳng nối hai tiếp điểm đi qua một điểm cố định .
Giải
Vẽ hình minh họa cho học sinh . Từ hình vẽ , phân tích cho học sinh thấy :* Gọi M,N thứ tự là hai tiếp điểm của (O) với hai đường tròn \(\left( {{O_1};{R_1}} \right)\);\(\left( {{O_2};{R_2}} \right)\). Thì \({O_1}O \cap {O_2}O = O\). Kẻ \({O_2}M'//{O_1}M\). Thì ta có \(\overrightarrow {{O_1}M} \Uparrow \overrightarrow {{O_2}M'} \) cho nên MM’ đi qua tâm vị tự ngoài của hai đường tròn . Do đó : \(\frac{{{O_2}M'}}{{{O_1}M}} = \frac{{{O_2}N}}{{{O_1}M}} = \frac{{R'}}{R} = k\).
* Hai tam giác : ONM đồng dạng với \({O_2}NM'\) suy ra : \(\frac{{ON}}{{{O_2}N}} = \frac{{OM}}{{{O_2}M'}} \Rightarrow \frac{{ON}}{{OM}} = \frac{{{O_2}N}}{{{O_2}M'}} = 1 \Rightarrow ON = OM\). Vậy MN đi qua tâm vị tự ngoài cố định của hai đường tròn : \(\left( {{O_1};{R_1}} \right)\); \(\left( {{O_2};{R_2}} \right)\).
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn O và O’ tiếp xúc ngoài với nhau tại A .Một góc vuông xAy quay xung quanh A , tia Ax cắt O tại M , tia Ay cắt O tại M’. Chứng minh đường thẳng MM’ luôn đi qua một điểm cố định .
Giải
Nối MM’ cắt O’ tại N ta thấy : \(\overrightarrow {O'N} \) song song cùng chiều với \(\overrightarrow {AM} \) . Tương tự A’ là giaocủa OO’ với với O’ ta cùng thấy : \(\overrightarrow {A'M'} //\overrightarrow {AM} \Rightarrow \overrightarrow {OM} //\overrightarrow {O'M'} \). Suy ra MM’ đi qua tâm vị tự của hai đường tròn .Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC với trọng tâm G . Gọi A’,B’,C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB
a/ Phép vị tự nào biến A thành A’,B thành B’ và C thành C’ ?
b/ Chứng minh tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trực tâm tam giác A’B’C’
c/ Gọi H là trực tâm tam giác ABC , chứng minh rằng : \(\overrightarrow {GO} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GH} \). Suy ra G,O,H nằm trên một đường thẳng ( Đường thẳng Ơ-le ) .
Giải
a/ Theo tính chất của trọng tâm tam giác : \(\overrightarrow {GA'} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} \Rightarrow V_G^{ - \frac{1}{2}}:A \to A';\overrightarrow {GA'} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} \Rightarrow V_G^{ - \frac{1}{2}}:A \to A';\overrightarrow {GB'} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GB} \Rightarrow V_G^{ - \frac{1}{2}}:B \to B'\)\(\overrightarrow {GC'} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC} \Rightarrow V_G^{ - \frac{1}{2}}:C \to C'\). Như vậy phép vị tự tâm G tỉ số k=-1/2 biến ba điểm A,B,C thành ba điểm A’,B,C’ .
b/ Vì O là giao ba đường trung trực , cho nên OB’ ∟AC , nhưng AC//A’C’ cho nên OB’∟A’C’ . Chứng tỏ OB’ là một đường cao của tam giác A’B’C’ .
Tương tự đối với OA’ và OC’ vì vậy O là trực tâm của tam giác A’B’C’.
c/ Do tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm G tỉ số k=-1/2 cho nên H biến thành O và : \(\overrightarrow {GO} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GH} \).