Dạng 3. Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm (p3)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Cho hàm số: f(x) = $\left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x)\,\,khi\,\,x < {x_0}\\{f_2}(x)\,\,khi\,\,x \ge {x_0}\end{array} \right.$.
Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm x$_0$, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1:Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x$_0$.
Bước 2: (Đạo hàm bên trái) Tính: f '($x_0^ - $) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$.
Bước 3: (Đạo hàm bên phải) Tính: f '($x_0^ + $) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$.
Bước 4: Đánh giá hoặc giải f'($x_0^ - $) = f'($x_0^ + $), từ đó đưa ra lời kết luận.

Thí dụ 1: Chứng minh rằng hàm số: f(x) = $\left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2}\,\,\,neu\,\,x \ge 0\\ - {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,x < 0\end{array} \right.$không có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng có đạo hàm tại điểm x = 2.
Giải​
a. Tại điểm x = 0, ta thấy:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} $f(x) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} $(x - 1)$^2$ = 1,
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} $f(x) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} $(-x$^2$) = 0,
suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} $f(x) ≠ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} $f(x) => Hàm số gián đoạn tại x = 0
=> Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0.
b. Tại điểm x = 2, ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{{(x - 1)}^2} - 1}}{{x - 2}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x(x - 2)}}{{x - 2}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x$ = 2
tức là f'(2) = 2.

Thí dụ 2: (Đề - 111): Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số f(x) = $\frac{x}{{1 + |x|}}$ tại điểm x$_0$ = 0.
Giải​
Viết lại hàm số dưới dạng:f(x) = $\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{1 + x}}\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\\frac{x}{{1 - x}}\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.$.
Hàm số f(x) xác định trong một lân cận của x$_0$ = 0. Ta có:
Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x$_0$ = 0.
f'(0$^-$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} $$\frac{{\frac{x}{{1 - x}}}}{x}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} $$\frac{1}{{1 - x}}$ = 1.
Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x$_0$ = 0.
f'(0$^+$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} $$\frac{{\frac{x}{{1 + x}}}}{x}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} $$\frac{1}{{1 + x}}$ = 1.
Nhận xét rằng f'(0$^-$) = f'(0$^+$) = 1.
Vậy, hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x$_0$ = 0 và f'(0) = 1.

Chú ý: Chúng ta có thể tính một cách trực tiếp, như sau:
f'(0) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $$\frac{{\frac{x}{{1 + |x|}}}}{x}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} $$\frac{1}{{1 + |x|}}$ = 1.

Thí dụ 3: (ĐHHH - 1997): Chứng minh rằng hàm số y = $\frac{{{x^2} - 2|x + 3|}}{{3x - 1}}$ liên tục tại x = -3 những không có đạo hàm tại điểm ấy.
Giải​
Viết lại hàm số dưới dạng: f(x) = $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 2x - 6}}{{3x - 1}}\,\,\,khi\,\, - 3 \le x \ne \frac{1}{3}\\\frac{{{x^2} + 2x + 6}}{{3x - 1}}\,\,\,khi\,\,x < - 3\end{array} \right.$.
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} f(x)$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} $$\frac{{{x^2} - 2|x + 3|}}{{3x - 1}}$ = -$\frac{9}{{10}}$ = f(-3)
Do đó hàm số liên tục tại x = -3.
Mặt khác:
* Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x$_0$ = -3.
f'(-3$^-$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{f(x) - f( - 3)}}{{x + 3}}$ = $\frac{{13}}{{100}}$.
*Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x$_0$ = -3.
f'(-3$^+$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{f(x) - f( - 3)}}{{x + 3}}$ = $\frac{{53}}{{100}}$.
Nhận xét rằng f'(-3$^-$) ≠ f'(-3$^+$).
Vậy, hàm số không có đạo hàm tại x = -3.

Thí dụ 4: Cho hàm số: f(x) = $\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\\ax + b\,\,\,\,khi\,\,x > 1\end{array} \right.$. Tìm a, b để f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1.
Giải​
Để hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết f(x) phải liên tục tại x = 1, do đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} $f(x) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} $f(x) = f(1) <=> a + b = 1 <=> b = 1 - a. (1)
*Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm x = 1:
f '(1$^-$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} $$\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}$ = 2.
* Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x = 1:
f '(1$^+$) =$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}$= $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} $$\frac{{ax + b - 1}}{{x - 1}}$ =$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} $$\frac{{ax + 1 - a - 1}}{{x - 1}}$ = a.
Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1
<=> f '(1$^-$) = f '(1$^+$) <=> a = 2. (2)
Thay (2) vào (1), ta được b = - 1.
Vậy, hàm số có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = - 1.

Thí dụ 5: Cho hàm số: f(x) = $\left\{ \begin{array}{l}p\cos x + q\sin x\,\,\,\,khi\,\,x \le 0\\px + q + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.$. Chứng tỏ rằng với mọi cách chọn p, q hàm f(x) không thể có đạo hàm tại điểm x = 0.
Giải​
Để hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0 => f(x) phải liên tục tại điểm x = 0, do đó:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} $f(x) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} $f(x) = f(0) <=> p = q + 1 <=> q = p - 1. (1)
Khi đó, hàm số f(x) có dạng: f(x) = $\left\{ \begin{array}{l}p\cos x + (p - 1)\sin x\,\,\,\,khi\,\,x \le 0\\px + p\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.$
* Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x$_0$ = 0:
f '(0$^-$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} $$\frac{{p\cos x + (p - 1)\sin x - p}}{x}$
=$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{(p - 1)\sin x - p(1 - \cos x)}}{x}$=$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} $$\left[ {\frac{{(p - 1)\sin x}}{x} - \frac{{2px{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{4.{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}}}} \right]$
= p - 1.
* Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x$_0$ = 0:
f '(0$^+$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} $$\frac{{px + p - p}}{x}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} $p = p.
Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0, nếu và chỉ nếu: f '(0) = f '(0$^+$) <=> p = p - 1 vô nghiệm.
Vậy, với mọi cách chọn p, q hàm f(x) không thể có đạo hàm tại điểm x = 0.

Nguồn: Học Lớp
 
Sửa lần cuối: