Dạng 3: QUỸ TÍCH ĐIỂM
Để giải một bài toán quỹ tích điểm M khi điểm A thay đổi trên một đường (C ) cho sẵn . Trước hết ta cần phải làm một số việc sau
1. Trong hình H đã cho , ta tìm ra một điểm A thay đổi trên một đường (C ) cho sẵn nào đó ( có thể là đường tròn , có thể là một đường thẳng ) sao cho AM nằm trên một đường thẳng đi qua một điểm cố định I nào đó
2. Gán cho A và M cùng với I hai tam giác dồng dạng , từ đó tìm ra một tỉ số không đối k
3. Viết đẳng thức véc tơ : \(\overrightarrow {IM} = k\overrightarrow {IA} \) để kết luận M là ảnh của A qua phép vị tự tâm I với tỉ số vị tự là k .
4. Nếu A chạy trên (C ) thì M chạy trên (C’) là ảnh của (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ số k . Nêu cách dựng (C’) .
Để giải một bài toán quỹ tích điểm M khi điểm A thay đổi trên một đường (C ) cho sẵn . Trước hết ta cần phải làm một số việc sau
1. Trong hình H đã cho , ta tìm ra một điểm A thay đổi trên một đường (C ) cho sẵn nào đó ( có thể là đường tròn , có thể là một đường thẳng ) sao cho AM nằm trên một đường thẳng đi qua một điểm cố định I nào đó
2. Gán cho A và M cùng với I hai tam giác dồng dạng , từ đó tìm ra một tỉ số không đối k
3. Viết đẳng thức véc tơ : \(\overrightarrow {IM} = k\overrightarrow {IA} \) để kết luận M là ảnh của A qua phép vị tự tâm I với tỉ số vị tự là k .
4. Nếu A chạy trên (C ) thì M chạy trên (C’) là ảnh của (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ số k . Nêu cách dựng (C’) .
Ví dụ 1. ( Bài 29-tr29-HH11NC) .
Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định khác O . Một điểm M thay đổi trên đường tròn . Tia phân giác góc MOI cắt IM tại N . Tìm quỹ tích điểm N .
Giải
- Vẽ hình . Từ hình vẽ và tính chất của đường phân giác trong chia cạnh đối diẹn làm hai doạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề của hai cạnh đó . Ta có kết quả sau :* Do O,I cố định cho nên OI=a không đổi . Gọi N là chân đường phân giác của góc MOI ( N thuộc IM) , từ đó ta có : \(\frac{{NI}}{{NM}} = \frac{{OI}}{{OM}} = \frac{a}{R} \Leftrightarrow \frac{{NI}}{{NM + NI}} = \frac{a}{{a + R}} \Leftrightarrow IN = \frac{a}{{a + R}}IM\)
Hay : \( \Leftrightarrow IN = \frac{a}{{a + R}}IM \Rightarrow \overrightarrow {IN} = \frac{a}{{a + R}}\overrightarrow {IM} \).
Vì I cố định cho nên \({V_{\left( {I,k} \right)}}:M \to N\) . Nhưng M chạy trên đường tròn (O;R) cho nên N chạy trên đường tròn (C’) là ảnh của (O;R) qua phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k .
* Cách xác định (O’;R’) như sau
- Nối OI , tìm O’ sao cho : \(\overrightarrow {I{\rm{O}}'} = k\overrightarrow {OI} \) , từ đó suy ra O’
- Bán kính R’ được xác định bằng công thức : k= R’/R suy ra : R’=kR .
( Hoặc : lấy O’ làm tâm quay một đường tròn có bán kính là O’N )
Ví dụ 2. ( Bài 8 ÔN chương I-tr35-HH11-NC)
Cho đường tròn (O) có đường kính AB . Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và PQ là đường kính thay đổi của (O)khác với đường kính AB . Đường thẳng CQ cắt PA ,PB lần lượt tại M và N .
a/ Chứng minh Q là trung điểm của CM , N là trung điểm của CQ
b/ Tìm quỹ tích của các điểm M,N khi đường kính PQ thay đổi .
Giải
a. Vẽ hình . Từ hình xẽ ta thấy : Nối AQ, BQ , do C đối xứng với A qua B cho nên ta có B là trung điểm của AC : BA=BC (1) . Mặt khác BQ vuông góc với AQ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) PA vuông góc với AQ ( góc nội tiếp chắn ½ đường tròn ) suy ra PA // BQ do đó BQ là đường trung bình của tam giác ACM , nghĩa là Q là trung điểm của CM .- Tương tự BN là đường trung bình của tam giác ACQ cho nên N là trung điểm của CQ : NC=NQ (2)
b/ Từ (1) và (2) ta có các đẳng thức véc tơ :
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {CQ} \Rightarrow {V_{\left( {C;2} \right)}}:Q \to M\). Cho nên M chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm C , tỉ số vị tự bằng 2 .
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CQ} \Rightarrow {V_{\left( {C.\frac{1}{2}} \right)}}:Q \to N\). Vậy N chạy trên đường tròn (O’’) là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm C tỉ số k=1/2 .
- Hướng dẫn học sinh cách xác định hai tâm O’ và O’’.
Ví dụ 3. ( Bài 9-tr35-HH11NC)
Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định . Một dây cung thay đổi của (O;R) có độ dài bằng m không đổi . Tìm quỹ tích các điểm G sao cho \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Giảỉ
* Vẽ hình cho học sinh . Từ hình vẽ lấy I là trung điểm của BC , nối OI ( OI vuông góc với BC ) . A là một điẻm cố định ( có thể nằm trên (O) hay không cần nằm trên (O) . Do B,O cố định , góc OIB bằng một vuông cho nên khi BC thay đổi I chạy trên đường tròn tâm O bán kính R’= \(\sqrt {{R^2} - \frac{{{m^2}}}{4}} \). ( Xét tam giác vuông BOI ).* Từ giả thiết G là trọng tâm của tam giác ABC . Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có : \(\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} \Rightarrow {V_{\left( {A;\frac{2}{3}} \right)}}:I \to G\). Do đó : G chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O;R’) qua phép vị tự tâm A ,tỉ số vị tự bằng 2/3 .
Ví dụ 4. ( Bài toán 6-tr39-HH11CB).
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O)bán kính R , các dỉnh B,C cố định còn A thay đổi trên (O) .Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC chạy trên một đường tròn .
Giải
- Vẽ hình , Gọi I là trung điểm của BC , thì I cố định khi B,C cố định . Theo tính chất trọng tâm : \(IG = \frac{1}{3}IA \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {IA} \Rightarrow V_I^{\frac{1}{3}}:A \to G\). Nhưng A chạy trên (O) do đó G chạy trên (O’) là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm I tỉ số 1/3.- Xác định (o’;R’) bằng hệ : \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {I{\rm{O}}'} = \frac{1}{3}\overrightarrow {I{\rm{O}}} \\R' = \frac{1}{3}R\end{array} \right. \Rightarrow \left( {O';\frac{1}{3}R} \right)\)
Ví dụ 5. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;3R) tiếp xúc trong với nhau tại A. Nếu O biến thành O’ trong phép vị tự tâm A thì tỉ số vị tự bằng bao nhiêu ?
Giải
- Vẽ hình . Từ giả thiết : AO’=R’, AO=R suy ra AO’=3AO .Hay : \(\overrightarrow {AO'} = 3\overrightarrow {OA} \Rightarrow V_A^3:O \to O'\). Do đó tỉ số vị tự là k=3.
Ví dụ 6. Cho đường tròn O và một điểm P cố định ở ngoài (O) .Từ P kẻ một tiếp tuyến thay đổi PBC . Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC ?
Giải
Vẽ hình . Gọi I là trung điểm của BC thì theo tính chất của đường kính đi qua điểm giữa của dây cung : OI vuông góc với BC . Như vậy I nằm trên đường tròn đường kính OP. Mặt khác theo tính chất trọng tâm , thì G nằm trên AI và cách A một khoảng bằng 2/3 AI , hay : \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} \Rightarrow V_A^{\frac{2}{3}}:I \to G\). Nhưng I chạy trên đường tròn đường kính OP cho nên G chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn đường kính OP qua phép vị tự tâm A tỉ số 2/3.- Cách xác định O’ bằng hệ : \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AO'} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AH} \\R' = \frac{2}{3}\frac{{OP}}{2} = \frac{{OP}}{3}\end{array} \right.\). ( Với H là trung điểm của OP )
Ví dụ 7. Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định với OI=2R . M là một điểm di động trên O , phân giác góc IOM cắt IM tại M’ . Tìm quỹ tích điểm M’ khi M chạy trên đường tròn O.
Giải
- Vẽ hình . Theo tính chất của đường phân giác trong : \(\frac{{M'I}}{{MM'}} = \frac{{OI}}{{OM}} = \frac{{2R}}{R} = 2 \Rightarrow \frac{{IM'}}{{IM' + M'M}} = \frac{2}{{2 + 1}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{IM'}}{{IM}} = \frac{2}{3} \to IM' = \frac{2}{3}IM \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'} = \frac{2}{3}\overrightarrow {IM} \) Vậy : Qua phép vị tự tâm I tỉ số 2/3 biến điểm M thành điểm M’ , nhưng M chạy trên đường tròn (O;R) cho nên M’ chạy trên (O’;R’) là ảnh của (O;R) qua phép vị tự tâm I .
- Để xác định (O’;R’) : \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {I{\rm{O}}'} = \frac{2}{3}\overrightarrow {I{\rm{O}}} \\R' = \frac{2}{3}R\end{array} \right.\).
Ví dụ 8. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong với nhau tại A , đường kính kẻ từ A cắt (O) ,(O’) theo thứ tự tại B,C . Qua A vẽ đường thẳng d cắt (O);(O’) tại M,N . Tìm quỹ tích giao điểm T của BN và CM , khi d thay đổi ?
Giải
Vẽ hình minh họa .Căn cứ hình vẽ , ta có phân tích : BM và CN cùng vuông góc với đường thẳng d , suy ra BM//CN (1) . Hai tam giác OCN đồng dạng với tam giác OBM cho nên :
\(\frac{{TN}}{{TB}} = \frac{{CN}}{{BM}} = \frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{2{\rm{R}}'}}{{2{\rm{R}}}} = \frac{{R'}}{R} \Rightarrow \frac{{TN + TB}}{{BT}} = \frac{{R' + R}}{R} \Leftrightarrow \frac{{BN}}{{BT}} = \frac{{R' + R}}{R} = k \leftrightarrow BT = \frac{R}{{R' + R}}BN\)
Hay : \(\overrightarrow {BT} = \frac{R}{{R + R'}}\overrightarrow {BN} \Rightarrow V_B^{\frac{R}{{R + R'}}}:N \to T\). Nhưng N chạy trên (O’;R’) cho nên T chạy trên đường tròn ảnh của (O’) qua phép vị tự tâm B tỉ số k = \(\frac{R}{{R + R'}}\).
( HD học sinh cách tìm giới hạn quỹ tích ) .
Ví dụ 9. ( Bài 73-tr17- Ôn CI-BTHH11-NC).
Cho điểm P nằm trong đường tròn (O). Một đường thẳng thay đổi đi qua P , cắt (O) tại hai điểm A,B . Tìm quỹ tích các điểm M sao cho \(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} \).
Giải
Vẽ hình minh họa choi học sinh .Căn cứ hình vẽ ta có phân tích :
- Gọi I là trung điểm của AB . Theo tính chất trung điểm của dây cung thì OI vuông góc với AB , có nghĩa là I chạy trên đường tròn đường kính OP (1)
- Theo quy tắc véc tơ trung tuyến ta có : \(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = 2\overrightarrow {MI} \Rightarrow M\)phải nằm trên d do I,P nằm trên d . Ví : PM=2MI=2(PM-PI) suy ra PM=2PI hay : \(\overrightarrow {PM} = 2\overrightarrow {PI} \Rightarrow V_P^2:I \to M\). Vậy phép vị tự tâm P biến điểm I thành thành M . Nhưng I lại chạy trên (O;OP) vì thế M phải chạy trên đường tròn ảnh của (O) qua phép vị tự tâm P tỉ số k=2.
Ví dụ 10. Cho đường tròn (O) và một điểm P ngoài O . M là một điểm thay đổi trên O . H là hình chiếu vuông góc của của O trên PM
a/ Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác POM ?
b/ Tìm quỹ tích các điểm H và trung điểm I của PH ?
c/ Tìm quỹ tích trọng tâm K của tam giác OPH ?
Giải
Vẽ hình minh họa cho học sinh . Từ hình vẽ phân tích cho HS biết :-Vì H là hình chiếu của O trên PM cho nên OH vuông góc với PM , cho nên H nằm trên đường tròn O’ có đường kính OP .
- Gọi J là trung điểm của PO ( J là tâm đường tròn O’) thì G phải nằm trên MJ và theo tính chất của trọng tâm : \(\overrightarrow {JG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {JM} \Rightarrow V_J^{\frac{1}{3}}:M \to G\). Nhưng M lại chạy trên đường tròn O cho nên G chạy trên đường tròn O’’ là ảnh của O qua phép vị tự tâm J tỉ số k=1/3 .
- Vì I là trung điểm của PH cho nên PI=1/2PH hay : \(\overrightarrow {PI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {PH} \Rightarrow V_P^{\frac{1}{2}}:H \to I\). Nhưng H lại chạy trên tâm J bán kính \(\frac{{OP}}{2}\), cho nên I chạy trên đường tròn ảnh của đường tròn tâm J qua phép vị tự tâm P tỉ số k= ½ .
- Trọng tâm K của tam giác OPH phải nằm trên JH và theo tính chất trọng tâm , ta có :
\(\overrightarrow {JK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {JH} \Rightarrow V_J^{\frac{1}{3}}:H \to K\). Do vậy K chạy trên đường tròn ảnh của đường tròn tâm J bán kính \(\frac{{OP}}{2}\) qua phép vị tự tâm J tỉ số k=1/3 .
Ví dụ 11. Cho đường tròn O và một điểm A nằm trong O , M là một điểm di động trên đường tròn O .
a/ Tìm quỹ tích trung điểm I của AM ?
b/ Đường trung trực AM cắt đường tròn O tại P và P’ . Tìm quỹ tích chân đường vuông góc H kẻ từ O đến PP’ ?
c/ Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APP’ ?
Giải
- Vẽ hình minh họa cho học sịnh . Từ hình vẽ hãy chỉ cho học sinh một số kết quả :* Vì I là trng điểm của AM cho nên : \(\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} \Rightarrow V_A^2:M \to I\). Như vậy qua phép vị tự tâm A tỉ số ½ đã biến M thành I , nhưng M chạy trên đường tròn O , cho nên I chạy trên đường tròn ảnh của O qua phép vị tự tâm A tỉ số k=1/2.
* Đường trung trực của AM phải đi qua I và vuông góc với AM .