Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa một đường thẳng và mặt phẳng ta làm như sau
Trường hợp 1: Khi $\left[ \begin{array}{l} a \cap \left( P \right)\\ a \subset \,\left( P \right) \end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow d\left( {a\,,\,\left( P \right)} \right) = 0$
Trường hợp 2: Khi $a\,//\left( P \right) \Rightarrow d\left( {a\,,\,\left( P \right)} \right) = d\left( {A\,,\,\left( P \right)} \right)$ với $A \in \left( P \right)$.
Trường hợp 2: Khi $a\,//\left( P \right) \Rightarrow d\left( {a\,,\,\left( P \right)} \right) = d\left( {A\,,\,\left( P \right)} \right)$ với $A \in \left( P \right)$.
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, đáy ABCD là hình thang vuông cạnh a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và $\left( {SAD} \right)$.
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{a}{2}$.
D. $\frac{a}{3}$.
Chọn C
Ta có: Vì IJ// AD nên IJ// $\left( {SAD} \right)$$ \Rightarrow d\left( {IJ;\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {I;\left( {SAD} \right)} \right) = IA = \frac{a}{2}$.
A. $\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$.
B. $\frac{a}{{\sqrt 2 }}$.
C. $a\sqrt 2 $.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Chọn A
Vì $DC$// ABnên $DC$// $\left( {SAB} \right)$
$ \Rightarrow d\left( {DC;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {SAB} \right)} \right)$.
Kẻ $DH \bot SA$, do $AB \bot AD$, $AB \bot SA$nên $AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow DH \bot AB$ suy ra $d\left( {D;SC} \right) = DH$.
Trong tam giác vuông $SAD$ta có:
$\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}$$ \Rightarrow DH = \frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$.
A. $\frac{a}{2}$.
B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\frac{a}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Chọn D
Vì Mvà $N$lần lượt là trung điểm của $OA$ và $OB$nên MN// AB MN// $\left( {ABC} \right)$.
Ta có: $d\left( {MN;\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{2}OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ (vì M là trung điểm của OA).
A. $\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$
B. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.$
C. $\frac{a}{2}.$
D. a.
Gọi $I,M$ lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD thì $CD \bot (SIM)$
Vẽ $IH \bot SM$ tại $H \in SM$thì $IH \bot (SCD)$
$ \Rightarrow d\left( {AB,(SCD)} \right) = d\left( {I,(SCD)} \right) = IH = \frac{{SO.IM}}{{SM}}$
$\Delta SAB$ đều cạnh $2a \Rightarrow SI = a\sqrt 3 \Rightarrow SM = a\sqrt 3 $
Và $OM = \frac{1}{2}IM = a \Rightarrow SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}} = a\sqrt 2 $
Cuối cùng $d\left( {AB,(SCD)} \right) = \frac{{SO.IM}}{{SM}} = \frac{{a\sqrt 2 .2a}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}$
Chọn B
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
B. $\frac{a}{2}$
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$
D. $\frac{a}{3}$
$\begin{array}{l}{\rm{IJ}}//AD \Rightarrow {\rm{IJ}}//(SAD)\\ \Rightarrow d\left( {{\rm{IJ,}}(SAD)} \right) = d\left( {I,(SAD)} \right) = IA = \frac{a}{2}.\end{array}$
Chọn B
A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$
B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$
C. $\frac{a}{2}.$
D. $\frac{a}{3}.$
Khoảng cách giữa đường thẳng MN và $\left( {ABC} \right)$:
$d\left( {MN,\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {\left( {MNP} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{OH}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$
$d\left( {MN,\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {\left( {MNP} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{OH}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$
A. $\frac{a}{2}$.
B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\frac{a}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Do $MN{\rm{//}}\left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {MN,\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right)$
Lại có $\begin{array}{l}\frac{{OA}}{{MA}} = \frac{{d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right)}} = 2 \Rightarrow d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right)\\ = \frac{1}{2}d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{OH}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\end{array}$
Chọn ${\bf{D}}$.
Chọn A
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{a}{2}$.
D. $\frac{a}{3}$.
$SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AI$.
Lại có $AI \bot AD$( hình thang vuông) suy ra $IA \bot \left( {SAD} \right)$
$IJ\parallel AD$ theo tính chất hình thang, nên
$d\left( {IJ,\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {SAD} \right)} \right) = IA = \frac{a}{2}$
A. $\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$.
B. $\frac{a}{{\sqrt 2 }}$.
C. $a\sqrt 2 $.
D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
*Trong tam giác $DHA$, dựng $DH \bot SA$;
*Vì $DC//AB \Rightarrow d\left( {DC;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {SAB} \right)} \right) = DH$
Xét tam giác vuông $SDA$có :
$\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{S{D^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow DH = \frac{{a\sqrt {12} }}{3} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$
Chọn A
A. $\frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
B. $\frac{{a\sqrt 6 }}{4}$.
C. $\frac{{2a\sqrt 6 }}{9}$.
D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD
Khi đó $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.
Kẻ $OI \bot CD,\,OH \bot SI \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right)$
Ta tính được $AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},\,\,SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
$OI = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}$
$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}$ $ \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Chọn D.
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ
$A\left( {0;0;0} \right);\,B\left( {1;0;0} \right);\,D\left( {0;1;0} \right);\,A'\left( {0;0;1} \right)$
$C\left( {1;1;0} \right);\,B'\left( {1;0;1} \right);\,D'\left( {0;1;1} \right);\,C'\left( {1;1;1} \right)$
$\overrightarrow {CB'} = \left( {0; - 1;1} \right);\,\overrightarrow {CD'} = \left( { - 1;0;1} \right)$
Viết phương trình mặt phẳng $\left( {CB'D'} \right)$
Có VTPT $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {CB'} ;\overrightarrow {CD'} } \right] = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)$
$\left( {CB'D'} \right):1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 2 = 0$$d\left( {BD;\left( {CB'D'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {CB'D'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 0 + 0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
Vậy $d\left( {BD;\left( {CB'D'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.
Bản đầy đủ các dạng vecto trong không gian
Sửa lần cuối: