Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian bằng cách sử dụng hình học không gian cổ điển, đây là một nội dung thường gặp trong chương trình Hình học 11: Quan hệ vuông góc, kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu hình học không gian được chia sẻ trên
Cách 1. Tìm góc giữa 2 đường thẳng d1, d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp ( O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).
Từ O dựng các đường thẳng $d_1^,d_2^,$ lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với ${d_1}$ và ${d_2}$. Góc giữa 2 đường thẳng $d_1^,d_2^,$ chính là góc giữa hai đường thẳng d1, d2.
Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$.
Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $của hai đường thẳng d1, d2
Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$.
Lưu ý 2: Để tính $\overrightarrow {{u_1}} \overrightarrow {{u_2}} ,\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|,\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|$ ta chọn ba vec tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $ qua các vec tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ rồi thực hiện các tính toán
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, $IJ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ (I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Câu 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Giả sử tam giác AB'C và A'DC' đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A'D là góc nào sau đây?
A. $\widehat {BDB'}$.
B. $\widehat {AB'C}$.
C. $\widehat {DB'B}$.
D. $\widehat {DA'C'}$.
Câu 3: Cho tứ diện đều ABCD (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN, SC)\right)$ bằng
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ, CD) bằng
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Câu 6: Cho tứ diện ABCD có $AB = CD$. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc giữa $\left( {IE,JF} \right)$ bằng
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {AB} $ và$\overrightarrow {DH} $?
A. 450
B. 900
C. 1200
D. 600
Câu 8: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC'D' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O'. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {AB} $ và$\overrightarrow {OO'} $?
A. 600
B. 450
C. 1200
D. 900
Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0},\,\,\widehat {CAD} = {90^0}$. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và $CD.$ Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {IJ} $ và $\overrightarrow {CD} $?
A. 450
B. 900
C. 600
D. 1200
Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có $SA = SB = SC$ và $\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {SB} $ và $\overrightarrow {AC} $?
A. 600
B. 1200
C. 450
D. 300
Câu 11: Cho tứ diệnABCD có AB = AC = AD và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0},\,\widehat {CAD} = {90^0}$. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {IJ} $?
A. 1200
B. 900
C. 600
D. 450
Câu 12: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn khẳng định đúng?
A. AB$^2$ + AC$^2$ + AD$^2$ + BC$^2$ + BD$^2$ + CD$^2$ = 3(GA$^2$ + GB$^2$ + GC$^2$ + GD$^2$).
B. AB$^2$ + AC$^2$ + AD$^2$ + BC$^2$ + BD$^2$ + CD$^2$ = 4(GA$^2$ + GB$^2$ + GC$^2$ + GD$^2$).
C. AB$^2$ + AC$^2$ + AD$^2$ + BC$^2$ + BD$^2$ + CD$^2$ = 6(GA$^2$ + GB$^2$ + GC$^2$ + GD$^2$).
D. AB$^2$ + AC$^2$ + AD$^2$ + BC$^2$ + BD$^2$ + CD$^2$ = 2(GA$^2$ + GB$^2$ + GC$^2$ + GD$^2$).
Câu 13: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là?
A. 1200
B. 600
C. 900
D. 300
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ, CD) bằng:
A. 900
B. 450
C. 300
D. 600
Câu 15: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Giả sử tam giác AB'C và A'DC' đều có 3 góc nhọn. Góc giữa 2 đường thẳng AC và A'D là góc nào sau đây?
A. $\widehat {AB'C}$.
B. $\widehat {DA'C'}$.
C. $\widehat {BB'D}$.
D. $\widehat {BDB'}$.
Câu 16. Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó $\cos \left( {AB,DM} \right)$ bằng
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{6}$.
B. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
D. $\frac{1}{2}$.
Bản đầy đủ: Các dạng toán lớp 11
1. Phương pháp
Để tính góc giữa hai đường thẳng d1, d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cáchCách 1. Tìm góc giữa 2 đường thẳng d1, d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp ( O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).
Từ O dựng các đường thẳng $d_1^,d_2^,$ lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với ${d_1}$ và ${d_2}$. Góc giữa 2 đường thẳng $d_1^,d_2^,$ chính là góc giữa hai đường thẳng d1, d2.
Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$.
Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $của hai đường thẳng d1, d2
Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$.
Lưu ý 2: Để tính $\overrightarrow {{u_1}} \overrightarrow {{u_2}} ,\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|,\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|$ ta chọn ba vec tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $ qua các vec tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ rồi thực hiện các tính toán
2. Ví dụ vận dụng
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, $IJ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ (I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Chọn C.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BC.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}MI = NI = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}\\MI{\rm{ // }}AB{\rm{ // }}CD{\rm{ // }}NI\end{array} \right. \Rightarrow MINJ$ là hình thoi.
Gọi O là giao điểm của MN và IJ.
Ta có: $\widehat {MIN} = 2\widehat {MIO}$.
Xét $\Delta MIO$ vuông tại O, ta có: $\cos \widehat {MIO} = \frac{{IO}}{{MI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {MIO} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {MIN}$ = 600
Mà: $\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right) = \widehat {MIN}$ = 600
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BC.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}MI = NI = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}\\MI{\rm{ // }}AB{\rm{ // }}CD{\rm{ // }}NI\end{array} \right. \Rightarrow MINJ$ là hình thoi.
Gọi O là giao điểm của MN và IJ.
Ta có: $\widehat {MIN} = 2\widehat {MIO}$.
Xét $\Delta MIO$ vuông tại O, ta có: $\cos \widehat {MIO} = \frac{{IO}}{{MI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {MIO} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {MIN}$ = 600
Mà: $\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right) = \widehat {MIN}$ = 600
A. $\widehat {BDB'}$.
B. $\widehat {AB'C}$.
C. $\widehat {DB'B}$.
D. $\widehat {DA'C'}$.
Chọn D.
Ta có: $AC{\rm{ // }}A'C'$ (tính chất của hình hộp)
$ \Rightarrow \left( {AC,A'D} \right) = \left( {A'C',A'D} \right) = \widehat {DA'C'}$ (do giả thiết cho $\Delta DA'C'$ nhọn).
Ta có: $AC{\rm{ // }}A'C'$ (tính chất của hình hộp)
$ \Rightarrow \left( {AC,A'D} \right) = \left( {A'C',A'D} \right) = \widehat {DA'C'}$ (do giả thiết cho $\Delta DA'C'$ nhọn).
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Chọn D.
Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)$.
Gọi E là trung điểm CD $ \Rightarrow BE \bot CD$ (do $\Delta BCD$ đều).
Do $AH \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AH \bot CD$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot BE\\CD \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABE} \right) \Rightarrow CD \bot AB \Rightarrow \widehat {\left( {AB,CD} \right)}$ = 900
Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)$.
Gọi E là trung điểm CD $ \Rightarrow BE \bot CD$ (do $\Delta BCD$ đều).
Do $AH \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AH \bot CD$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot BE\\CD \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABE} \right) \Rightarrow CD \bot AB \Rightarrow \widehat {\left( {AB,CD} \right)}$ = 900
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Chọn D.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD $ \Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1).
Ta có: $SA = SB = SC = SD \Rightarrow S$ nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2).
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$.
Từ giả thiết ta có: $MN{\rm{ // }}SA$ (do MN là đường trung bình của $\Delta SAD$). $ \Rightarrow \left( {MN,SC} \right) = \left( {SA,SC} \right)$.
Xét $\Delta SAC$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}S{A^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\\A{C^2} = 2AD = 2{a^2}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại S $ \Rightarrow SA \bot SC$.
$ \Rightarrow \left( {SA,SC} \right) = \left( {MN,SC} \right)$ = 900
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD $ \Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1).
Ta có: $SA = SB = SC = SD \Rightarrow S$ nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2).
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$.
Từ giả thiết ta có: $MN{\rm{ // }}SA$ (do MN là đường trung bình của $\Delta SAD$). $ \Rightarrow \left( {MN,SC} \right) = \left( {SA,SC} \right)$.
Xét $\Delta SAC$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}S{A^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\\A{C^2} = 2AD = 2{a^2}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại S $ \Rightarrow SA \bot SC$.
$ \Rightarrow \left( {SA,SC} \right) = \left( {MN,SC} \right)$ = 900
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Chọn C.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD $ \Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1).
Ta có: $SA = SB = SC = SD \Rightarrow S$ nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2).
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$.
Từ giả thiết ta có: $IJ{\rm{ // }}SB$ (do IJ là đường trung bình của $\Delta SAB$). $ \Rightarrow \left( {IJ,CD} \right) = \left( {SB,AB} \right)$.
Mặt khác, ta lại có $\Delta SAB$ đều, do đó $\widehat {SBA} = 60^\circ \Rightarrow \left( {SB,AB} \right) = 60^\circ \Rightarrow \left( {IJ,CD} \right)$ = 600
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD $ \Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1).
Ta có: $SA = SB = SC = SD \Rightarrow S$ nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2).
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$.
Từ giả thiết ta có: $IJ{\rm{ // }}SB$ (do IJ là đường trung bình của $\Delta SAB$). $ \Rightarrow \left( {IJ,CD} \right) = \left( {SB,AB} \right)$.
Mặt khác, ta lại có $\Delta SAB$ đều, do đó $\widehat {SBA} = 60^\circ \Rightarrow \left( {SB,AB} \right) = 60^\circ \Rightarrow \left( {IJ,CD} \right)$ = 600
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Chọn D.
Từ giả thiết ta có: $\left\{ \begin{array}{l}IJ{\rm{ // }}EF{\rm{ // }}AB\\JE{\rm{ // }}IF{\rm{ // }}CD\end{array} \right.$ (tính chất đường trung bình trong tam giác)
Từ đó suy ra tứ giác $IJEF$ là hình bình hành.
Mặt khác: $AB = CD \Rightarrow IJ = \frac{1}{2}AB = JE = \frac{1}{2}CD \Rightarrow ABCD$ là hình thoi $ \Rightarrow IE \bot JF$ (tính chất hai đường chéo của hình thoi)
$ \Rightarrow \left( {IE,JF} \right)$ = 900
Từ giả thiết ta có: $\left\{ \begin{array}{l}IJ{\rm{ // }}EF{\rm{ // }}AB\\JE{\rm{ // }}IF{\rm{ // }}CD\end{array} \right.$ (tính chất đường trung bình trong tam giác)
Từ đó suy ra tứ giác $IJEF$ là hình bình hành.
Mặt khác: $AB = CD \Rightarrow IJ = \frac{1}{2}AB = JE = \frac{1}{2}CD \Rightarrow ABCD$ là hình thoi $ \Rightarrow IE \bot JF$ (tính chất hai đường chéo của hình thoi)
$ \Rightarrow \left( {IE,JF} \right)$ = 900
A. 450
B. 900
C. 1200
D. 600
Chọn B
$\left. \begin{array}{l}AB \bot AE\\AE\,{\rm{//}}\,DH\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot DH \Rightarrow \widehat {\left( {AB,DH} \right)} = 90^\circ $
$\left. \begin{array}{l}AB \bot AE\\AE\,{\rm{//}}\,DH\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot DH \Rightarrow \widehat {\left( {AB,DH} \right)} = 90^\circ $
A. 600
B. 450
C. 1200
D. 900
Chọn D
Vì ABCD và ABC'D' là hình vuông nên $AD\,{\rm{//}}\,BC';\,\,AD = BC' \Rightarrow ADBC'$ là hình bình hành
Mà O;O' là tâm của 2 hình vuông nên O; O' là trung điểm của BD và AC' $ \Rightarrow OO'$ là đường trung bình của ADBC'$ \Rightarrow OO'\,{\rm{//}}\,AD$
Mặt khác, $AD \bot AB$ nên $OO' \bot AB \bot \Rightarrow \widehat {\left( {OO',AB} \right)} = {90^o}$
Vì ABCD và ABC'D' là hình vuông nên $AD\,{\rm{//}}\,BC';\,\,AD = BC' \Rightarrow ADBC'$ là hình bình hành
Mà O;O' là tâm của 2 hình vuông nên O; O' là trung điểm của BD và AC' $ \Rightarrow OO'$ là đường trung bình của ADBC'$ \Rightarrow OO'\,{\rm{//}}\,AD$
Mặt khác, $AD \bot AB$ nên $OO' \bot AB \bot \Rightarrow \widehat {\left( {OO',AB} \right)} = {90^o}$
A. 450
B. 900
C. 600
D. 1200
Chọn B
Ta có $BAC$ và $BAD$ là 2 tam giác đều, I là trung điểm của AB nên $CI = DI$ (2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh AB) nên $CID$ là tam giác cân ở I. Do đó $IJ \bot CD.$
Ta có $BAC$ và $BAD$ là 2 tam giác đều, I là trung điểm của AB nên $CI = DI$ (2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh AB) nên $CID$ là tam giác cân ở I. Do đó $IJ \bot CD.$
A. 600
B. 1200
C. 450
D. 300
Chọn D
Ta có: $\Delta SAB = \Delta SBC = \Delta SCA\,\,\left( {c - g - c} \right)$$ \Rightarrow AB = BC = CA$.
Do đótam giác ABC đều. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Vì hình chóp S.ABC có SA = SB = SC nên hình chiếu của S trùng với G
Hay $SG \bot \left( {ABC} \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BG\\AC \bot SG\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBG} \right)$
Suy ra $AC \bot SB$.
Vậy góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {SB} $ và $\overrightarrow {AC} $ bằng ${90^0}$.
Ta có: $\Delta SAB = \Delta SBC = \Delta SCA\,\,\left( {c - g - c} \right)$$ \Rightarrow AB = BC = CA$.
Do đótam giác ABC đều. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Vì hình chóp S.ABC có SA = SB = SC nên hình chiếu của S trùng với G
Hay $SG \bot \left( {ABC} \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BG\\AC \bot SG\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBG} \right)$
Suy ra $AC \bot SB$.
Vậy góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {SB} $ và $\overrightarrow {AC} $ bằng ${90^0}$.
A. 1200
B. 900
C. 600
D. 450
Chọn B
Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD.
Ta có: $\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right)$
Vì tam giác ABC có $AB = AC$ và $\widehat {BAC} = 60^\circ $
Nên tam giác ABCđều. Suy ra: $CI \bot AB$
Tương tự ta có tam giác ABD đều nên $DI \bot AB$.
Xét $\overrightarrow {IJ} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right).\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {IC} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {ID} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 $.
Suy ra $\overrightarrow {IJ} \bot \overrightarrow {AB} $. Hay góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {IJ} $ bằng ${90^0}$.
Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD.
Ta có: $\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right)$
Vì tam giác ABC có $AB = AC$ và $\widehat {BAC} = 60^\circ $
Nên tam giác ABCđều. Suy ra: $CI \bot AB$
Tương tự ta có tam giác ABD đều nên $DI \bot AB$.
Xét $\overrightarrow {IJ} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right).\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {IC} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {ID} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 $.
Suy ra $\overrightarrow {IJ} \bot \overrightarrow {AB} $. Hay góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {IJ} $ bằng ${90^0}$.
A. AB$^2$ + AC$^2$ + AD$^2$ + BC$^2$ + BD$^2$ + CD$^2$ = 3(GA$^2$ + GB$^2$ + GC$^2$ + GD$^2$).
B. AB$^2$ + AC$^2$ + AD$^2$ + BC$^2$ + BD$^2$ + CD$^2$ = 4(GA$^2$ + GB$^2$ + GC$^2$ + GD$^2$).
C. AB$^2$ + AC$^2$ + AD$^2$ + BC$^2$ + BD$^2$ + CD$^2$ = 6(GA$^2$ + GB$^2$ + GC$^2$ + GD$^2$).
D. AB$^2$ + AC$^2$ + AD$^2$ + BC$^2$ + BD$^2$ + CD$^2$ = 2(GA$^2$ + GB$^2$ + GC$^2$ + GD$^2$).
Chọn B
${A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}}$${ + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2}}$${ = {{\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} } \right)}^2}}$${ + {{\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} } \right)}^2}}$${ + {{\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GD} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GD} } \right)}^2}}$${ = 3A{G^2} + 3B{G^2} + 3C{G^2} + 3D{G^2}}$ + 2(${\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} }$+${\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} }$${ + \overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} }$)(1)
Lại có:
${\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} } \right) = \vec 0}$${\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} } \right) = \vec 0}$${ \Leftrightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{{\rm{D}}^2}}$= 2(${\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} }$ + ${\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} }$ + ${\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} }$) (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
${A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}}$${ + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2}}$${ = {{\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} } \right)}^2}}$${ + {{\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} } \right)}^2}}$${ + {{\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GD} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GD} } \right)}^2}}$${ = 3A{G^2} + 3B{G^2} + 3C{G^2} + 3D{G^2}}$ + 2(${\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} }$+${\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} }$${ + \overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} }$)(1)
Lại có:
${\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} } \right) = \vec 0}$${\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} } \right) = \vec 0}$${ \Leftrightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{{\rm{D}}^2}}$= 2(${\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} }$ + ${\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} }$ + ${\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} }$) (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
A. 1200
B. 600
C. 900
D. 300
Chọn C
Gọi I là trung điểm của AB
Vì ABC và ABD là các tam giác đều
Nên $\left\{ \begin{array}{l}CI \bot AB\\DI \bot AB\end{array} \right.$.
Suy ra $AB \bot \left( {CID} \right) \Rightarrow AB \bot CD$.
Gọi I là trung điểm của AB
Vì ABC và ABD là các tam giác đều
Nên $\left\{ \begin{array}{l}CI \bot AB\\DI \bot AB\end{array} \right.$.
Suy ra $AB \bot \left( {CID} \right) \Rightarrow AB \bot CD$.
A. 900
B. 450
C. 300
D. 600
Chọn D
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.
Ta có: $OJ{\rm{//}}CD$.
Nên góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ.
Xét tam giác $IOJ$ có
$IJ = \frac{1}{2}SB = \frac{a}{2},\,OJ = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2},\,\,IO = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}$.
Nên tam giác $IOJ$đều.
Vậy góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ
bằng góc $\widehat {IJ{\rm{O}}} = {60^0}$.
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.
Ta có: $OJ{\rm{//}}CD$.
Nên góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ.
Xét tam giác $IOJ$ có
$IJ = \frac{1}{2}SB = \frac{a}{2},\,OJ = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2},\,\,IO = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}$.
Nên tam giác $IOJ$đều.
Vậy góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ
bằng góc $\widehat {IJ{\rm{O}}} = {60^0}$.
A. $\widehat {AB'C}$.
B. $\widehat {DA'C'}$.
C. $\widehat {BB'D}$.
D. $\widehat {BDB'}$.
Chọn B
Ta có: $AC{\rm{//}}A'C'$ nên góc giữa hai đường thẳng AC và A'D là góc giữa 2 đường thẳng A'C' và A'D bằng góc nhọn $\widehat {DA'C'}$ (Vì tam giác A'DC' đều có 3 góc nhọn
Ta có: $AC{\rm{//}}A'C'$ nên góc giữa hai đường thẳng AC và A'D là góc giữa 2 đường thẳng A'C' và A'D bằng góc nhọn $\widehat {DA'C'}$ (Vì tam giác A'DC' đều có 3 góc nhọn
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{6}$.
B. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
D. $\frac{1}{2}$.
Chọn A.
Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.
Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)$.
Gọi E là trung điểm AC $ \Rightarrow ME{\rm{ // }}AB \Rightarrow \left( {AB,DM} \right) = \left( {ME,MD} \right)$
Ta có: $\cos \left( {AB,DM} \right) = \cos \left( {ME,MD} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {ME} ,\overrightarrow {MD} } \right)} \right| = \left| {\cos \widehat {EMD}} \right|$.
Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của $\Delta MED$: $ME = a$, $ED = MD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Xét $\Delta MED$, ta có: $\cos \widehat {EMD} = \frac{{M{E^2} + M{D^2} - E{D^2}}}{{2ME.MD}} = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$.
Từ đó: $\cos \left( {AB,DM} \right) = \left| {\frac{{\sqrt 3 }}{6}} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$.
Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.
Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)$.
Gọi E là trung điểm AC $ \Rightarrow ME{\rm{ // }}AB \Rightarrow \left( {AB,DM} \right) = \left( {ME,MD} \right)$
Ta có: $\cos \left( {AB,DM} \right) = \cos \left( {ME,MD} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {ME} ,\overrightarrow {MD} } \right)} \right| = \left| {\cos \widehat {EMD}} \right|$.
Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của $\Delta MED$: $ME = a$, $ED = MD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Xét $\Delta MED$, ta có: $\cos \widehat {EMD} = \frac{{M{E^2} + M{D^2} - E{D^2}}}{{2ME.MD}} = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$.
Từ đó: $\cos \left( {AB,DM} \right) = \left| {\frac{{\sqrt 3 }}{6}} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$.
Bản đầy đủ: Các dạng toán lớp 11
Sửa lần cuối: